Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

3. Момент инерции однородного стержня (рис. 5.4, a) массой M, длиной L относительно оси, проходящей через его центр C перпендикулярно стержню:

Рис. 5.4. Момент инерции однородного стержня

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Момент инерции механической системы (тела) относительно какойлибо оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы механической системы на квадрат расстояния d между этими осями (рис. 5.4, б):

Например, момент инерции однородного стержня (пластины) массой M, длиной L относительно оси, проходящей через его край O (рис. 5.4, a) перпендикулярно стержню, будет равен:

Инерциальные характеристики движущейся механической системы

В теоретической механике инерциальные свойства механической системы при её движении характеризуются Q – её главным вектором количества движения, Lz – её главным кинетическим моментом (моментом количества движения) относительно оси (вращения) z и T– её кинетической энергией. Определим эти характеристики.

Главным вектором количества движения Q механической системы называется векторная величина, равная сумме количеств движения всех материальных точек, входящих в механическую систему:

Моментом количества движения Lz механической системы (её глав-

ным кинетическим моментом) относительно оси z называется скалярная величина, равная сумме моментов количеств движения всех материальных точек, входящих в механическую систему, относительно оси z:

111

Lz = Mz(qk).

Главный кинетический момент вращающегося тела равен произведе-

нию момента инерции этого тела относительно оси вращения на угловую скорость его вращения

Кинетической энергией T механической системы называется скалярная величина, равная арифметической сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в механическую систему:

T = 0,5 mk Vk2.

Приведем формулы для определения кинетической энергии твердого тела при различных видах его движения.

При поступательном движении твердого тела его кинетическая энергия равна полупроизведению массы тела на квадрат его скорости

При вращательном движении твердого тела его кинетическая энергия равна полупроизведению момента инерции тела относительно оси вращения zна квадрат его угловой скорости

При плоскопараллельном движении твердого тела его кинетическая энергия равна сумме полупроизведения массы тела на квадрат скорости его центра масс и полупроизведения момента инерции тела относительно центральной оси вращения на квадрат его угловой скорости

При плоском движении тело в каждый момент времени «как бы» вращается вокруг МЦС (P). Момент инерции тела относительно оси вращения z, проходящей через МЦС, можно выразить (5.7) через момент инерции тела относительно центральной оси вращения Jz = JC + M CP2. Подставив последнее в выражение (5.12) и учитывая, что скорость центра масс тела (C) определяется выражением VC = CP, докажем (5.13).

5.3 Общие теоремы динамики

Общие теоремы динамики, полученные из законов-аксиом механики Галилея – Ньютона, устанавливают пропорциональность изменения инерциальных характеристик в процессе движения механической системы различным характеристикам механического воздействия на неё.

112

Теорема о движении центра масс механической системы исполь-

зуется при изучении поступательного движения механической системы.

При движении механической системы произведение её массы на вектор ускорения её центра масс равно сумме векторов всех внешних сил, приложенных к механической системе:

При движении механической системы произведение её массы на проекцию вектора ускорения её центра масс на любую ось равно сумме проекций векторов всех внешних сил, приложенных к механической системе, на соответствующую ось:

Теорема об изменении количества движения используется при изу-

чении движения механической системы в течение некоторого промежутка времени.

При движении механической системы изменение её главного вектора количества движения за некоторый промежуток времени равно сумме векторов импульсов всех внешних сил, приложенных к механической системе, вычисленных за тот же промежуток времени:

При движении механической системы изменение проекции её главного вектора количества движения на любую ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций на соответствующую ось векторов импульсов всех внешних сил, приложенных к механической системе, вычисленных за тот же промежуток времени:

Закон сохранения Q (QX)

Если при движении механической системы сумма векторов всех внешних сил, приложенных к ней (или сумме проекций этих векторов на некоторую ось), равна нулю, то главный вектор количества движения Q этой механической системы (или проекция этого вектора QX на соответствующую ось) остается постоянным (или постоянной).

Из (5.9) следует, что если вектор количества движения механической системы (или его проекция на некоторую ось) постоянен, то её центр масс движется с постоянной скоростью (или постоянна проекция скорости её центра масс на соответствующую ось).

Теорема об изменении момента количества движения использу-

ется при изучении вращательного движения механической системы.

113

При движении механической системы первая производная её главного кинетического момента относительно любого центра равна сумме моментов векторов всех внешних сил, приложенных к механической системе, относительно того же центра:

При движении механической системы первая производная её главного кинетического момента относительно любой оси равна сумме моментов векторов всех внешних сил, приложенных к механической системе, относительно той же оси:

Закон сохранения LO (LZ)

Если при движении механической системы сумма моментов векторов всех внешних сил, приложенных к ней, относительно некоторого центра (или оси) равна нулю, то главный кинетический момент этой механической системы относительно этого центра (или оси) остается постоянным.

Теорема об изменении кинетической энергии используется при изу-

чении движения механической системы на некотором её перемещении.

При движении механической системы изменение её кинетической энергии на некотором её перемещении равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к механической системе, вычисленных на том же перемещении:

При движении неизменяемой механической системы изменение её кинетической энергии на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех внешних сил (только), приложенных к этой механической системе, вычисленных на том же перемещении:

Закон сохранения механической энергии механической системы

Если движение механической системы происходит под действием только потенциальных сил, то полная механическая энергия этой механической системы остается постоянной.

Полной механической энергией E механической системы называется сумма её кинетической T и потенциальной энергии

E = T + .

114

5.4 Принципы механики

Решение задач механики можно получить не только с помощью законов Ньютона и выведенных из них общих теорем, но и используя другие общие положения, называемые принципами механики.

Принцип ДʹАламбера для материальной точки

Если к системе сил, действующих на точку, добавить силу инерции этой точки, то система сил будет уравновешенной.

Сила инерции движущейся материальной точки равна произведению массы точки на вектор её ускорения и направлена противоположно ему

Fu = m a.

При решении задач сила инерции материальной точки считается приложенной к ней. Приложение силы инерции к самой точке является условным приёмом, сводящим задачи динамики по форме решения к задачам статики.

Принцип Д Аламбера для механической системы

Если к системе внешних и внутренних сил, действующих на каждую точку механической системы, в любой момент времени добавить силу инерции точки, то полученная система сил будет уравновешена.

Главный вектор сил инерции механической системы равен сумме сил инерций всех её точек и равен (с) произведению массы механической системы на вектор ускорения её центра масс

Ru = Fku = M aC.

Главный момент сил инерции MOu механической системы относительно центра O равен сумме моментов сил инерций всех её точек относительно этого центра

MOu = MO(Fku).

Используя введенные понятия и свойства (а) и (б) механической системы, получим для неё уравнения принципа Д Аламбера (5.18а) в виде

Fke + Ru = 0, MO(Fke) + MOu = 0.

115

Отметим также, что силы инерции твердого тела при вращении приводятся к паре сил с моментом, равным

MZCu = –JZC .

Принцип Лагранжа используется для решения задач о равновесии механических систем относительно инерциальной системы отсчета. В этом принципе используется понятие возможного (виртуального) перемещения,

поэтому его также называют принципом возможных перемещений.

Для равновесия механической системы с удерживающими, стационарными, голономными и идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на неё активных сил на любом возможном перемещении была равна нулю:

Удерживающими связями называются связи, уравнения которых задаются в форме равенств. Если уравнение связи задаётся в форме неравенства, связь называется неудерживающей (односторонней).

Стационарными связями называются связи, уравнения которых не зависят от времени. Если уравнение связи зависит от времени, связь называется нестационарной.

Голономными связями называется совокупность геометрических и интегрируемых связей.

Геометрическими связями называются связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы.

Интегрируемыми связями называются такие кинематические связи, которые, проинтегрировав, можно представить как геометрическую связь.

Идеальными связями называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении механической системы была равна нулю:

Akr = 0.

Возможными перемещениями механической системы называется совокупность элементарных перемещений точек или абсолютно твердых тел, входящих в механическую систему, которые:

1)не нарушают наложенных на механическую систему связей;

2)являются бесконечно малыми – не нарушают геометрию положения механической системы;

3)являются воображаемыми (виртуальными).

Число независимых между собой возможных перемещений механической системы S называется числом степеней свободы системы

Итак, принцип возможных перемещений определяет общее условие равновесия механической системы, не требует рассмотрения её отдельных частей и позволяет исключить из рассмотрения все идеальные связи. Число

116

уравнений (5.19), выражающих принцип возможных перемещений для механической системы, равно её числу степеней свободы.

Принцип Д Аламбера – Лагранжа объединяет в себе принцип Д Аламбера и принцип возможных перемещений. Принцип Д Аламбера дает возможность использовать методы решения задач статики в задачах динамики. Принцип возможных перемещений является общим методом решения задач статики. Принцип Д Аламбера – Лагранжа является общим методом решения задач динамики, поэтому его также называют обобщенное уравнение динамики.

При движении механической системы с удерживающими, стационарными, голономными и идеальными связями сумма элементарных работ всех действующих на неё активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении будет равна нулю:

Итак, принцип Д Аламбера – Лагранжа определяет общие уравнения движения механической системы, не требует рассмотрения её отдельных частей и позволяет исключить из рассмотрения все идеальные связи, так как идеальные связи – это такие связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении механической системы равна нулю.

Число уравнений (5.20), выражающих принцип Д Аламбера – Лагранжа для механической системы, равно её числу степеней свободы.

Именно идеи, изложенные в принципах механики, а не в аксиомах Галилея – Ньютона, положены в основу построения аналитической механики.

5.5 Элементы аналитической механики

Аналитическая механика построена на идеях, изложенных в принципах механики, а не в аксиомах Галилея – Ньютона. В аналитической механике не используется аксиома освобождения от связей с заменой их реакциями. Методы решения задач в аналитической механике основаны на рассмотрении тех перемещений, которые допускают эти связи.

Обобщенные координаты и обобщенные скорости

Число координат, определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (или тел), входящих в неё, и от числа и вида наложенных связей. Как было показано ранее, у механических систем с геометрическими (голономными) связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом степеней свободы.

117

Обобщенными координатами называются независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы механической системы и которые однозначно определяют её положение.

Обобщенные координаты механической системы, имеющей S степеней свободы, будем обозначать

Декартовые координаты (или радиус-вектор) любой точки механической системы могут быть выражены через обобщенные координаты

Элементарные приращения этих координат (как и сами координаты) независимы между собой. Каждое из них определяет соответствующее возможное перемещение механической системы

При движении механической системы её обобщенные координаты будут изменяться с течением времени. Уравнения, описывающие эти измене-

ния, представляют собой уравнения движения механической системы в обобщенных координатах:

Размерность обобщенных скоростей зависит от размерности обобщенных координат.

Если обобщенная координата является линейной величиной [q] = м, то q – линейная скорость, так как [ q ] = м/с. Если [q] = рад, то q имеет размерность угловой скорости: [ q ] = рад/с. Если размерность q – площадь [q] = м2, то размерность q – секторная скорость [ q ] = м2/с.

Итак, понятием обобщенной скорости охватываются все величины, характеризующие скорость механического движения материальных тел.

Обобщенные силы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют силы F̅1, F̅2, F̅n. Пусть механическая система имеет S степеней свободы и её положение определяется обобщенными координатами (5.21).

118

Придадим одной из обобщенных координат (5.21), например qm, элементарное приращение qm (5.23).Радиус-вектор (5.22) каждой материальной точки механической системы получит элементарное перемещение, которое может быть определено как частный дифференциал по изменяемой координате

( rk )m rk qm .qm

Определим сумму элементарных работ всех действующих на механическую систему сил на этом перемещении, вызванном приращением qm:

Величину Qm называют обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате qm. Обобщенная сила Qm равна отношению суммы элементарных работ всех действующих на механическую систему сил на перемещении, вызванном приращением qm, к величине этого перемещения:

Размерность обобщенной силы, как следует из (5.26), зависит от размерности соответствующей ей обобщенной координаты:

[Q] [[qA]] .

Если обобщенная координата является линейной величиной [q] = м, то Q – обычная сила, так как [Q] = Н. Если [q] = рад, то Q имеет размерность момента силы [Q] = Н м. Если размерность q – объемная величина [q] = м3, то размерность Q – давление [Q] = Н/м2.

Итак, понятием обобщенной силы охватываются все величины, характеризующие механическое взаимодействие материальных тел.

Условия равновесия в обобщенных координатах

Пусть механическая система имеет S степеней свободы и её положение определяется обобщенными координатами (5.21). Сообщим механической системе такое возможное перемещение, при котором все обобщенные координаты (5.21) одновременно получают элементарные приращения

(5.23).

В этом случае выражение принципа возможных перемещений (5.19) представимо в виде

119

Формула (5.27) дает выражение полной элементарной работы всех действующих на механическую систему активных сил в обобщенных координатах. Из этого равенства видно, что обобщенные силы равны коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы всех действующих на механическую систему активных сил.

Так как все приращения координат (5.23) независимы между собой, то равенство (5.27) может выполняться только в том случае, когда каждый из коэффициентов в отдельности равен нулю:

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю.

Число условий равновесия (5.28) равно числу обобщенных координат, а следовательно, числу степеней свободы механической системы.

Уравнения движения в обобщенных силах. Уравнения Лагранжа

Пусть механическая система имеет S степеней свободы и её движение определяется обобщенными координатами (5.24). Сообщим механической системе такое возможное перемещение, при котором все обобщенные координаты (5.21) одновременно получают элементарные приращения (5.23).

В этом случае выражение общего уравнения динамики (5.20) представимо в виде

Так как все приращения координат (5.23) независимы между собой, то равенство (5.29) может выполняться только в том случае, когда каждый из коэффициентов в отдельности равен нулю:

Уравнения (5.30) выражают общее уравнение динамики в обобщенных силах.

Лагранж вывел формулу, выражающую обобщенную силу инерции

Здесь T – кинетическая энергия механической системы, выраженная через обобщенные координаты и обобщенные скорости этой системы:

T T (q1 , q2 ,..., qS , q1 , q2 ,..., qS ) .

120