Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

тами ω1 и ω2 соответственно. Коэффициенты µ1, µ2 называют коэффициентами распределения амплитуд. Они характеризуют отношение амплитуд в главных колебаниях или форму главных колебаний.

4.2.4 Собственные формы колебаний

Коэффициенты распределения амплитуд и, следовательно, формы главных колебаний, как и собственные частоты, определяются параметрами самой колебательной системы и не зависят от начальных условий. Поэтому формы колебаний называют так же, как и частоты – собственными формами колебаний при колебаниях по соответствующему тону.

Общее решение системы уравнений (4.43) может быть представлено как сумма найденных частных решений (4.55):

Общее решение содержит четыре неопределенные постоянные A11, A12 ,α1 , α2 , которые должны определяться из начальных условий (4.44).

При произвольных начальных условиях обе константы A11 и A12 отличны от нуля. Это означает, что изменение во времени каждой обобщенной координаты будет представлять собой сумму гармонических колебаний с частотами 1 и 2 . А такие колебания являются не только не гармоническими, но в общем случае и не периодическими.

Рассмотрим случай свободных колебаний системы, когда собственные частоты колебаний системы 1 и 2 мало отличаются друг от друга:

2 1 1 .

Обозначим разность аргументов синусов в общем решении (4.56) уравнений свободных колебаний:

При t 0 величина (0) 2 1 , а с возрастанием времени эта зависимость из-за малости 2 1 увеличивается очень медленно, тогда

2t 2 1t 1 .

С учетом последнего равенства общее решение уравнений свободных колебаний (4.56) может быть записано в виде:

81

В этих уравнениях

Так как выражения (4.59) зависят от sin и cos , а угол φ медленно изменяется с изменением времени, то рассматриваемые колебания (4.58) будут колебаниями с периодически изменяющейся амплитудой. Период изменения амплитуды в этом случае значительно больше периода колеба-

ний (рис. 4.8).

Рис. 4.8. График биений

Если коэффициенты распределения амплитуд µ1 и µ2 имеют разные знаки, то максимуму С1 соответствует минимум С2 и наоборот. При усилении первого главного колебания интенсивность второго главного колебания уменьшается и наоборот, т. е. энергия движения системы периодически оказывается как бы сосредоточенной то в одном, то в другом звене этой вибрирующей системы. Такое явление называют биением.

Возможен другой подход к решению задачи о свободных колебаниях

системы – найти какие-то новые обобщенные координаты η1 и η2, называемые нормальными или главными, для которых при любых начальных условиях движение будет одночастотным и гармоническим.

Зависимость между обобщенными координатами q1 и q2 , выбранны-

82

где µ1 и µ2 – коэффициенты распределения амплитуд (коэффициенты формы).

Можно показать, что переход от исходных координат к главным приводит квадратичные формы кинетической и потенциальной энергии к каноническому виду:

Подставив полученные для T и П выражения (4.61) в уравнения Лагранжа второго рода, получим уравнения малых колебаний системы в главных координатах:

причем c1 a1 12 ; c2 a2 22 .

Выразив из системы (4.60) η1 и η2 через q1 и q2 , получим:

Нормальные координаты находят широкое применение при решении задач о вынужденных колебаниях в случае произвольного возмущения, а также при решении задач о свободном движении в неконсервативных системах.

Рассмотрим случай, когда на механическую систему с двумя степенями свободы наряду с консервативными силами действуют силы сопротивления, пропорциональные скорости. Примем за обобщенные координаты системы главные координаты η1 и η2. Выражения кинетической и потенциальной энергии будут иметь канонический вид:

Диссипативная функция, выраженная через главные координаты, является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей 1 и 2 с постоянными коэффициентами:

Ф 12 (b1 12 2h 1 2 b2 22 ).

Уравнения Лагранжа второго рода для рассматриваемой системы в случае свободных колебаний будут иметь вид:

83

Частное решение системы совместных линейных дифференциальных уравнений второго порядка имеет вид:

Подставляя (4.64) в дифференциальные уравнения (4.63) и затем сокращая на ext , получим:

C1 (a1x2 b1x c1 ) C2hx 0

Для того чтобы эта система двух линейных уравнений имела относительно С1 и С2 отличные от нуля решения, ее определитель должен равняться нулю:

Раскрыв определитель, получим уравнение для определения неизвестных показателей x , называемое характеристическим уравнением:

Так как T , П и Ф являются положительно определенными квадратичными формами, то их коэффициенты удовлетворяют неравенствам

a1 0; a2 0; c1 0; c2 0; b1 0; b1b2 h2 0.

На этом основании можно утверждать, что все коэффициенты характеристического уравнения (4.66) положительны.

Используя критерий Гурвица (необходимым и достаточным условием отрицательности вещественных частей всех корней многочлена вида

a0 xn a1xn 1 a2 xn 2 ... an 0

при a0 0 является положительность определителей всех главных диаго-

нальных миноров матрицы Гурвица [14]), можно показать, что вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, а поэтому колебания системы являются затухающими.

84

5 ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

5.1Исследование колебаний подпрыгивания экипажа

содноступенчатым рессорным подвешиванием

Рассмотрим показанную на рис. 5.1 механическую систему, представляющую собой простейшую одномассовую модель рельсового экипажа. Подрессоренная масса m (кузов) через подвеску, состоящую из пружины жесткости с и гидравлического гасителя колебаний (демпфера) с коэффициентом сопротивления μ, опирается на буксу колеса K, массой которого пренебрегаем. Колесо движется по пути с неровностью h = h(x).

v0

z

h(x)

Рис. 5.1. Одномассовая модель рельсового экипажа (слева) и схема действующих сил (справа)

Используя материал, изложенный выше, получим дифференциальное уравнение вертикальных колебаний кузова.

На рис. 5.1 горизонтальной пунктирной линией отмечен уровень, соответствующий положению статического равновесия кузова. Начало отсчета О помещаем на этом уровне, а ось Оz направим по вертикали вверх; если кузов находится выше положения статического равновесия, то его координата z > 0, если ниже – то z < 0.

Вертикальные колебания кузова представляют собой колебания подпрыгивания. Положение кузова при этих колебаниях однозначно определяется координатой z, которую и выбираем в качестве обобщенной коор-

85

динаты q1. Следовательно, рассматриваемая система имеет одну степень свободы S = 1.

При вертикальных колебаниях кузов совершает поступательное движение, и его кинетическая энергия согласно (2.6) запишется как:

На подрессоренную массу действуют следующие силы: сила тяжести

P , сила упругости пружины F и сила вязкого сопротивления демпфера R . Потенциальную энергию сил тяжести и упругости находим согласно

(2.19), получаем:

Проекция силы тяжести на ось Оz:

Pz (mgz) / z mg .

Длина пружины в текущий момент времени l l0 ст z h(x) ,

где l0 – длина пружины в недеформированном состоянии;

ст mgc – статическая деформация пружины (знак «минус» озна-

чает, что в положении равновесия пружина сжата); z – текущая координата тела;

h(x) – вертикальное перемещение нижнего конца пружины за счет движения по неровному пути.

Деформация пружины находится как

l l l0 ст z h(x) ,

и для проекции силы упругости пружины на ось Оz получаем следующее выражение:

Неровность пути h(x) может быть взята, например, в виде гармонической функции:

где x = v0t – закон движения вдоль оси Ох; h0 – амплитуда неровности;

Lp = 25 м – длина рельса.

86

Диссипативная функция Рэлея (2.21) в данном случае имеет вид:

12 vz 2 ,

где vz – разность скоростей верхней и нижней точек крепления демпфера,

взятая в проекции на вертикальную ось.

В нашем случае vz z vKz , т. к. верхний конец демпфера крепится

к подрессоренной массе, а нижний – к оси колеса K, вертикальная составляющая скорости которой находится как

При неровности, взятой в виде (5.3), получаем:

находим проекцию на ось z силы вязкого сопротивления, действующей на тело:

Переходим к формированию уравнений Лагранжа (2.22), которые в нашем случае сводятся к одному уравнению (т. к. число степеней свободы S = 1) следующего вида:

Правая часть уравнения Лагранжа (см. (2.23)) приобретает в нашем случае вид (при q1 = z):

Вычисляя затем с учетом (5.1) левую часть уравнения (5.4) и вводя обозначения:

где – частота возмущения,

87

получаем дифференциальное уравнение вертикального движения (подпрыгивания) подрессоренной массы в виде:

Начальные условия для интегрирования уравнения (5.5) имеют следующий вид:

Частота свободных колебаний k , измеряемая в с – 1, находится как

Последнее выражение (5.6) удобно для практических расчетов, т. к. статическая осадка пружины ст может быть определена путем непосредственного измерения [2].

Найдем положение равновесия данной механической системы (см. рис. 5.1) и исследуем его устойчивость.

Потенциальная энергия согласно (5.2) имеет вид:

(0) 12 cz2 .

Первая производная потенциальной энергии по координате z равна

cz .z

В положении равновесия согласно (3.5) эта производная должна быть равна нулю, откуда заключаем, что при равновесии z = 0.

Исследуем устойчивость этого положения равновесия, для чего вычислим вторую производную потенциальной энергии П по координате z. Выполняя повторное дифференцирование, находим:

2Π c ,z2

поскольку коэффициент жесткости пружины с есть величина положительная, приходим к выводу, что положение равновесия z = 0 является устойчивым.

5.2Исследование колебаний подпрыгивания экипажа

сдвухступенчатым рессорным подвешиванием

На рис. 5.2 показана механическая система, представляющая собой двухмассовую модель рельсового экипажа. Колесо движется по пути с не-

88

ровностью h = h(x). Тело 1 (рама тележки) массы m1 через буксовую подвеску, состоящую из пружины жесткости с1 и гидравлического гасителя колебаний с коэффициентом вязкого сопротивления 1, опирается на ось колеса K, массой которого пренебрегаем. Тело 2 (кузов) массы m2 через кузовную подвеску, состоящую из пружины жесткости с2 и гидравлического гасителя колебаний с коэффициентом вязкого сопротивления 2, опирается на тело 1.

Предполагаем, что по горизонтали система перемещается с постоянной скоростью v0. Требуется определить вертикальное движение тел 1 и 2.

На рис. 5.2 горизонтальными пунктирными линиями отмечены уровни, соответствующие положениям статического равновесия тел 1 и 2 в случае идеально ровного пути. Ось Ох направим вправо вдоль линии, соответствующей положению равновесия тела 1, ось Оz – по вертикали вверх.

Положение тел 1 и 2 при вертикальных колебаниях определяется координатами z1 и z2, которые выберем в качестве обобщенных координат q1 и q2. Рассматриваемая система имеет две степени свободы.

h(x)

Рис. 5.2. Двухмассовая модель для изучения колебаний подпрыгивания (слева) и схема действия сил (справа)

89

При вертикальных колебаниях оба тела совершают поступательное движение, выражение для кинетической энергии системы принимает вид:

Потенциальная энергия сил тяжести, действующих на тела 1 и 2, запишется как

тяж тяж.1 тяж.2 m1 gz1 m2 gz2 .

Потенциальная энергия сил упругости пружин имеет вид:

означает, что в положении равновесия пружина сжата); z1 – текущая координата тела 1;

h(x) – вертикальное перемещение нижнего конца пружины за счет движения по неровному пути.

Деформация пружины 1 находится как

l1 l1 (l1 )0 ст.1 z1 h(x) .

Длина пружины 2, установленной между телами 1 и 2, равна:

l2 (l2 )0 ст.2 z2 z1 ,

где (l2)0 – длина пружины 2 в недеформированном состоянии;

ст.2 m2 g – статическая деформация пружины 2; c2

z1 , z2 – текущие координаты тел 1 и 2. Деформация пружины 2 находится как

l2 l2 (l2 )0 ст.2 z2 z1 .

Подставляя l1 и l2 в (5.8), получаем:

упр c1 ( ст.1 z1 h(x))2 / 2 c2 ( ст.2 z2 z1 )2 / 2 .

90