Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

точки M является её движение по телу D (рис. 4.44), движущемуся относительно неподвижной прямоугольной декартовой системы координат Ox1y1z1. Другая система координат Oxyz неразрывно соединена с телом D. Точка M движется по телу D относительно подвижной системы координат

Oxyz.

z1

x

O1

y1

Рис. 4.44. Сложное движение точки

2 Движение точки M относительно неподвижной системы координат называется абсолютным и определяется радиусом-вектором , начало которого совпадает с точкой O1, а конец – с точкой M (рис. 4.44). Скорость и ускорение точки M относительно неподвижной системы координат называется абсолютной скоростью и ускорением. Обозначаются эти векторы va и aa.

3 Движение точки M относительно подвижной системы координат Oxyz, связанной с движущимся телом D, называется относительным и определяется радиусом-вектором r, начало которого совпадает с точкой O, а конец – с точкой M (см. рис. 4.44). Скорость и ускорение точки M относительно подвижной системы координат (тела D) называется относительной скоростью и ускорением. Обозначаются эти векторы vr и ar.

4 Движение точки M вместе с подвижной системой координат, связанной с движущимся телом D, называется переносным. Скорость точки тела D, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка M, называется переносной скоростью точки M и обозначается ve. Ускорение той точки тела D, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка M, называется переносным ускорением точки M и обозначается ae.

5 При сложном движении точки вектор её абсолютной скорости равен векторной сумме переносной и относительной скоростей, а вектор абсолютного ускорения равен векторной сумме трёх ускорений: переносного, относительного и Кориолиса.

va = ve + vr, aa = ae + ar + aK.

92

6 Вектор ускорения Кориолиса равен удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения точки на линейную скорость её относительного движения

aK = 2( e vr).

Вектор aK направлен по правилу правой руки.

Вектор угловой скорости переносного движения e направлен по оси вращения по правилу правого винта.

Вектор линейной скорости vr и касательного ускорения ar относительного движения точки направлен по касательной к траектории её относительного движения. Векторы скоростей и касательных ускорений направлены в положительную сторону отсчета, если знаки их алгебраических величин положительны, в противном случае – в отрицательную сторону.

7 Величина ускорения Кориолиса равна удвоенному произведению угловой скорости переносного движения точки на её относительную скорость и на синус угла между векторами этих характеристик

aK = 2 e vr sin( e, vr).

8 Теорема синусов: отношение синусов углов треугольника к длинам сторон, лежащих против этих углов, одинаково:

sin BAC /BC = sin ABC /AC=sin ACB /AB.

9 Теорема косинусов: квадрат длины стороны треугольника, лежащей против известного угла, равен сумме квадратов длин остальных двух сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус известного угла:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB AC cos .

4.2.1 Пример 1 решения и оформления РГР К5

Таблица 4.6

Исходные данные примера 1 к РГР К5

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси, расположенной перпендикулярно плоскости пластины по закону

(t) = k1 cos2 1t + k2 sin2 1t = 1,5 sin21,1t.

93

По пластине вдоль направляющей, сделанной в форме окружности радиусом R = 1,2 м (рис. 4.45), движется точка M по закону

s(t) = AM = k3 cos 2t + k4 sin 2t = –2,6 sin2t.

Изобразить все кинематические характеристики точки M на рисунке. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в

момент времени t1 = 1 с.

Рис. 4.45. Пример 1 движения точки по вращающейся пластине

Таблица 4.7

Решение примера 1 к РГР К5

Решение

Рассмотрим движение точки M как сложное. Будем считать движение точки M по пластине относительным движением, а движение точки M вместе с пластиной – переносным движением (см. рис. 4.45).

1 Определим кинематические характеристики относительного движения точки M в момент времени t1.

В момент времени t1 длина дуги траектории, соединяющей точку M с началом отсчета A, будет равна

s(t1) = AM1 = k4 sin 2t1 = –2,36 м.

Положение точки M1 на рис. 4.45 удобно определять углом между от-

резками AC и CM1: ACM1 = AM1 /R = –4,546 рад = –112,9 .

Скорость относительного движения точки M в момент времени t1

равна

v1r = ds/dt = k4 2 cos 2t1 = 2,16 м/с.

Вектор относительной скорости v1r направлен по касательной к траектории перпендикулярно CM по часовой стрелке.

94

Касательное ускорение относительного движения точки M в момент времени t1 равно

a1r = dvr /dt = –k4 22 sin 2t1 = 9,46 м/с2.

Вектор a1r направлен по касательной к траектории перпендикулярно CM по часовой стрелке.

Нормальное ускорение относительного движения точки M в момент времени t1 направлено по нормали к траектории от точки M к точке C и равно

a1n = v1r2 /R = 3,90 м/с2.

2 Определим кинематические характеристики переносного движения точки M в момент времени t1.

Определим угловые скорость и ускорение пластины в момент времени t1.

1 = d /dt = k2 1 sin2 1t1 = 1,33 с-1.1 = d /dt = 2k2 12 cos2 1t1 = –2,14 с-2.

Из теоремы косинусов найдем расстояние от точки M1 до оси O:

OCM1 = 270 – ACM1 = 157,1 .

OM1 = (OC2 + CM12 – 2 OC CM1 cos OCM1)0,5 = 3,54 м.

Из теоремы синусов определим угол CM1O, обозначая этот угол :

= arcsin (OC sin OCM1/OM1) = 15,3 .

Скорость переносного движения точки M в момент времени t1 направлена перпендикулярно OM1 против часовой стрелки и равна

v1e = 1 OM1 = 4,72 м/с.

Касательное ускорение переносного движения точки M в момент времени t1направлено перпендикулярно OM1 по часовой стрелке и равно

a1e = 1 OM1 = –7,55 м/с2.

Нормальное ускорение переносного движения точки M в момент времени t1 направлено от точки M к точке O и равно

a1en = 12 OM1 = 6,29 м/с2.

3 Ускорение Кориолиса точки M направлено по правилу правой руки из точки M от точки C, так как вектор угловой скорости пластины 1 направлен перпендикулярно плоскости пластины к нам (по правилу правого винта).

Величина ускорения Кориолиса равна

a1K = 2 1 v1r sin90 = 5,77 м/с2.

95

4 Определим кинематические характеристики абсолютного движения точки M в момент времени t1.

На рис. 4.45 введем прямоугольную декартову систему координат M1xy, направив ось y из точки M1 от точки C. Определим величину абсолютной скорости точки v1a:

v1ax = v1r – v1e cos = –2,39 м/с, v1ay = v1e sin = 1,25 м/с,

v1a = (v1ax2 + v1ay2)0,5 = 2,69 м/с.

Проецируя уравнение теоремы Кориолиса на оси M1xy, определим величину абсолютного ускорения точки a1a:

a1ax = a1r + a1e cos – a1ensin = 15,08 м/с2, a1ay = a1K – a1rn – a1encos – a1e sin = –6,19 м/с2, a1a = (a1ax2 + a1ay2)0,5 = 16,30 м/с2.

4.2.2 Пример 2 решения и оформления РГР К5

Таблица 4.8

Исходные данные примера 2 к РГР К5

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси, расположенной в плоскости пластины по закону

(t) = k1 cos2 1t + k2 sin2 1t = 1,5 cos 21,1t.

По пластине вдоль направляющей, сделанной в форме окружности радиусом R = 0,7 м, движется точка M по закону

s(t) = AM = k3 cos 2t + k4 sin 2t = –2,2 cos0,9t.

Изобразить все кинематические характеристики точки M на рисунке. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в

момент времени t1 = 1 с.

Таблица 4.9

Решение примера 2 к РГР К5

96

Решение

Рассмотрим движение точки M как сложное. Будем считать движение точки M по пластине относительным движением, а движение точки M вместе с пластиной – переносным движением (рис. 4.46).

Рис. 4.46. Пример 2 движения точки по вращающейся пластине

1 Определим кинематические характеристики относительного движения точки M в момент времени t1.

В момент времени t1 длина дуги траектории, соединяющей точку M с началом отсчета A, будет равна

s(t1) = AM1 = k3cos 2t1 = –1,37 м.

Положение точки M1 на рис. 4.46 удобно определять углом между от-

резками AC и CM1: ACM1 = AM1 /R = –4,546 рад = –111,9 .

Скорость относительного движения точки M в момент времени t1

равна

v1r = ds/d t = –k3 2 sin 2t1 = 1,55 м/с.

Вектор относительной скорости v1r направлен по касательной к траектории перпендикулярно CM по часовой стрелке.

Касательное ускорение относительного движения точки M в момент времени t1 равно

a1r = dvr /dt = –k3 22 cos 2t1 = 1,11 м/с2.

Вектор a1r направлен по касательной к траектории перпендикулярно CM по часовой стрелке.

Нормальное ускорение относительного движения точки M в момент времени t1 направлено по нормали к траектории от точки M к точке C и равно

a1n = v1r2 /R = 3,44 м/с2.

2 Определим кинематические характеристики переносного движения точки M в момент времени t1.

97

Определим угловые скорость и ускорение пластины в момент времени t1:

1 = d /dt = –k1 1 sin2 1t1 = –1,33 с-1;1 = d /dt = –2k1 12 cos2 1t1 = 2,14 с-2.

Найдем (см. рис. 4.46) угол CM1O1, обозначая этот угол и расстояние O1M1 от точки M1 до оси вращения:

= CM1O1 = ACM1 – 90 = 21,9 ; O1M1 = OC + CM1 cos = 2,05 м.

Скорость переносного движения точки M в момент времени t1 направлена перпендикулярно пластине к нами равна

v1e = 1 O1M1 = –2,73 м/с.

Касательное ускорение переносного движения точки M в момент времени t1 направлено перпендикулярно пластине от нас и равно

a1e = 1 O1M1 = 4,38 м/с2.

Нормальное ускорение переносного движения точки Mв момент времени t1 направлено от точки M1 к оси вращения и равно

a1en = 12 O1M1 = 3,65 м/с2.

3 Ускорение Кориолиса точки M направлено по правилу правой руки из точки M1 перпендикулярно пластине к нам, так как вектор угловой скорости пластины 1 направлен вниз по оси вращения пластины.

Величина ускорения Кориолиса равна

a1K = 2 1 v1r sin (180 – ) = 0,25 м/с2.

4 Определим кинематические характеристики абсолютного движения точки M в момент времени t1. На рис. 4.46 введем прямоугольную декартовую систему координат M1xyz, направив ось y из точки M1 от точки C, а ось M1z – перпендикулярно пластине к нам.

Так как векторы v1r и v1e перпендикулярны, то

v1a = (v1r2 + v1e2)0,5 = 3,14 м/с.

Проецируя уравнение теоремы Кориолиса на оси M1xyz, определим

a1a:

a1ax = a1r – a1en sin = –0,25 м/с2, a1ay = –a1rn – a1en cos = –6,82 м/с2, a1az = a1K – a1e = 2,83 м/с2,

a1a = (a1ax2 + a1ay2 + a1az2)0,5 = 7,39 м/с2.

98

Дополнительные вопросы к РГР К5

1 Вектор относительной скорости точки vr направлен по касательной к траектории её движения в положительную сторону отсчета дуги траектории, если ds/dt ˃ 0, и наоборот.

2 Вектор касательного ускорения относительного движения точки ar направлен по касательной к траектории её движения в положительную сторону отсчета дуги траектории, если d2s/dt2 ˃ 0, и наоборот.

3 Вектор нормального ускорения относительного движения точки arn направлен по главной нормали к траектории её движения в сторону вогнутости траектории.

4 Вектор угловой скорости пластины направлен в положительную сторону отсчета угла поворота пластины , если d /dt ˃ 0, и наоборот.

5 Вектор углового ускорения пластины направлен в положительную сторону отсчета угла поворота пластины , если d2 /dt2 ˃ 0, и наоборот.

6 Вектор переносной скорости точки ve направлен перпендикулярно оси вращения пластины и перпендикулярно прямой линии, соединяющей точку с осью вращения. Направление ve определяется направлением вектора угловой скорости пластины .

7 Вектор касательного ускорения переносного движения точки ae направлен перпендикулярно оси вращения пластины и перпендикулярно прямой линии, соединяющей точку с осью вращения. Направление ae определяется направлением вектора углового ускорения пластины .

8 Вектор нормального ускорения переносного движения точки aen направлен к оси вращения пластины.

9 Вектор ускорения Кориолиса aK при сложном движении точки направлен по правилу правой руки (рис. 4.47):

1)Большой палец правой руки направляем так, как направлен вектор угловой скорости пластины , т.е. по оси вращения пластины, по правилу правого винта.

2)Указательный палец правой руки направляем так, как направлен вектор относительной скорости точки vr, по касательной к траектории точки.

3)Безымянный палец правой руки, направленный перпендикулярно плоскости первых двух пальцев, покажет направление ускорения Кориолиса.

vr

aK

Рис. 4.47. Правило правой руки

99

4.2.3 Тестовые задания к РГР К5

Ответы: 4.13: v1a = 5; 4.14: a1K = 3; 4.15: a1e = 4; 4.16: a1a = 5; 4.17: a1r = 0.

100