Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

и, следовательно,

yчн Dei( pt ) .

Таким образом,

причем есть фазовое запаздывание (сдвиг по фазе) вынужденных колебаний от колебаний возмущающей силы.

Общее решение (4.36) будет иметь вид:

где С1, C2 − произвольные постоянные, определяемые из начальных условий с учетом вида решения.

Структура общих решений однородного уравнения такова, что при любых отличных от нуля значениях n с течением времени из-за наличия

множителя e nt они стремятся к нулю, и в решении остается только qчн .

В этом случае говорят об установившихся вынужденных колебаниях.

На основании решения (4.37) можно сформулировать основные свойства установившихся вынужденных колебаний:

1)эти колебания являются незатухающими; они длятся так долго, как долго действует возмущающая сила;

2)эти колебания не зависят от начальных условий;

3)при гармоническом возбуждении они происходят с частотой возмущающей силы;

4)установившиеся вынужденные колебания отстают по фазе от воз-

, изменяющуюся, как будет показано ниже,

.

72

Амплитуда D и фазовое запаздывание установившихся вынужден-

ных колебаний зависят от соотношения между частотами р и k и коэффициента затухания n . Проанализируем эти зависимости, называемые ам- плитудно-частотной и фазочастотной характеристиками.

Для большей общности результатов перейдем к безразмерным параметрам.

Безразмерным коэффициентом затухания d 2nk .

Если n k и, следовательно, T1 T , то безразмерный коэффициент затухания можно связать с логарифмическим декрементом колебаний:

Добротностью Д называют величину, обратную к d:

Д 1d k 2n. .

Очевидно, что при малом затухании добротность так же, как и безразмерный коэффициент затухания, может быть выражена через логариф-

мический декремент колебаний: Д .

Разделив числитель и знаменатель амплитуды D на k 2 , получим:

D Dст ,

где Dст Q0 c – статическое смещение системы от положения равновесия;– коэффициент динамичности,

z pk – коэффициент расстройки.

Исследуем зависимость коэффициента динамичности от z и d , представляющую собой амплитудно-частотную характеристику системы в

Видим, что добротность Д представляет собой коэффициент динамич-

ности при резонансе. Она показывает, во сколько раз амплитуда колебаний при резонансе отличается от статического смещения. В отличие от случая, когда вязкое сопротивление отсутствует, амплитуда при резонансе имеет конечное значение. Если частота р изменения возмущающей силы мала по

73

сравнению с частотой свободных колебаний, т. е. p k , то амплитуда

вынужденных колебаний близка к статическому смещению, а коэффициент динамичности близок к единице. Если же частота изменения возмущающей силы значительно больше частоты свободных колебаний, т. е. p k , то колебательная система ведет себя как фильтр, практически не

воспринимая возмущения с частотами, существенно превышающими собственную частоту. Выражение для коэффициента динамичности (4.38) показывает, что при малых значениях d вязкое сопротивление становится существенным лишь в достаточно узкой зоне в окрестности резонанса, когда d 2 z2 соизмеримо с (1 z2 )2 . Это же демонстрирует график (z) при d 0 ,

приведенный на рис. 4.5. Поэтому при определении амплитуды вынужденных колебаний в реальных системах с малым вязким сопротивлением его можно не учитывать, если известно, что частота р возмущающей силы далека от собственной частоты k .

Рис. 4.5. Зависимость коэффициента динамичности (z) от безразмерного коэффициента затухания d в случае силового возбуждения колебаний

Для определения экстремальных значений коэффициента динамичности достаточно исследовать подкоренное выражение в уравнении (4.38), поскольку его максимум в силу структуры этого уравнения будет соответ-

74

Приравняв к нулю y (z) , получим два значения z, соответствующие экстремумам:

z1 0; z2 1 d 2 2.

Второе значение имеет место только при d 2 , а при d 2 оно совпадает с первым.

Если d 2 , то вторая производная y (z) отрицательна при z1 и положительна при z2 . Следовательно, z1 соответствует максимуму y(z) и локальному минимуму (z) , a z2 – минимуму y(z) и максимуму (z) .

Максимальное значение коэффициента динамичности при этом будет равно:

ное значение коэффициента динамичности, равное единице, имеет место при z 0 , т. е. амплитуда установившихся вынужденных колебаний оказывается равной или меньшей статического смещения. При значениях

d 2 максимум (z) оказывается всегда сдвинутым влево от резонанса.

Для исследования фазочастотной характеристики в безразмерном виде разделим числитель и знаменатель аргумента арктангенса в выражении

Так как производная по z независимо от значения d (кроме d=0)

положительна при всех значениях z, то (z) представляет собой монотонно возрастающую функцию, т. е.

Отметим, что при резонансе сдвиг по фазе равен /2 вне зависимости от значения коэффициента d, характеризующего вязкое сопротивление.

На рис. 4.6 представлены кривые, характеризующие зависимость (z) при различных значениях d. При d = 0 (отсутствие вязкого сопротивления) в соответствии с полученными выше результатами (см. рис 4.4) функция

75

(z) имеет разрыв. Отметим, что с ростом d изменяется характер фазовой кривой – из кривой с двумя перегибами она трансформируется в кривую с одним перегибом.

В случае инерционного возбуждения колебаний

f0 f0 p2 .

Тогда

Df0 ин

икоэффициент динамичности при инерционном возбуждении

Рис. 4.6. Зависимость сдвига фазы от безразмерного коэффициента затухания

Полученная зависимость ( ) полностью совпадает по структуре с(z) при силовом и кинематическом возбуждении. Следовательно,

76

при 1 d 2 2 или z 1 1 d 2 2 , т. е. в отличие от силового и кинематического возбуждения максимальное значение коэффициента динамичности смещено вправо от резонанса.

При d 2 максимальное значение ин 1при z .

Зависимость ин (z) при различных значениях коэффициента d представлена на рис. 4.7. Как и в случае силового и кинематического возбуждения колебаний, при определении амплитуды вынужденных колебаний в реальных системах с малым вязким сопротивлением его можно не учитывать, если известно, что частота р возмущающей силы далека от собствен-

ной частоты k .

Рис. 4.7. Зависимость ин (z) от безразмерного коэффициента затухания в случае инерционного возбуждения колебаний

Фазо-частотная характеристика не зависит от способа возбуждения колебаний (см. рис. 4.6).

77

4.2 Колебания системы с двумя степенями свободы

4.2.1 Дифференциальные уравнения малых колебаний консервативной системы в обобщенных координатах

В частном случае системы с двумя степенями свободы квадратичные формы Т, П, Ф будут соответственно равны [12]:

В силу положительной определенности квадратичной формы кинетической энергии обобщенные инерционные коэффициенты удовлетворяют соотношениям

a11 0; a11a22 a122 0; a22 0,

а аналогичные соотношения для квазиупругих коэффициентов

с11 0; c11c22 c122 0; c22 0

являются достаточными условиями устойчивости положения равновесия системы.

Коэффициенты а12 и с12, связывающие в уравнениях (4.43) обобщенные координаты q1 и q2, называют соответственно коэффициентами инерционной и упругой связи. Если в колебательной системе коэффициент

78

a12 0 , ее называют системой с упругой связью, а если c12 0 – системой с инерционной связью.

Парциальной системой, соответствующей обобщенной координате qj, называют условную колебательную систему с одной степенью свободы, получаемую из исходной системы, если наложить запрет на изменение всех обобщенных координат кроме qj. Парциальными частотами называют собственные частоты 1 и 2 парциальных систем:

4.2.2 Общее решение системы дифференциальных уравнений

Поскольку уравнения (4.43) содержат только обобщенные координаты и их вторые производные по времени, ищем их решение в виде:

где A1, A2 , , – пока не определенные величины.

Подставив (4.46) в (4.43) и приравняв коэффициенты при синусах, получим однородную алгебраическую систему относительно A1 и A2:

Для того чтобы однородная алгебраическая система (4.47) имела ненулевое решение, она должна быть вырожденной, т. е. ее определитель должен равняться нулю:

Следовательно, решение (4.46) будет иметь смысл только при тех значениях ω, которые удовлетворяют условию (4.47). Раскрывая (4.48), получаем:

79

4.2.3 Частотное уравнение. Собственные частоты, главные колебания. Парциальные частоты

Уравнение, представленное в форме (4.48), (4.49) или (4.50), называют частотным. Как видно из (4.50), частотное уравнение – биквадратное уравнение. Найденные из (4.48)–(4.50) значения называют собственны-

ми частотами колебаний системы.

Исследование корней частотного уравнения позволяет сделать следующие выводы:

1) если положение равновесия устойчивое, то оба корня частотного уравнения положительны;

2) первая собственная частота системы ω1 всегда меньше меньшей

парциальной частоты, а вторая ω2 – больше большей парциальной частоты. Для колебательных систем с упругой связью (a12= 0) справедливо ра-

венство

где вторая цифра в индексе соответствует номеру частоты, или номеру то-

на колебаний.

Константы A11, A21, A12, A22 не являются независимыми, т. к. система (4.47) вырожденная. Коэффициенты связаны между собой соотношениями:

Колебания, уравнения которых имеют вид (4.55), называют главными колебаниями. Они представляют собой гармонические колебания с часто-

80