Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода) имеют, как известно из курса теоретической механики, следующий вид:

2.1.3 Кинетическая энергия

Для составления уравнений Лагранжа необходимо записать кинетическую энергию как функцию обобщенных координат и скоростей.

Кинетическая энергия системы материальных точек определяется равенством:

где mk – масса точки (k = 1,…, n); vk – ее скорость; n – число точек.

Вектор скорости точки равен производной ее радиус-вектора по вре-

мени:

в случае стационарных связей радиус-векторы точек представляют собой функции обобщенных координат:

31

Коэффициенты Aij симметричны (Aij = Aji), являются функциями обобщенных координат qj и не зависят явным образом от времени t:

Aij Aij (q1, ...,qS ) .

В окрестности положения равновесия механической системы можно разложить коэффициенты Aij в ряд по степеням обобщенных координат. Полагая, что в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю (q1 = … = qS = 0), в его малой окрестности получим:

индекс 0 соответствует значениям функций в положении равновесия.

Если рассматривать малые движения системы в окрестности положения равновесия, то в этом разложении можно ограничиться только первыми постоянными членами:

Aij 0 Aij (0,...,0) ,

обозначим эти постоянные aij. Тогда выражение (2.5) для кинетической энергии примет вид:

Постоянные коэффициенты aij называются обобщенными коэффициентами инерции. Таким образом, кинетическая энергия механической системы (2.6) в окрестности положения равновесия представляет собой (при стационарных связях) однородную положительно определенную квадратичную форму обобщенных скоростей q j .

Напомним, каким образом вычисляется кинетическая энергия твердого тела:

1 При поступательном движении кинетическая энергия тела равна:

где m – масса тела; vЦ – скорость его центра масс.

2 При вращении тела вокруг неподвижной оси l его кинетическая энергия равна:

где J l – момент инерции тела относительно оси вращения; – его угловая скорость.

32

3 В случае плоскопараллельного движения согласно теореме Кенига кинетическая энергия тела определяется как

где JЦ l – момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной плос-

кости движения и проходящей через центр масс тела.

При составлении уравнений Лагранжа скорость центра масс vЦ и угловая скорость должны быть выражены через обобщенные координаты и скорости.

2.1.4Обобщенные силы

Ваналитической механике каждой обобщенной координате qj ставится в соответствие обобщенная сила Q j , которая находится из выраже-

ния для элементарной работы (или мощности) действующих на механическую систему активных сил на ее возможном перемещении.

Определение обобщенной силы Q j может быть выполнено двумя

способами: через работу активных сил либо через мощность.

1 Запишем элементарную работу активных сил на возможном перемещении механической системы:

(j = 1, ..., S).

Зафиксируем все обобщенные координаты за исключением qj (той, для которой находится обобщенная сила Q j ), тогда вариации всех обобщенных координат, кроме qj , станут равными нулю:

Вычисляя элементарную работу активных сил согласно (2.10) с учетом (2.11), получаем:

Aj Qj q j ,

33

откуда и находим обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате qj :

вычисляем мощности этих сил. Суммируя мощности, определяем возмож-

же мощность N *j , как и все активные силы на возможных скоростях своих точек приложения, возникающих при заданной q*j .

Обобщенная сила, соответствующая линейной обобщенной координате, имеет размерность силы (Н), а соответствующая угловой обобщенной координате – размерность момента силы (Н м).

2.1.5Потенциальная энергия

Вобщем случае потенциальная энергия механической системы с S степенями свободы является однозначной и непрерывной вместе со своими производными до второго порядка включительно функцией обобщенных координат:

Как известно из курса теоретической механики, обобщенная сила Q j , соответствующая координате q j , вычисляется для консервативных си-

стем следующим образом:

34

В окрестности положения равновесия системы потенциальную энергию можно разложить в ряд по степеням обобщенных координат. Полагая, что в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю (q1 = … = qS = 0), в окрестности этого положения получим разложение потенциальной энергии следующего вида:

где точками в правой части обозначены члены более высокого порядка малости. Поскольку потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной постоянной, будем полагать, не нарушая общности, что в положении равновесия она равна нулю, т. е. (0) 0 .

Кроме того, в положении равновесия равны нулю первые производные потенциальной энергии по обобщенным координатам (подробнее об

Π

этом будет сказано в гл. 3), т. е. = 0 при всех j = 1, ..., S.

q j 0

Следовательно, если отбросить в (2.16) малые более высокого порядка, потенциальная энергия в окрестности положении равновесия имеет вид квадратичной формы обобщенных координат qj:

Постоянные коэффициенты cij называются обобщенными коэффициентами жесткости (или же квазиупругими коэффициентами):

Напомним выражение для потенциальной энергии системы n твердых тел, находящихся под действием сил тяжести и упругости:

где n – число тел, входящих в систему; mi – массы тел (i = 1, …, n);

g – ускорение свободного падения;

zЦi – вертикальные отклонения центров масс тел от положения равновесия;

n1 – общее число упругих элементов в системе; cj – жесткости упругих элементов (j = 1, …, n1);

35

lj – деформации упругих элементов.

При вычислении потенциальной энергии согласно (2.19) координаты центров масс тел zЦi и деформации упругих элементов lj должны быть выражены через обобщенные координаты q1 ,...,qs .

2.1.6 Диссипативная функция Рэлея

Для гашения колебаний, возникающих при движении, применяются диссипативные элементы, использующие как сухое, так и вязкое трение. Вязкое сопротивление, пропорциональное скорости относительных перемещений тел системы, возникает в гидравлических демпферах.

Обобщенная сила сопротивления, вызывающая диссипацию (рассеивание) механической энергии, определяется как

где Ф – функция рассеивания (диссипативная функция Рэлея). Диссипативная функция Рэлея механической системы находится

следующим образом:

где n2 – число установленных гидравлических демпферов;k – коэффициенты диссипации энергии (k = 1, …, n2);

vk – относительные скорости перемещений точек крепления демпферов к телам системы, выраженные через обобщенные скорости q1 ,...,qS .

Диссипативная функция Рэлея представляет собой половину скорости изменения полной механической энергии, которую имела бы система при отсутствии сил сопротивления.

2.1.7Дифференциальные уравнения движения (уравнения Лагранжа второго рода)

Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода) имеют, как известно из курса теоретической механики, следующий вид:

Каждое из этих уравнений является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, число уравнений равно числу степеней свободы данной механической системы.

36

Обобщенные силы, находящиеся в правых частях уравнений, определяются через потенциальную энергию и диссипативную функцию Рэлея соответственно как

Интегрирование дифференциальных уравнений (2.22) позволяет найти обобщенные координаты и скорости в функции времени, т.е. определить закон движения системы и ее основные динамические характеристики.

2.1.8 Общее уравнение динамики (принцип д’Аламбера – Лагранжа)

Дифференциальные уравнения движения механической системы с идеальными и удерживающими связями можно также получить, записав общее уравнение динамики, согласно которому на любом возможном перемещении системы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на тела системы, и всех сил инерции равна нулю:

Вычисление элементарных работ сил инерции на возможных перемещениях твердых тел, входящих в состав системы, производится следующим образом:

1 При поступательном движении тела

2 При вращении тела вокруг неподвижной оси l, проходящей через центр масс тела Ц,

где M Цинl JЦl – главный момент сил инерции тела относительно оси

вращения Цl;

JЦl – момент инерции тела относительно этой оси; ε – угловое ускорение тела;

37

– возможное угловое перемещение тела (угол поворота). Отметим, что направление главного момента сил инерции M Цинl про-

тре масс тела;

rЦ – возможное перемещение центра масс;

щей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения;– возможное угловое перемещение тела.

38

3 УСТОЙЧИВОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.1 Равновесие механической системы. Устойчивость равновесия

Как известно из курса статики, условие равновесия (покоя) системы n материальных точек можно сформулировать следующим образом: для равновесия необходимо и достаточно, чтобы скорости всех точек в начальный момент времени равнялись нулю, а силы, действующие на каждую точку системы, были уравновешены, т. е. при t = t0:

где F – сумма всех активных сил, действующих на k-ю точку,

k

Rk – сумма всех приложенных к ней сил реакций связей.

Условия равновесия сил (уравнения статики) используются главным образом для нахождения реакций связей по заранее известным активным силам, при этом положение равновесия механической системы также предполагается известным. Однако во многих случаях возникает необходимость предварительного нахождения тех положений системы, в которых она будет находиться в равновесии, и тех соотношений между активными силами, при которых имеет место равновесие.

В этом случае целесообразно использовать принцип возможных перемещений: для того чтобы механическая система, стесненная идеальными, стационарными и удерживающими связями, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы скорости всех её точек в начальный момент времени равнялись нулю и работа всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю на любом возможном перемещении, выводящем систему из положения равновесия, т. е. при t = t0:

k 1

где rk – возможные перемещения точек системы.

Выполнив переход к обобщенным координатам qj , (j = 1,...,S), запишем элементарную работу на возможном перемещении в виде:

В силу независимости вариаций обобщенных координат qj получаем, что при равновесии все обобщенные силы равны нулю:

Если все действующие силы являются потенциальными, то согласно (2.15) получаем условия равновесия в виде:

39

при нулевых начальных скоростях.

Соотношения (3.5) представляют собой систему уравнений относительно обобщенных координат q1,…, qS, из которой определяются значения этих координат, соответствующие положению равновесия системы.

3.1.1 Устойчивость равновесия по Ляпунову

Если систему вывести из положения равновесия, сообщив ее точкам некоторые малые начальные отклонения от положения равновесия и малые начальные скорости, то в последующем движении точки системы либо останутся вблизи своих положений равновесия, либо удалятся от них. В первом случае положение равновесия называется устойчивым, во втором –

неустойчивым.

Иллюстрация этих случаев дана на рис. 3.1: тяжелая точка во впадине находится в устойчивом положении равновесия, на возвышении – в неустойчивом.

Рис. 3.1. Устойчивое (слева) и неустойчивое (справа) положения равновесия

Строгое определение понятия устойчивости равновесия было дано в конце XIX в. А.М. Ляпуновым. Сформулируем определение устойчивости положения равновесия механической системы, имеющей S степеней свободы (без ограничения общности можно считать, что в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю, т. е. отсчет координат ведется от положения равновесия): положение равновесия q1 = … = qS = 0 устойчиво, если для любого сколь угодно малого числа > 0 можно подобрать другое число > 0, такое, что если в начальный момент

то для любого t > t0 выполняются неравенства:

Начальные отклонения и скорости, сообщенные точкам, обычно называют начальными возмущениями.

40