Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общее решение системы (3.38) представляет собой линейную комбинацию фундаментальных решений:

В развернутом виде характеристическое уравнение представляет со-

Собственные значения 1, ... , n представляют собой корни уравнения

т. е. собственный вектор, умноженный на матрицу А, остается коллинеар-

ным самому себе. Алгоритм нахождения собственных векторов b1 ,..., bn ,

соответствующих собственным значениям 1, ... , n , излагается в курсе линейной алгебры.

А.М. Ляпунов доказал следующие теоремы об устойчивости по первому приближению:

1 Если все собственные числа матрицы коэффициентов системы уравнений первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение исследуемой системы асимптотически устойчиво, независимо от нелинейных членов в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.

2 Если хотя бы одно из собственных чисел матрицы коэффициентов системы уравнений первого приближения имеет положительную вещественную часть, то невозмущенное движение неустойчиво, независимо от нелинейных членов в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.

51

3 Если среди собственных чисел имеются числа с нулевой вещественной частью, то система уравнений первого приближения не позволяет судить об устойчивости невозмущенного движения. Устойчивость движения в этом случае определяется нелинейными членами уравнений возмущенного движения. Для вопроса об устойчивости невозмущенного движения необходимо исследование полной исходной системы.

52

4 ИССЛЕДОВАНИЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

4.1Малые колебания систем с одной степенью свободы

4.1.1Малые колебания консервативных систем. Линеаризация дифференциальных уравнений движения

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек и имеющую одну степень свободы, на которую наложены голономные стационарные неосвобождающие связи. Предположим, что система имеет устойчивое положение равновесия, от которого будем отсчитывать обобщенную координату q .

В соответствии с допущением о малости колебаний обобщенную координату, ее скорость и ускорение считаем величинами первого порядка малости. В дифференциальных уравнениях движения будем учитывать величины первого порядка малости, а в выражениях для кинетической энергии Т, потенциальной энергии П и вводимой ниже диссипативной функции Рэлея Ф – величины до второго порядка малости, поскольку использование уравнения Лагранжа II рода

приводит вследствие дифференцирования к понижению порядка малости на единицу.

В общем случае сила, действующая на k-ю точку системы, может быть функцией положения точки rk , ее скорости vk и времени t :

Fk Fk (rk ,vk ,t).

С учетом малости колебаний Fk можно представить в виде:

где все позиционные силы FkП (rk ) потенциальные.

Будем считать, что силы FkД (vk ) являются диссипативными, т. е.

уменьшающими полную механическую энергию, и линейно зависящими от скорости:

53

где A(q), также как и rk , в общем случае является функцией обобщенной координаты q .

Разложим A(q) в степенной ряд в окрестности положения равновесия ( q 0):

Здесь и далее индексом «0» отмечены величины, вычисленные в положении равновесия.

В силу малости колебаний в выражении (4.5) нужно учитывать величины не выше второго порядка малости, а в (4.5) уже содержится квадрат

обобщенной скорости 2̇– величина второго порядка малости [6, 8, 14, 26]. Поэтому в разложении (4.6) удерживаем только первый член, который обозначаем:

A(0) a.

Коэффициент a называют обобщенным инерциальным коэффициен-

том. Его единица измерения определяется единицей измерения обобщенной координаты: если q – в метрах, то a – в килограммах, если q – в ра-

дианах, то a – в кг∙м2.

В силу допущения о малости колебаний кинетическая энергия системы является функцией только обобщенной скорости, следовательно, в

уравнении Лагранжа второго рода составляющая T тождественно равна

q

нулю. Поскольку кинетическая энергия – величина существенно положительная, обобщенный инерционный коэффициент может быть только положительным ( a 0).

В силу (4.2) обобщенную силу представим в виде:

54

где QП – составляющая обобщенной силы от потенциальных сил; QД – составляющая обобщенной силы от диссипативных сил;

Q* (t) – составляющая обобщенной силы от сил, зависящих от времени. Составляющая обобщенной силы от потенциальных сил

П q

где П(q) – потенциальная энергия системы.

Так как обобщенная координата отсчитывается от положения равновесия, то

П(0) 0.

Разложим потенциальную энергию в степенной ряд в окрестности положения равновесия:

Первый член в разложении (4.10) равен нулю, второй также равен нулю, поскольку в положении равновесия потенциальная энергия имеет

П

экстремум (следовательно, 0 ). Четвертый и последующие члены в

q 0

разложении отбрасываем, т. к в силу предположения о малости колебаний выражение для потенциальной энергии должно содержать члены не выше второго порядка малости.

коэффициентом. Единица измерения c определяется единицей измерения обобщенной координаты: если q – в метрах, то c – в Н/м, если q – в радианах, то c – в Н∙м.

Достаточным условием устойчивости положения равновесия в соответствии с изложенными выше теоремой Лагранжа и теоремами Кельвина является локальный минимум потенциальной энергии в положении равновесия. Для этого необходимо равенство нулю первой производной и положительность второй. Тогда условие

c > 0

является достаточным условием устойчивости положения равновесия

55

консервативной колебательной системы с одной степенью свободы. Составляющая обобщенных сил от диссипативных сил QД равна:

Подставим в диссипативную функцию Рэлея (4.13) выражение для скорости:

Поступим с коэффициентом B(q) так же, как с коэффициентом A(q) в выражении для кинетической энергии, т. е. разложим его в степенной ряд в окрестности положения равновесия (q = 0), а затем учтем только первый член разложения, поскольку диссипативная функция Рэлея, как и кинети-

ческая энергия, уже содержит величину второго порядка малости q2 . Обозначим В(0) через b и назовем его обобщенным диссипативным

коэффициентом. Единица измерения b, также как и коэффициентов а и с, определяется единицей измерения обобщенной координаты: если q – в м, то b – в Н с/м, если q – в рад, то b – в Н∙с∙м.

Окончательно имеем:

Диссипативная функция Рэлея по своему определению (4.13) не может быть отрицательной, однако в частном случае консервативной системы она может равняться нулю при ненулевой скорости обобщенной координаты. Поэтому обобщенный диссипативный коэффициент может быть больше или равен нулю (b≥0).

Составляющую обобщенной силы от сил Pk (t), зависящих от времени и действующих на систему извне, можно получить стандартным способом, вычисляя сумму элементарных работ от сил Рк (t) на перемещениях,

определяемых вариацией обобщенной координаты q , и относя полученное значение к q :

56

где a>0, b≥0, c>0.

Выражение (4.16) представляет собой дифференциальное уравнение движения для любой линейной колебательной системы с одной степенью свободы. Разделив каждый член (4.16) на обобщенный инерционный коэффициент а, получим уравнение в каноническом виде:

q 2nq k 2q 1a Q(t),

4.1.2 Свободные движения. Свободные колебания консервативной системы

Свободные движения колебательной системы возникают при отсутствии внешнего воздействия (Q(t) = 0) вследствие начального возмущения. Дифференциальное уравнение движения в этом случае в соответствии с (4.16) имеет вид:

aq bq cq 0 .

В случае консервативной системы b=0, поэтому дифференциальное уравнение движения принимает вид:

Его решение можно записать в виде:

57

Произвольные постоянные C1, C2 или А, α определяют из начальных условий:

Заметим, что при определении следует учитывать, что если q0 > 0, то α находится в I или IV квадранте, а если q0 < 0, то во II или III

квадранте, и, следовательно, к вычисленному главному значению арктан-

2, если q0 < 0.

Гармоническими называют такие колебания, при которых обобщенная координата изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Как видно из (4.17) и (4.18), свободные колебания в линейной консервативной системе с одной степенью свободы являются гармоническими. Их характеристиками являются:

k – круговая или циклическая частота, рад/с; kt+ α – фаза колебаний;

α – начальная фаза колебаний; А – амплитуда колебаний;

Т – период колебаний, с, время, за которое фаза колебаний изменится на 2π (период синуса),

T2 k 2 ac .

Винженерной практике используют величину, обратную периоду колебаний называемую частотой колебаний:

1 T k2 .

Единица измерения частоты колебаний − 1 герц (Гц).

Отметим, что круговая частота k , период Т и частота колебаний не зависят от начальных условий. Эти характеристики иногда называют собственными (например, собственная частота колебаний). Свойство независимости частоты и периода колебаний от начальных условий (свойство изохронности колебаний) связано с линейностью дифференциального уравнения и, следовательно, с допущением о малости колебаний.

58

4.1.3Свободные движения неконсервативной системы

Всамом общем случае дифференциальное уравнение свободного движения системы имеет вид:

определения параметра характеристическое уравнение

2 2n k 2 0,

корни которого имеют вид:

Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между значениями n и k.

Возможны три случая:

малое сопротивление (n<k) – корни уравнения (4.21) являются комплексно-сопряженными;

большое сопротивление (n>k) – уравнение (4.21) имеет два вещественных отрицательных корня;

критическое сопротивление (n=k) – корни уравнения (4.21) крат-

ные.

1 Малое сопротивление. В этом случае

1,2 n ik1 ,

где k1 k 2 n2.

Общее решение дифференциального уравнения (4.20) имеет вид: q e nt C1 cos k1t C2 sin k1t ,

или в амплитудной форме

позволяют определить постоянные интегрирования:

59

дится в I или IV квадранте, а при q0 nq0 0 α – во П или III квадранте, и, следовательно, к вычисленному главному значению арктангенса необходимо добавить . При q0 nq0 0 2 , если q0 0 , и 2 , если

q0 < 0.

Графически решение (4.22) приведено на рис. 4.1. Оно представляет собой синусоидальную кривую, расположенную между ограничивающими

кривыми Ae nt и Ae nt . Колебания такого вида называются затухающими. Не являясь периодическим движением, затухающие колебания сохраняют некоторые свойства периодичности. Действительно, решение (4.22) представляет собой произведение двух функций – экспоненты и си-

нусоиды с периодом T1 2 k1 . Это обстоятельство приводит к чередова-

нию через равный промежуток времени T1 нулей и максимумов q(t) (рис. 4.1.), что позволяет считать затухающие колебания условно-

периодическими.

Рис. 4.1. График затухающих колебаний

Величину T1 2 k1 2 k 2 n2 называют условным периодом затухающих колебаний, а k1 – условной частотой затухающих колебаний.

Очевидно, что T1 T .

60