Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

Если все обобщенные координаты и скорости при последующем движении асимптотически стремятся к нулю,

то данное положение равновесия называется асимптотически устойчи-

вым.

3.1.2 Достаточное условие устойчивости равновесия консервативной системы

Достаточное условие устойчивости равновесия консервативной системы дает теорема Лагранжа – Дирихле: если в положении равновесия консервативной системы с идеальными и стационарными связями потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум (так называемую «потенциальную яму»), то это положение равновесия устойчиво.

Таким образом, для ответа на вопрос о том, является ли положение равновесия консервативной системы устойчивым, следует исследовать потенциальную энергию на экстремум.

Для системы, имеющей одну степень свободы (S = 1), потенциальная энергия П(q1) имеет строгий локальный минимум, если ее вторая производная по координате q1 в положении равновесия положительна:

d 2Π

0 . (3.9)

dq12 0

Если система имеет несколько степеней свободы (S > 1), то условием наличия минимума потенциальной энергии как функции нескольких переменных П(q1, …, qS) является критерий Сильвестра, который заключается в нижеследующем. Запишем потенциальную энергию в виде квадратичной формы вида (2.17):

сформируем матрицу обобщенных коэффициентов жесткости (2.18):

и запишем n главных диагональных миноров этой матрицы:

41

Окончательно критерий Сильвестра формулируется следующим образом: для того чтобы квадратичная форма вида (2.17) была определенноположительной (т. е. принимала положительные значения, а в ноль обращалась лишь при q1= …= qS = 0), необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры 1, 2, …, n матрицы (3.10) были положительны:

3.1.3 Теоремы Ляпунова

Отсутствие теоремы, указывающей необходимый признак устойчивого равновесия, частично компенсируется двумя теоремами Ляпунова о неустойчивости равновесия. Чтобы рассмотреть содержание теорем Ляпунова, воспользуемся разложением (2.16) потенциальной энергии системы в ряд Маклорена в окрестности положения равновесия:

Поскольку потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной постоянной, будем полагать, не нарушая общности, что в положении равновесия она равна нулю, т. е. (0) 0 .

Кроме того, в положении равновесия равны нулю первые производ-

Π

ные потенциальной энергии по обобщенным координатам, т. е. = 0

q j 0

при всех j= 1, ..., S.

Следовательно, потенциальная энергия в окрестности положения равновесия может быть представлена в виде:

Первая теорема Ляпунова. Если в положении равновесия системы потенциальная энергия не имеет минимума и его отсутствие устанавливается из рассмотрения членов второго порядка относительно обобщенных координат в полученном разложении, то оно является положением неустойчивого равновесия.

Если члены второго порядка относительно обобщенных координат не входят в разложение или из их рассмотрения нельзя установить отсут-

42

ствие минимума потенциальной энергии, то первая теорема Ляпунова не имеет места. Тогда обращаются ко второй теореме Ляпунова.

Вторая теорема Ляпунова. Если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет максимум и его наличие устанавливается из рассмотрения членов следующего порядка малости относительно обобщенных координат, входящих в разложение, то оно является положением неустойчивого равновесия.

3.1.4. Теоремы Кельвина

При наличии в системе диссипативных сил для оценки устойчивости положения равновесия можно дополнительно воспользоваться тремя теоремами Кельвина.

Теорема 1. Если положение равновесия консервативной системы устойчиво при одних только потенциальных силах, то оно будет оставаться устойчивым и при добавлении диссипативных сил.

Теорема 2. Устойчивое положение равновесия становится асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных сил с полной диссипацией.

Теорема 3. Изолированное и неустойчивое при одних только потенциальных силах положение равновесия не может быть стабилизировано диссипативными силами.

Первые две теоремы Кельвина указывают на то, что диссипативные силы не могут нарушить устойчивость положения равновесия, а третья – что они не в состоянии трансформировать неустойчивое положение равновесия консервативной системы в устойчивое. Следовательно, для оценки устойчивости положения равновесия реальную колебательную систему

сдиссипативными силами можно заменить ее консервативной моделью.

3.2Устойчивость движения

3.2.1Понятия невозмущенного и возмущенного движения

Вдифференциальных уравнениях движения механической системы, записанных в виде уравнений Лагранжа (2.22), сделаем замену переменных:

Переменные yj (j =1,..., n) называются фазовыми координатами, их число n = 2S.

После замены переменных получим систему дифференциальных уравнений движения механической системы в фазовых координатах, приведенную к нормальной форме Коши:

43

Рассмотрим движение механической системы, которое отвечает некоторому частному решению системы (3.14):

Это движение, соответствующее частному решению (3.15) при начальных условиях (3.16), будем называть невозмущенным движением.

Изучим вопрос о характере движения системы при отклонении начальных условий движения yj0 от их значений (3.16). Положим, что имеются малые отклонения начальных условий x10, …, xn0 (их называют начальными возмущениями), тогда начальные условия движения примут вид:

Величины x1, ..., xn называются возмущениями.

Движение, соответствующее решению (3.18), возникающему при возмущенных начальных условиях (3.17), называется возмущенным дви-

жением.

На основании теоремы о непрерывной зависимости решения систем дифференциальных уравнений от начальных условий можно утверждать, что для конечных промежутков времени (t0, t) возмущенное движение незначительно отличается от невозмущенного. Если же время t неограниченно возрастает, то влияние малых изменений начальных условий на движение может оказаться неодинаковым для различных механических систем.

3.2.2 Определение устойчивости движения по А.М. Ляпунову. Асимптотическая устойчивость

В том случае, когда возмущенное движение в течение любого, сколь угодно большого промежутка времени мало отличается от невозмущенного, невозмущенное движение будем называть устойчивым. Если же возмущенное движение при возрастании времени t все больше отклоняется от невозмущенного при любых численно малых значениях начальных возмущений, то невозмущенное движение является неустойчивым.

44

Согласно А.М. Ляпунову, примем следующее строгое определение устойчивости движения: невозмущенное движение устойчиво в том случае, когда для любого числа > 0 , как бы мало оно ни было, можно найти другое число > 0, такое, что если в начальный момент t = t0 выполняются условия:

то в любой момент t > t0 будут иметь место неравенства:

в противном случае невозмущенное движение неустойчиво.

Если невозмущенное движение устойчиво и при этом любое возмущенное движение с течением времени стремится к невозмущенному, т. е.

то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым. Остановимся на особенностях определения устойчивости движения

по Ляпунову:

1 Предполагается, что возмущения налагаются только на начальные условия, иначе говоря, возмущенное движение происходит при тех же силах (источниках энергии), что и невозмущенное движение.

2 Устойчивость рассматривается на бесконечно большом промежутке времени.

3 Начальные возмущения предполагаются малыми.

Несмотря на эти ограничения, сформулированное Ляпуновым определение устойчивости движения является эффективным и плодотворным в приложениях. Кроме того, методы, развитые Ляпуновым, очень часто лежат в основе исследования других видов устойчивости движения.

Например, в технике часто возникают вопросы такого плана: известно, что при некоторых значениях параметров механической системы невозмущенное движение неустойчиво, и необходимо таким образом выбрать параметры системы, чтобы ее движение стало устойчивым (либо асимптотически устойчивым).

Может оказаться, что движение, устойчивое относительно одних переменных, неустойчиво относительно других. Поэтому, говоря об устойчивости движения, необходимо всегда оговаривать, относительно каких переменных рассматривается устойчивость.

Переменные y1, ..., yn можно рассматривать как координаты точки М в пространстве n измерений. Каждая точка этого n-мерного пространства y(n) соответствует определенному состоянию механической системы. Точку М(y1, ..., yn) называют изображающей точкой, а пространство y(n), которому принадлежит точка М, – фазовым пространством (пространством состояний).

45

Для систем, имеющих одну степень свободы, фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость y(2), а траекторию изображающей точки принято называть «фазовым портретом» движения

3.2.3 Дифференциальные уравнения возмущенного движения

Подставляя выражения (3.18) в дифференциальные уравнения (3.14), получим:

Так как функция f j (t) является частным решением уравнения (3.14), то

и уравнения (3.22) можно записать следующим образом:

В правых частях этих уравнений f1(t),..., f1(t) – некоторые функции времени, описывающие невозмущенное движение. Следовательно, правые части можно рассматривать как зависящие от времени t и от возмущений xj

(j=1,..., n):

причем все X j (t, 0,...,0) 0 при любом t 0.

Уравнения (3.25) представляют собой дифференциальные уравнения возмущенного движения.

Частному решению (3.15) системы дифференциальных уравнений (3.14) при начальных условиях (3.16), представляющему собой невозмущенное движение механической системы, соответствует тривиальное решение уравнений (3.25) возмущенного движения, получающееся при нулевых начальных условиях:

Состояние механической системы, при котором все ее фазовые координаты равны нулю, представляет собой положение равновесия. Таким образом, после перехода к дифференциальным уравнениям возмущенного движения в форме (3.25) задача об устойчивости движения по отношению к малым возмущениям начальных условий сводится к задаче об устойчивости равновесия, рассмотренной в п. 3.1.

46

3.2.4 Геометрическая интерпретация устойчивости движения

По аналогии с пространством состояний y(n) можно ввести в рассмотрение n-мерное пространство возмущений x(n). Определение устойчивости движения по Ляпунову имеет в этом пространстве наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Геометрическая интерпретация устойчивости движения

Невозмущенному движению в пространстве x(n) соответствует начало координат О. Изображающая точка, начав свое движение по траектории из положения M0 (x10,...,xn0 ) , лежащего внутри сферы δ, соответствующей

условию (3.19), остается всегда внутри сферы ε, соответствующей условию

(3.20).

Если же невозмущенное движение неустойчиво, то хотя бы одна траектория изображающей точки М с течением времени пересечет сферу ε изнутри наружу при сколь угодно близком положении точки М0 к началу координат.

Если правые части уравнений (3.25) не содержат явно времени, т. е. имеют вид:

то соответствующее возмущенное движение называется установившимся. Этот случай является наиболее простым, к нему приводятся многие

практически важные задачи, в частности задачи об устойчивости движения локомотивов и вагонов.

Если удается получить решение дифференциальных уравнений возмущенного движения в явной замкнутой форме, то исследование устойчивости невозмущенного движения не представляет затруднений. Но получение такого решения возможно только в отдельных случаях.

47

3.2.5 Методы исследования устойчивости движения

А.М. Ляпунов разработал два метода исследования устойчивости движения.

Первый метод Ляпунова содержит способы получения частных решений уравнений возмущенного движения главным образом в незамкнутой форме. Наиболее важным с точки зрения практических приложений здесь является исследование устойчивости движения при помощи линеаризованных дифференциальных уравнений движения (исследование устойчивости по первому приближению).

Второй метод Ляпунова является качественным методом и не требует получения частного решения основных (нелинеаризованных) дифференциальных уравнений движения. Этот метод основан на изучении свойств некоторых функций координат и времени, так называемых функций Ляпунова, при помощи которых выполняется исследование устойчивости движения.

Необходимо отметить, что вследствие трудности построения функций Ляпунова при решении прикладных задач в основном применяется первый метод Ляпунова.

3.2.6Пример исследования устойчивости движения

Вкачестве примера рассмотрим устойчивость колебаний груза массы m на пружине жесткости с. Отклонение груза по вертикали от положения статического равновесия определяется координатой z.

Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид:

Перейдем к фазовым координатам

y1 z, y2 z

и запишем дифференциальные уравнения движения в нормальной форме Коши:

Начальные условия, которыми определяется невозмущенное движение, примем следующими:

Решение уравнений (3.27) при начальных условиях (3.28) представляет собой невозмущенное движение:

48

Фазовый портрет движения (3.29) показан на рис. 3.3.

Исследуем устойчивость невозмущенного движения (3.29). Чтобы получить уравнения возмущенного движения, введем в рассмотрение согласно (3.18) возмущения х1 и х2 следующим образом:

Подставив эти выражения y1, y2 в (3.27), получим уравнения возмущенного движения (сравни (3.25)):

Начальные условия для х1 и х2, соответствующие условиям (3.28), будут нулевыми. Теперь возмутим начальные условия. Пусть начальные

х1 и х2/k :

49

3.2.7 Устойчивость по первому приближению

Рассмотрим устойчивость установившегося возмущенного движения (правые части уравнений не зависят явно от времени):

Положим, что правые части уравнений (3.35) могут быть разложены

где А – квадратная матрица, элементами которой являются постоянные ко-

эффициенты aij (i = 1,..., n; j = 1,..., n).

50