Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

Функцию Ae nt можно назвать условной амплитудой затухающих ко-

лебаний. Для любого момента времени она дает оценку сверху для q(t) .

При малых значениях коэффициента затухания (n<<k) условная частота затухающих колебаний k1 ≈ k и аналогично T1 ≈ T.

Решение (4.22) показывает, что в системе с линейным вязким сопротивлением колебания затухают только при t→∞, что не соответствует опыту наблюдения колебаний в реальных системах, которые всегда заканчиваются за конечный промежуток времени. Это противоречие есть результат того, что в линейных уравнениях в расчетной схеме не учитываются другие виды сопротивлений, кроме линейного вязкого. Далее будет показано, что, например, учет сил сухого трения приводит к прекращению колебаний через конечный промежуток времени.

Видим, что за каждый промежуток времени, равный 0 , условная ам-

плитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз. Через 3 0 условная амплитуда уменьшится в е3 , т. е. примерно в 20 раз. Обычно полагают, что по

истечении времени 3 0 затухающие колебания можно условно считать прекратившимися.

Декрементом колебаний называют отношение двух последователь-

ных, взятых через условный период T1 , амплитудных значений обобщенной координаты. Пусть

Ai Ae nti ; Ai 1 Ae nti T1 ,

где ti – время, соответствующее i-му максимуму координаты. Тогда

Ai enT1 .

Ai 1

Логарифмическим декрементом колебаний называют натуральный логарифм от декремента колебаний:

ln nT1.

Логарифмический декремент колебаний удобен для характеристики медленно затухающих колебаний, когда n<<k. В этом случае изменение максимальных отклонений за условный период мало:

61

Как видно, логарифмический декремент колебаний здесь характеризует относительное изменение максимальных отклонений за условный период. Кроме того, он имеет определенный энергетический смысл.

Вычислим изменение полной механической энергии за условный период

колебаний. В положениях максимальных отклонений ( q(ti ) 0 ) полная механическая энергия определяется потенциальной энергией:

С учетом (4.23) для медленно затухающих колебаний имеем:

Ei 1 Пi 1 c( Ai2 2Ai Ai ) . 2

Тогда относительное изменение полной механической энергии системы за условный период колебаний будет

где ψ – коэффициент поглощения энергии за один период (цикл) колебаний.

2 Большое сопротивление. В этом случае

Поскольку n>k, оба корня характеристического уравнения будут действительными и отрицательными.

Общее решение дифференциального уравнения (4.20) в этом случае имеет вид:

Видно, что движение не имеет колебательного характера. Такое движение называют апериодическим. На рис. 4.2 представлен характер поведения решения для различных значений начальных условий:

1– начальная скорость больше нуля;

2– начальная скорость равна нулю;

3– начальная скорость меньше нуля.

62

4.1.4 Вынужденные колебания при гармоническом возбуждении. Способы возбуждения колебаний. Определение обобщенной силы Q(t)

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний линейной системы с одной степенью свободы имеет вид:

aq bq cq Q(t).

В случае, когда обобщенную силу Q(t), характеризующую внешнее воздействие на колебательную систему, можно представить в виде

Q(t) Q0 sin( pt ),

где Q0 — амплитуда обобщенной силы; р ,β – ее частота и начальная фаза,

т. е. Q(t) изменяется во времени по закону синуса или косинуса, имеет место гармоническое возбуждение колебаний.

На рис. 4.3 представлены наиболее характерные способы возбуждения вынужденных колебаний:

1 Силовое возбуждение (рис. 4.3, a). Математический маятник, связанный с пружиной, находится под воздействием силы F(t),

где

F(t) F0 sin( pt ).

В этом случае для получения Q(t) необходимо задать вариацию

обобщенной координаты и, вычислив возможную работу только от F(t), разделить ее на вариацию обобщенной координаты:

С учетом малости угла полагаем cos 1, тогда

Q(t) F0l sin( pt ).

2 Кинематическое возбуждение (рис. 4.3, б). Вынужденные колеба-

ния возникают в результате задаваемого извне перемещения точки крепления пружины s(t) s0 sin( pt ).

Изменение условной потенциальной энергии пружины при одновременном перемещении обоих ее концов с учетом малости угла поворота маятника равно:

П' 12 c 2 12 c l s(t) 2 ..

Тогда

64

Составляющую cl2 перенесем в левую часть дифференциального

Рис. 4.3. Характерные способы возбуждения вынужденных колебаний

3 Инерционное возбуждение. Рассмотрим два возможных случая.

А. Вынужденные относительные колебания (рис. 4.3, в). Пусть ма-

ятник связан с подвижным основанием, перемещение которого задается извне. Рассмотрим задачу об исследовании относительных (по отношению к подвижному основанию) колебаний маятника.

Система координат, связанная с подвижным основанием, движется вместе с ним поступательно и прямолинейно, но неравномерно, поэтому при составлении дифференциального уравнения вынужденных относительных колебаний необходимо учитывать переносную силу инерции

Фе mae , направленную против переносного ускорения. Переносное ускорение считаем сонаправленным с s(t). Обобщенная сила Q(t) будет определяться переносной силой инерции Фе , т. е.

65

или с учетом малости угла :

Q(t) mp2s0l sin( pt ).

Б. Вынужденные колебания, вызываемые вращающимся эксцентри-

ком (рис. 4.3, г). Пусть с телом массой т, имеющим возможность двигаться поступательно, скреплен эксцентрик, имеющий массу m1 m , эксцен-

триситет l1 и вращающийся с постоянной угловой скоростью р. Обозначив через угол отклонения эксцентрика от вертикали, выразим Q(t) через

проекцию на горизонталь центробежной силы m1 p2l1 :

Отметим, что при инерционном возбуждении колебаний в отличие от силового и кинематического возбуждения амплитуда обобщенной силы Q0

пропорциональна p2 .

Приведенные примеры, естественно, не охватывают все возможные способы возбуждения вынужденных колебаний. Например, возможно возбуждение колебаний вследствие перемещения точки прикрепления демпфера или комбинированное возбуждение колебаний, объединяющее сразу несколько способов.

4.1.5.Вынужденные колебания при отсутствии вязкого сопротивления

Дифференциальное уравнение движения при гармоническом возбуждении имеет вид:

aq cq Q0 sin( pt ),

или в каноническом виде:

В случае силового и кинематического возбуждения представим решение линейного неоднородного уравнения (4.29) в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения в соответствии с (4.18),

66

(4.19) имеет вид:

qoo C1 cos kt C2 sin kt или qoo Asin(kt ).

Частное решение неоднородного уравнения зависит от соотношения частот собственных колебаний и возмущающей силы. Возможны два случая: отсутствие резонанса p ≠ k и резонанс p = k.

1 Отсутствие резонанса ( p k ). Представим частное решение в виде: qчн Gsin( pt ),

где G – искомая величина.

Подстановка qчн в (4.29) приводит к соотношению

Как видно из (4.31) и (4.32), решение состоит из двух гармонических колебаний с частотами k и р соответственно. Первое слагаемое с частотой k можно по аналогии со случаем отсутствия возмущающей силы условно назвать свободными колебаниями, а второе (с частотой р) – вынужденными колебаниями.

Условность названия «свободные колебания» связана с тем, что определяющие их произвольные постоянные зависят не только от началь-

67

ных условий (q ̇), но и от параметров возмущающей силы ( f0 , p, ), а

0,

следовательно, первое слагаемое в решении фактически также определяет вынужденные колебания. Однако данное название все же получило широкое распространение, поскольку лишь второе слагаемое содержит частоту возмущающей силы р, в то время как первое – частоту свободных колебаний (собственную частоту) k.

В реальных системах, где всегда присутствуют силы вязкого сопротивления, свободные колебания с частотой k с течением времени затухают, и устанавливаются не зависящие от начальных условий стационарные вынужденные колебания с частотой р, уравнение которых имеет вид:

q f0 sin( pt ). k 2 p2

Если p < k, то установившиеся вынужденные колебания будут совпадать по фазе с возмущающей силой, если же p > k, то вынужденные колебания будут находиться с ней в противофазе (сдвинуты по фазе на по отношению к возмущающей силе).

Введем амплитуду вынужденных колебаний D:

где γ − сдвиг no фазе вынужденных колебаний от колебаний возмущающей силы,

при < ; γ = { при > .

Разделим числитель и знаменатель D на k 2 . Учитывая, что

kf02 Qc0 Dст

есть статическое смещение системы от положения равновесия под дей-

ствием постоянной силы, совпадающей по величине с амплитудой Q(t) , получаем:

D Dст 1 1z2 .

Здесь z pk – коэффициент расстройки, или относительная частота возмущающей силы.

Величину

68

называют коэффициентом динамичности. Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при гармоническом воздействии больше статического смещения системы от постоянной силы Q0 .

2 Резонанс. В случае совпадения частоты возмущающей силы с частотой свободных колебаний (собственной частотой) возникает явление резонанса. При отсутствии сил вязкого сопротивления в случае резонанса амплитуда вынужденных колебаний, нарастая во времени, стремится к бесконечности.

Будем искать частное решение уравнения (4.29) при p = k в виде qчн Gt cos( pt ).

Определив

qчн 2Gpsin( pt ) Gtp2 cos( pt )

и подставив его вместе с qчн в (4.29), получим:

2Gpsin( pt ) f0 sin( pt ).

Отсюда G = - f 0 / 2 p и, следовательно,

Видим, что, с одной стороны, вынужденные колебания при резонансе смещены по фазе (запаздывают по фазе) от вынуждающей силы на/ 2 . С другой стороны, можно заметить, что вынужденные колебания при резонансе происходят с нарастающей пропорционально времени амплитудой.

Отметим, что в реальной колебательной системе, во-первых, всегда имеется сопротивление, во-вторых, при достижении больших размахов колебаний нарушается допущение о малости колебаний и становятся существенными нелинейные восстанавливающие силы. Все это приводит к тому, что амплитуда колебаний при резонансе в реальной колебательной системе хотя и может достигать больших значений, но не является неограниченно возрастающей.

Резонанс, сопровождающийся нарастанием амплитуды колебаний пусть до конечных, но больших значений, может стать причиной разрушения конструкции или возникновения опасных напряжений, сокращающих срок ее службы. Поэтому при проектировании машиностроительных конструкций надо по возможности избегать резонанса.

В случае инерционного возбуждения колебаний

69

где λин – коэффициент динамичности при инерционном возбуждении колебаний,

Коэффициент динамичности λин показывает, во сколько раз амплитуда колебаний при инерционном возбуждении с конечной частотой р отличается от амплитуды вынужденных колебаний при бесконечно большой частоте p→∞ (z→∞).

Зависимости коэффициентов динамичности λ и λин, а также сдвига по фазе от коэффициента расстройки z представлены на рис. 4.4. Коэффициенты динамичности λ и λин имеют разрывы при z = 1, что соответствует резонансу. При z 0 1, что соответствует статическому воздействию на систему, а ин 0 , поскольку при нулевой частоте отсутствует инерционное возбуждение. При z , 0, а ин 1.

Сдвиг по фазе γ не зависит от способа возбуждения колебаний.

Рис. 4.4. Зависимости коэффициентов динамичности , ин ,

атакже сдвига по фазе от коэффициента расстройки z

4.1.6Вынужденные колебания при наличии линейного

вязкого сопротивления

70