Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

Ответы: 4.18: t1 =1,5; 4.19: t1 = 1; 4.20: t1 = 0,75; 4.21: t1 = 0,25; 4.22: t1 = 0,5.

101

Примеры решения тестовых заданий к РГР К3

Тестовое задание 1

Точка M движется в трубке по закону s = AM = 4t – 2t2. Трубка вращается равномерно с угловой скоростью = 5 с–1 вокруг оси АВ, составляющей с трубкой угол = 30 (рис. 4.58). Определить кинематические характеристики движущейся точки.

Рис. 4.58. Пример 1

Решение

1 Определим характеристики относительного движения точки M. s(t) = AM = 4t – 2t2.

Скорость относительного движения точки M равна

vr = ds/dt = 4 – 4t.

Вектор относительной скорости vr направлен по трубке (см. рис. 4.58). Касательное ускорение относительного движения точки M равно

ar = dvr/dt = –4.

Вектор ar направлен по трубке к оси вращения. Так как трубка прямая (см. рис.4.58), то arn = 0.

2 Определим характеристики переносного движения точки M. Угловое ускорение трубки равно нулю, так как вращение равномерное. Расстояние OM от точки M до оси вращения равно

OM = AM sin = 2t – t2.

Скорость переносного движения точки M направлена перпендикулярно к трубке и оси вращения (см. рис. 4.58) и равна

ve = OM = 5(2t – t2).

Касательное ускорение переносного движения точки M равно нулю.

102

Нормальное ускорение переносного движения точки M направлено от точки M к оси вращения (см. рис. 4.58) и равно

aen = 25(2t – t2).

3 Ускорение Кориолиса направлено по правилу правой руки и равно

aK = 2 vr sin30 = 20(1 – t).

4 Найдем кинематические характеристики абсолютного движения

va = (vr2 + ve2)0,5.

Проецируя уравнение теоремы Кориолиса на оси Mxyz, найдём aa: aax = –ar sin30 – aen,

aay = –ar cos30 ,

aaz = –aK,

aa = (aax2 + aay2 + aaz2)0,5.

Тестовое задание 2

Точка M движется в трубке по закону s = AM = 4t – 2t2. Трубка вращается равномерно с угловой скоростью = 5 с–1 вокруг оси АВ, составляющей с трубкой угол = 30 (рис. 4.59). Определить:

а) время t1, когда переносное ускорение точки равно нулю; б) время t2, когда ускорение Кориолиса точки равно нулю;

в) время t3, когда ускорение Кориолиса точки становится равным её переносному ускорению (рис. 4.60).

Решение

а) Угловое ускорение трубки равно нулю, поскольку вращение равномерное.

103

Следовательно, переносное ускорение точки имеет только нормальную составляющую aen, величина которой равна произведению угловой скорости трубки на расстояние OM от точки до оси вращения.

Так как по условию = 5, то aen = 0, только если OM = 0, т.е.

OM = AM sin = 2t – t2 = 0.

Решая, определим, что переносное ускорение точки равно нулю в два момента времени

t11 = 0 и t12 = 2.

б) Ускорение Кориолиса aK равно удвоенному произведению относительной скорости точки vr на угловую скорость трубки и на синус угла между векторами этих характеристик, так как вектор относительной скорости точки vr направлен по трубке, вектор угловой скорости трубки направлен по оси вращения по правилу правого винта.

Так как по условию = 5 и = 30 , то aK = 0, только если vr = 0, т.е.

vr = ds/dt = 4 – 4t = 0.

Решая, определим, что ускорение Кориолиса точки равно нулю в момент времени t2 = 1.

в) Выразим величины обоих составляющих ускорения точки, как функции времени:

aen = 2 OM = 25(2t – t2); a1K = 2 vr sin30 = 20(1 – t)

и приравняем их между собой. Получим уравнение

t2 – 2,8t + 0,8 = 0.

Решая, определим, что ускорение Кориолиса точки становится равным её переносному ускорению в два момента времени

t31 = 0,32 и t32 = 2,48.

104

5 ДИНАМИКА

Динамика (dynamikos – относящийся к силе, силовой). В этом разделе исследуется, какое механическое взаимодействие происходит между движущимися твердыми телами, какое механическое движение этих тел вызывает то или иное механическое воздействие.

5.1 Динамика материальной точки

Аксиомы динамики точки

Аксиомы классической механики были изложены Ньютоном в его труде «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687 году.

Аксиомы выполняются относительно инерциальных систем отсчета. В роли инерциальной системы отсчета используется гелиоцентрическая система, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на одни и те же звезды. Как показывает опыт, это не приводит к заметным погрешностям.

Первая аксиома – закон инерции

Если система сил, приложенных к материальной точке, уравновешена, то точка движется равномерно и прямолинейно (по инерции) или сохраняет состояние покоя относительно инерциальной системы отсчета.

Другими словами, механическое движение по инерции само по себе – неотъемлемое свойство материальных тел. Не нужно никаких причин и условий для того, чтобы материальные тела двигались по инерции.

Инертность – свойство материальных тел сохранять свое механическое движение и изменять, сопротивляясь любому его изменению.

Вторая аксиома – основное уравнение динамики

Изменение движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит в направлении линии действия этой силы (рис. 5.1, a).

Рис. 5.1. Аксиомы динамики

105

Если ко второй аксиоме динамики добавить принцип суперпозиции:

при воздействии нескольких сил на материальную точку каждая сил действует независимо от других (рис. 5.1, б), – получим основное уравнение

динамики:

Если система сил, приложенных к точке, не уравновешена, то ускорение движущейся точки относительно инерциальной системы отсчета определяется из векторного уравнения:

Масса (m) – количественная мера инертности материальной точки.

Третья аксиома – закон противодействия

Всякому механическому воздействию между двумя материальными точками соответствует равное и противоположно направленное противодействие (рис. 5.1, в) относительно инерциальной системы отсчета.

Механическое взаимодействие в теоретической механике предполагается передающимся мгновенно. Если расстояние между точками приложения сил действия и противодействия значительно, третья аксиома требует дополнительных пояснений.

Две задачи динамики точки

Первая (прямая) задача динамики точки: зная механическое движе-

ние материальной точки, определить механическое воздействие, оказываемое на неё.

Вторая (обратная) задача динамики точки: зная механическое воз-

действие, оказываемое на материальную точку, определить её механическое движение.

При решении обратных задач требуется вводить систему отсчета, относительно которой определяется механическое движение. Решением обратных задач является нахождение уравнений движения материальной точки, заданного одним из известных способов.

Принципиальным отличием обратных задач динамики является то, что после проецирования основного уравнения динамики на координатные оси они сводятся к решению дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения движения точки

Рассмотрим движение материальной точки M относительно прямоугольной декартовой системы координат OXYZ (инерциальной системы отсчета). В произвольный момент времени t будем обозначать координаты движущейся точки: M(x, y, z).

Определить механическое движение материальной точки M – означает найти функциональную зависимость координат движущейся точки от времени: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Эти уравнения называются уравнениями движения точки.

106

Пусть при движении материальной точки M на неё действует система

сил (F1, F2, …, Fn).

Спроецировав основное уравнение динамики (5.1) на оси введенной прямоугольной декартовой системы координат OXYZ и учтя, что проекция вектора ускорения точки на любую ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки, получим дифференциальные уравнения движения точки:

Произведение массы движущейся материальной точки на вторую производную по времени от любой её координаты равно сумме проекций всех сил, действующих на точку, на соответствующую ось.

Составляя дифференциальные уравнения движения точки при решении конкретных задач, удобно использовать различные выражения для проекции ускорения точки на ось:

ax = d2x /dt2 = dVx /dt = Vx dVx /dx.

Неопределенные постоянные после дважды проведенного интегрирования дифференциальных уравнений движения точки, как правило, опреде-

ляются из начальных условий движения точки.

Три координаты точки M0(x0, y0, z0) и три проекции вектора скорости V0(V0x, V0y, V0z), определяющие её положение и скорость в начальный момент времени t0:

называются начальными условиями движения точки.

5.2 Введение в динамику механической системы

Динамика механической системы – это часть динамики, которая имеет важное техническое значение. Многие реальные механические устройства (приборы, станки, летающие, плавающие, перемещающиеся по земле аппараты и т.д.) можно рассматривать как механические системы.

Понятие механической системы

Механической системой называется совокупность материальных точек (или абсолютно твердых тел), положение и движение которых зависит от положения и движения остальных объектов данной совокупности.

При исследовании механической системы требуется дополнительная классификация сил, действующих на её элементы.

107

Внешними Fke называются силы, с которыми объекты, не входящие в механическую систему, взаимодействуют с объектами (точками и телами) механической системы.

Внутренними Fki называются силы, с которыми объекты (точки и тела) механической системы взаимодействуют между собой.

Деление сил на внешние и внутренние силы условно и зависит от того, какая совокупность объектов выбрана в качестве механической системы.

Свойства внешних сил. Далее будет доказано, что перемещение механической системы может быть вызвано только внешними силами. Невозможно своими руками поднять себя. Другой пример: силы, создаваемые двигателем автомобиля, являются внутренними для самого автомобиля и не могут сдвинуть его с места. Эти силы являются внешними для оси его колес. Вращая колеса, данные силы создают силы сцепления между колесами и поверхностью опоры, которые являются внешними для автомобиля и вызывают его перемещение.

Свойства внутренних сил следуют из третьей аксиомы Ньютона и теоремы Вариньона.

Векторная сумма всех внутренних сил любой механической системы равна нулю:

Векторная сумма моментов всех внутренних сил любой механической системы относительно произвольного центра O равна нулю:

Дифференциальные уравнения движения механической системы

Пусть (рис. 5.2, a) механическая система состоит из n материальных точек, массы которых равны mk (k = 1, 2,…, n). Рассмотрим её движение относительно прямоугольной декартовой системы координат OXYZ (инерциальной системы отсчета). В произвольный момент времени t будем обозначать координаты точек механической системы: Mk(xk, yk, zk) (k = 1, 2, n).

Определить механическое движение механической системы – это значит найти зависимость от времени координат всех её движущихся точек:

xk = xk(t), yk = yk(t), zk = zk(t) (k = 1, 2…, n).

Обозначим Fke равнодействующую всех внешних, а Fki – равнодействующую всех внутренних сил, приложенных к k-й материальной точки Mk

(k = 1, 2…, n).

Тогда дифференциальные уравнения движения (5.2) k-й материальной точки Mk механической системы имеют вид

mkd2xk/dt2 = Fkxe + Fkxi, mkd2yk/dt2 = Fkye + Fkyi, mkd2zk/dt2 = Fkze + Fkzi. (в)

108

Произведение массы движущейся k-й материальной точки Mk механической системы на вторую производную по времени от любой её координаты равно сумме проекций равнодействующих всех внешних и внутренних сил, действующих на эту точку, на соответствующую ось.

Итак, задача об исследовании движения механической системы сводится к решению и исследованию системы 3n дифференциальных уравнений вида (в) (k = 1, 2…, n).

Чтобы упростить эту задачу, разработаны некоторые методы (использование общих теорем динамики), позволяющие изучать движение механической системы «в целом», а не как совокупности n материальных точек.

Исследуя механическое движение механической системы и входящих в неё объектов, а также механическое взаимодействие, оказываемое на механическую систему в целом и отдельно на её составные части, требуется охарактеризовать инерциальные свойства этих объектов.

Инерциальные характеристики механической системы

В теоретической механике инерциальные свойства механической системы характеризуются M – её массой, точкой C – её центром масс и Jz – её моментом инерции относительно оси (вращения) z. Определим эти инерциальные характеристики механической системы.

Рис. 5.2. Инерциальные характеристики механической системы

Пусть (см. рис. 5.2, a) механическая система состоит из n материальных точек (или тел), массы которых равны mk (k = 1, 2…, n).

Массой M механической системы называется скалярная величина, равная арифметической сумме масс всех объектов, входящих в механическую систему:

M = mk.

Выберем в качестве системы отсчета некоторую точку пространства O. Положение каждой материальной точки механической системы во введенной системе отсчета можно определить (рис. 5.2, б) радиус-вектором rk (k = 1, 2…, n), соединяющим точку O с данной материальной точкой.

109

Центром масс механической системы называется точка пространства C, радиус-вектор которой во введенной системе отсчета (см. рис. 5.2, б) определяется выражением

Моментом инерции механической системы относительно центра Oназывается скалярная величина (см. рис. 5.2, б), равная арифметической сумме произведений масс всех точек, входящих в механическую систему, на квадрат расстояния rk от этих точек до центра O:

Моментом инерции механической системы относительно оси z называется скалярная величина (рис. 5.2, в), равная арифметической сумме произведений масс всех точек, входящих в механическую систему, на квадрат расстояния hk от этих точек до оси z:

Примеры определения моментов инерции

1 Момент инерции однородного кольца (трубы) массой M, радиусом R относительно оси, проходящей через его центр C перпендикулярно его плоскости (сечения), определяется (рис. 5.3, a) выражением

Рис. 5.3. Моменты инерции однородного кольца и диска

2 Момент инерции однородного диска (цилиндра) массой M, радиусом R относительно оси, проходящей через его центр C перпендикулярно его плоскости, определяется (рис. 5.3, б) выражением

110