Сидашов А.В. Актуализированный курс теор. мех. Учеб. пособ. 2020

РОСЖЕЛДОР

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВО РГУПС)

________________________________________________________________

А.В. Сидашов, В.П. Шехов, Д.В. Шехов

АКТУАЛИЗИРОВАННЫЙ КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Учебное пособие

Утверждено учебно-методическим советом университета

Ростов-на-Дону

2020

УДК 534.014(07) + 06

Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор М.И. Чебаков (ЮФУ);

доктор технических наук, профессор П.Г. Иваночкин (РГУПС)

Сидашов, А.В.

Актуализированный курс теоретической механики: учеб. пособие / А.В. Сидашов, В.П. Шехов, Д.В. Шехов; ФГБОУ ВО РГУПС. – Ростов н/Д, 2020. – 160 с.: ил., табл. – Библиогр.: с. 160.

ISBN 978-5-88814-901-0

Содержатся краткие теоретические сведения по трём основным разделам курса теоретической механики. В каждом разделе приведен материал для выполнения двух типовых задач: условие, рисунки, исходные данные, методика, пример решения и оформления каждой из задач; изложены дополнительные вопросы по изучению данных разделов, предложены тестовые задания для проверки усвоения теоретического материала.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей», а также для аспирантов.

Одобрено к изданию кафедрой «Теоретическая механика».

Учебное издание

Сидашов Андрей Вячеславович Шехов Владимир Павлович Шехов Дмитрий Владимирович

АКТУАЛИЗИРОВАННЫЙ КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Редактор Т.В. Бродская Корректор Т.В. Бродская

Подписано в печать 18.05.20. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 9,3. Тираж 500 экз. Изд. № 1. Заказ

Редакционно-издательский центр ФГБОУ ВО РГУПС.

Адрес университета:

344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, д. 2.

ISBN 978-5-88814-901-0

© Сидашов А.В., Шехов В.П., Шехов Д.В., 2020

© ФГБОУ ВО РГУПС, 2020

2

3 КИНЕМАТИКА ……………………………………………………… 57

3.1Кинематика точки ………………………………………………... 57

3.2Кинематика твердого тела ………………………………………. 61

3.3Теоремы кинематики твердого тела …………………………….. 62

3.4Сложное движение точки ………………………………………... 68

5 ДИНАМИКА ………………………………………………………… 105

5.1Динамика материальной точки ………………………………….. 105

5.2Введение в динамику механической системы …………………. 107

5.3Общие теоремы динамики ………………………………………. 112

5.4Принципы механики ……………………………………………... 115

5.5Элементы аналитической механики ……………………………. 117

Библиографический список …………………………………………… 160

3

Предисловие

Теоретическая механика – наука об общих законах механических взаимодействий между материальными телами, а также об общих законах движения тел по отношению друг к другу. Это одна из важнейших, фундаментальных дисциплин в подготовке инженеров любых специальностей и направлений. Она формирует основу, на которой строится изучение всех инженерных дисциплин (сопротивление материалов, строительная механика, теория механизмов и машин, гидравлика, прикладная механика) и ряда специальных инженерных дисциплин, посвященных изучению динамики машин и различных видов транспорта, методов расчета, сооружения и эксплуатации высотных зданий, мостов, транспортных тоннелей, железнодорожных сооружений и конструкций.

Учебное пособие «Актуализированный курс теоретической механики» предназначено для подготовки студентов, обучающихся по направлению «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей» очной и заочной форм обучения, изучающих курс теоретической механики в объеме четырех зачетных единицы.

Учебное пособие составлено в полном соответствии требованиям к федеральному государственному образовательному стандарту высшего образования 3++ (ФГОС 3++).

Предлагаемое учебное пособие является результатом многолетней преподавательской деятельности его авторов в Ростовском государственном университете путей сообщения, который осуществляет подготовку инженеров для транспортной сферы.

Краткость курса потребовала от авторов проведения тщательного отбора как теоретического материала, так и практического, поясняющего основные разделы курса. В пособии приведено подробное решение всех основных типов расчетно-графических задач с методическими примерами, необходимых для формирования компетенций, заложенных ФГОС 3++. Ряд других особенностей учебного пособия связан с требованиями смежных дисциплин, которые изучаются в университетском курсе программы специалитета и делают этот курс доступным для широкого круга студентов.

Выражаем уверенность, что пособие будет полезным как для преподавателей теоретической механики, так и для инженеров, выполняющих технические расчеты.

4

Введение

Механика – один из разделов естествознания – науки о природе, в котором изучаются два явления природы, играющих важную роль в человече-

ской жизни, механическое движение материальных тел и механическое взаимодействие между ними.

Элементы механики изучаются в курсе физики. Ещё в школе рассматриваются понятия силы, скорости и ускорения – основных характеристик механического взаимодействия и механического движения, формулируются законы Ньютона, определяющие, как именно механическое взаимодействие материальных тел друг на друга влияет на характер их механического движения.

Всё, что существует, взаимодействует между собой. Но не всякое взаимодействие можно назвать механическим. Механическим называется такое взаимодействие между телами, при котором они изменяют или стремятся изменить характер механического движения друг друга.

В тех случаях, когда размерами взаимодействующих тел можно пренебречь, рассматривая их как материальные точки, для описания количественной меры механического взаимодействия между ними достаточно использовать F– вектор силы, приложенной к точкам (рис. 1, a).

Рис. 1. Вектор силы (a), сила тяжести (б)

И. Ньютон в 1687 г. во втором законе постулировал, что сила является причиной изменения движения тел. На рис. 1, б приведена сила тяжести, причиной которой является гравитационное взаимодействие между телами, обладающими массой; другие силы, которые изучаются в курсе теоретической механики, относятся к иному типу взаимодействия – электромагнитному.

Сила тяжести приложена к каждому материальному телу, находящему на поверхности планеты Земля. Величина этой силы определяется из закона всемирного тяготения. Именно в результате действия этой силы и происходят контакты между телами, что является причиной возникновения механического взаимодействия материальных тел, определяемого другими силами.

5

Движется всё, что существует. Но не всякое движение материальных тел можно назвать механическим. Механическое движение – перемещение тел, находящихся в твердом, жидком или газообразном агрегатном состоянии, в пространстве с течением времени относительно друг друга.

В тех случаях, когда размерами движущегося тела можно пренебречь, рассматривая его как материальную точку, количественной мерой механического движения этого тела относительно другого тела является V – вектор скорости точки (рис. 2, a).

Рис. 2. Вектор скорости (a), абсолютная скорость (б)

Скорость материальных точек относительно поверхности планеты Земля называется абсолютной скоростью. Скорость двух точек относительно друг друга равна векторной разности их абсолютных скоростей

(рис. 2, б).

Задачей механики является определение взаимосвязи и взаимовлияния двух процессов: механического движения и механического взаимодействия между телами.

Основные законы – аксиомы механики Галилея – Ньютона устанавливают пропорциональность между изменением механического движения материальной точки и приложенной к ней силой F:

Здесь буквой m, как и при определении силы тяжести на рис. 1, б, обозначена масса материальной точки, которая является количественной мерой её инертности, т.е. способности сохранять, совершать и изменять характер своего механического движения. В формуле (1) буквой V обозначена абсолютная скорость движущейся материальной точки.

В курсе теоретической механики продолжается изучение фундаментальных (лежащих в основе) понятий механики. Здесь объектами исследования являются только тела, находящиеся в твердом агрегатном состоянии, но такие, размерами которых пренебречь нельзя. При этом вместо реального материального тела рассматривается его упрощенная модель – абсолютно твердое тело.

Абсолютно твердым телом называется такое материальное тело, расстояние между любыми двумя точками которого остаётся неизменным в

6

процессе его механического взаимодействия с другими телами и его механического движения относительно этих тел.

Такая упрощенная модель материального тела, с одной стороны, сильно ограничивает область применения методов теоретической механики. При больших температурах или под большим давлением любое твердое вещество становится жидким. При сильном механическом воздействии материальные тела, оставаясь твердыми, изменяют свой объем и форму – деформируются. Наконец, в материальных телах, удовлетворяющих определению абсолютно твердого тела, постоянно происходят всевозможные химические и физические (например, ядерные) процессы. Все эти явления остаются за рамками теоретической механики и не могут быть исследованы её методами.

В тех случаях, когда размерами взаимодействующих абсолютно твердых тел пренебречь нельзя, для описания количественной меры механического взаимодействия между ними помимо вектора силы F требуется ис-

пользовать MC(F) – момент силы относительно точки (рис. 3).

MC(F) mg

MC(F)

Рис. 3. Момент силы относительно точки

Вектор момента силы относительно точки равен (рис. 3, a) векторному произведению радиуса-вектора, соединяющего моментную точку (относительно которой определяется момент силы) с любой точкой, лежащей на линии действия силы, на вектор этой силы:

Направление вектора момент силы относительно точки определяется по правилу правой руки (рис. 3, б).

В тех случаях, когда размерами абсолютно твердого тела пренебречь нельзя, для определения векторов скоростей точек этого тела требуется знать расположение относительно этого тела оси вращения (или винта) – прямой линии, вдоль которой направлен Ω – вектор угловой скорости тела

(рис. 4).

Тогда скорость любой точки этого тела равна (рис. 4, a) векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор, соединяющий любую точку на оси вращения с данной точкой:

7

Рис. 4. Вектор угловой скорости тела

Направление вектора скорости любой точки абсолютно твердого тела определяется по правилу правой руки (рис. 4, б).

Для абсолютно твердого тела взаимосвязь между характеристиками механического движения и механического взаимодействия определяется из общих теорем динамики, полученных из аксиом Галилея – Ньютона (1):

Здесь буквой m обозначена масса, буквой C – центр масс, а буквой JC – момент инерции абсолютно твердого тела относительно центра масс.

При изучении теоретическую механику разделяют на три раздела: «Статика», «Кинематика» и «Динамика».

8

1 СТАТИКА

Статика (statos – стоящий). В этом разделе исследуется, какое механическое взаимодействие происходит между твердыми телами, когда они не перемещаются относительно друг друга.

В разделе «Статика» теоретической механики излагается учение о силе как количественной мере механического взаимодействия между двумя телами и определяются условия равновесия различных систем сил, действующих на тело, выбранное объектом исследования.

1.1 Основные понятия статики

Объект исследования – материальное тело, на которое оказывается механическое воздействие. Любая задача статики в теоретической механике начинается с его выбора. Объект исследования рассматривается либо как материальная точка, либо как абсолютно твердое тело, либо как механическая система – совокупность материальных точек или абсолютно твердых тел, положение и движение каждого из которых зависит от положения и движения остальных элементов данной совокупности.

Вектор силы – количественная мера механического взаимодействия двух материальных тел (или воздействия любого тела на незакрепленный объект исследования).

Характеристиками вектора силы F являются (рис. 1.1, a):

–линия действия вектора силы – прямая линия, вдоль которой направлен вектор F;

–точка приложения A силы изображается в начале или в конце век-

тора F;

–величина (модуль) вектора силы F, которая измеряется в ньютонах.

MO(F) O

MO(F)

Рис. 1.1. Сила и момент силы относительно точки

9

Вектор момента силы относительно точки – количественная мера механического взаимодействия двух материальных тел (или любого тела на объект исследования, закрепленный в одной точке).

Характеристиками момента силы относительно точки MO(F) явля-

ются:

–линия действия вектора MO(F) – прямая линия, направленная по правилу правой руки (см. рис. 1.1, б);

–точка приложения вектора MO(F) – точка, относительно которой берётся момент, т.е. это моментная точка O (см. рис. 1.1, a);

–величина (модуль) момента силы относительно точки равна произведению величины (модуля) силы на её плечо:

Размерность величины момента силы относительно точки определяется, как произведение ньютона на метр.

Плечо силы – кратчайшее расстояние от моментной точки до линии действия силы. Величина плеча H равна длине перпендикуляра, проведенного от моментной точки O до линии действия силы F (см. рис. 1.1, а):

H = r sin .

Система сил – это совокупность всех сил, приложенных к объекту исследования. Система сил является мерой механического взаимодействия на выбранный объект.

Будет доказано (основная теорема статики), что любую систему сил, т.е. любое механическое воздействие, можно охарактеризовать двумя векторными величинами (рис. 1.2, a): F* – главным вектором этой системы сил и MO* – главным моментом относительно произвольной точки O:

Главный вектор системы сил равен векторной сумме всех сил данной системы. Главный момент системы сил относительно точки O равен векторной сумме моментов всех сил данной системы относительно этой же точки O.

Рис. 1.2. Эквивалентные системы сил

10