Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

Согласно этой теории силы крипа и момент спина определяются как произведения крипов в точке контакта колеса и рельса на коэффициенты крипов:

= − ;= − − ;

= − − ;

где – коэффициент спина; – коэффициент крипа, характеризующий взаимное влияние поперечного крипа и спина .

Коэффициенты , , и определяются в зависимости от упругих свойств материалов колеса и рельса, радиуса колеса и нагрузки от

колеса на рельс.

131

8 МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ СО СТОРОНЫ ПУТИ

При исследовании динамики рельсовых экипажей одним из основных вопросов является моделирование неровностей пути [1, 19]. Проще всего можно назначать неровности в виде некоторых функций пройденного пути или времени. Несколько вариантов аналитических зависимостей вертикальной неровности η железнодорожного звеньевого пути от пройденного пути х показаны на рис. 8.1, где обозначено: Lp – длина рельса;

(1) 1 A1 (1 cos 2 x) ;

Lp

Рис. 8.1. Неровности звеньевого пути

Этот самый простой и наглядный случай находит применение

вучебно-педагогической практике, он позволяет демонстрировать возникновение и развитие вынужденных колебаний, биения и резонанса для различных моделей экипажной части транспортных средств.

При исследовании реальных динамических процессов, протекающих

вэкипажной части локомотивов и вагонов, применение гармонических функций весьма ограничено. Здесь в настоящее время широко используется представление неровностей пути методами теории случайных функций. В качестве возмущения принимается некоторая эквивалентная геометрическая неровность η, спектральные характеристики которой находят путем статистической обработки данных измерений на пути и экипаже.

132

8.1 Основные понятия теории случайных процессов

Возмущения, вызывающие колебания подвижного состава, носят случайный характер. Для исследования колебаний локомотивов при случайных возмущениях определяют некоторые усредненные характеристики процессов, представляющих собой случайные функции времени – случайные процессы.

Случайным процессом X t называют бесконечную совокупность функций времени, значения которых в произвольный момент времени могут быть любыми. Отдельная функция времени x t из этой совокупности представляет собой реализацию случайного процесса.

Случайный процесс в каждый фиксированный момент времени ti

рассматривают как совокупность бесконечного количества значений случайной величины X ti . Плотность вероятностей каждой величины назы-

вают одномерной плотностью вероятностей случайного процесса. Описание некоторых случайных процессов можно выполнить с по-

мощью неслучайных функций — характеристик, основными из которых являются математическое ожидание (среднее значение) x t , дисперсия

2x t и корреляционная функция Rx t1,t2 .

Многие задачи динамики локомотивов решаются с помощью теории стационарных случайных процессов [25]. Под стационарным понимают такой процесс, характеристики которого не зависят от начала отсчета времени, т.е. x t x const; 2x t 2x const, а корреляционная функция за-

висит только от сдвига времени Rx t1,t2 Rx , где t2 t1 . Стационарный случайный процесс называют эргодическим в том

случае, если его среднее значение и корреляционная функция, найденные по множеству реализаций, совпадают с подобными характеристиками, найденными осреднением по времени:

При исследовании случайных колебаний удобно представлять стационарный случайный процесс в виде:

где x – случайная функция параметра , которую называют спектром процесса X t .

133

Для представления процесса X t этой формулой используют условие статистической независимости составляющих:

x x Sx ,

где – дельта-функция Дирака:

Дельта-функция обладает следующим свойством:

f d f ,

где f – произвольная функция.

Детерминированная функция Sx параметра называется спектральной плотностью случайного процесса X t . В теории вероятностей доказано, что спектральная плотность стационарного случайного процесса связана с корреляционной функцией преобразованием Фурье:

Размерность спектральной плотности равна квадрату размерности случайного процесса, умноженной на секунду. В соответствии с этим фи-

134

зический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение энергии случайного процесса по частотам спектра. Можно уточнить и физический смысл дисперсии, которую можно рассматривать как среднюю мощность случайного процесса.

На практике удобно пользоваться нормированной спектральной плотностью

Для того, чтобы описать взаимосвязь между двумя случайными процессами используют характеристику, называемую взаимной корреляционной функцией. Для стационарных эргодических процессов ее можно найти по формуле

Согласно рекомендациям РД 32.68-96, функцию спектральной плотности примем в виде:

где G ( f ) – функция спектральной плотности эквивалентной неровности

для пути среднего состояния, мм2/Гц (отметим, что далее на графиках значения G ( f ) даны в м2/Гц);

bi , i , a j , j , j – коэффициенты, определяемые из условия достаточной

точности аппроксимации экспериментальных кривых (численные значения коэффициентов при m = 4 даны в табл. 8.1); V – скорость движения, м/с; f – частота, Гц.

135

Таблица 8.1

Значения коэффициентов выражения (8.13) для моделирования возмущений в диапазоне частот 0–10 Гц

* – для всего диапазона частот.

Исходя из выражения (8.13), могут быть получены графики функций спектральной плотности G ( f ) , соответствующие дорогам с различными

допустимыми скоростями движения. Так, на рис. 8.2 приведен график спектральной плотности геометрической неровности пути, полученный согласно (8.13) с коэффициентами bi , i , a j , j , j для дороги со скоростями

до 120 км/ч. Имеются четыре выраженных всплеска на конкретных длинах волн (25; 12,5; 8,4; 6,25 м), свидетельствующих о наличии в возмущении со стороны железнодорожного пути почти периодических составляющих, которым соответствуют четыре слагаемых в сумме, стоящей в правой части формулы (8.13).

Применение неровности с заданной функцией спектральной плотности для решения задач динамики в частотной области не вызывает значи-

136

тельных трудностей в случае линейных систем. Для сложных нелинейных систем приходится решать задачу во временной области, следовательно, большое практическое значение приобретает эффективный алгоритм нахождения реализаций стационарного случайного процесса, имеющего спектральную плотность G ( f ) , т. е. получение ординат неровности вида

η = η(х) или η = η(t).

Конкретная реализация процесса, описывающего случайное явление, называется выборочной функцией. Совокупность всех возможных выборочных функций, которые может дать случайное явление, называется случайным процессом. Следовательно, под реализацией физического явления понимается один из возможных исходов случайного процесса. Случайный процесс ξ(t) называется стационарным гауссовским, если его среднее значение µξ = E[ξk(t)] (здесь k = 1, 2, … – номер реализации случайного процесса) и ковариационная функция Rξξ( ) = E[ξk(t)∙ξk(t+ )] принимают одинаковые значения при всех фиксированных значениях времени t (т.е. не зависят от выбора начала отсчета), и для любого набора фиксированных моментов времени tn случайные величины ξk(tn) подчиняются нормальному распределению.

Рис. 8.2. Спектральная плотность эквивалентной неровности пути, построенная согласно (8.13) (утолщенная линия), и оценка спектральной плотности построенной реализации эквивалентной неровности пути (тонкая линия)

Двусторонняя функция спектральной плотности процесса, определенная для f (– ∞, ∞):

S ( f ) R (τ)e i 2πfτdτ .

137

Односторонняя спектральная плотность G ( f ) , где f (0, ∞), определяется как G ( f ) 2S ( f ) . Средний квадрат процесса равен площади под графиком спектральной плотности:

Везде далее под случайным процессом будем понимать стационарный гауссовский случайный процесс. Возмущающее воздействие с заданной функцией спектральной плотности можно трактовать как результат прохождения процесса типа белого шума через некоторую линейную систему с постоянными параметрами, которая называется формирующим фильтром.

Рассмотрим на примере системы двух случайных процессов построение их реализаций с заданной матрицей спектральной плотности. В этом случае матрица спектральной плотности представляет собой квадратную эрмитову матрицу, каждый элемент которой является функцией частоты ω = 2πf (с–1), и может быть записан в виде:

При моделировании возмущающего воздействия со стороны пути можно полагать, что элементы, стоящие на главной диагонали матрицы, равны: S11 = S22 , и представляют собой функции спектральной

плотности эквивалентной неровности левой и правой рельсовых нитей, а комплексно сопряженные элементы S12 и S21 , стоящие на вспомога-

тельной диагонали, – функции взаимной спектральной плотности между левой и правой неровностями.

Формирующий фильтр с двумя входами ξ1, ξ2 и двумя выходами y1, y2 (рис. 8.3) описывается квадратной двумерной матрицей частотной характеристики:

Рис. 8.3. Формирующий фильтр

138

При рассмотрении задачи построения неровностей пути величины ξ1, ξ2 представляют собой белый шум, а y1, y2 – ординаты неровностей пути η1 и η2 для левой и правой рельсовых нитей.

Элементы матрицы H gυ есть частотные характеристики фильтров

с одним входом и одним выходом, где индекс g = 1, 2 – выход, а υ = 1, 2 – вход. Если на вход формирующего фильтра подается белый шум, то спектральная плотность выходного сигнала

S H T H ,

где H T означает транспонированную комплексно сопряженную матрицу к матрице H .

Представим непрерывную функцию S как дискретную S k , определенную на некотором конечном наборе точек k 0, max , так что каждому k из 1 , 2 , , n поставлена в соответствие матрица с число-

выми элементами. Применяя факторизацию Холесского к каждой матрице S k , найдем частотную характеристику фильтра на наборе точек (ре-

шетке) k .

Представим непрерывный случайный процесс как дискретный с шагом дискретизации t, так что y[k] = y(k t), где k – целочисленная переменная. Аппроксимируем частотные характеристики H11 k , H12 k ,

коэффициенты agυ (i), bgυ ( j) , (i = 1,…, na +1; j = 1,…, nb +1), находятся по методу наименьших квадратов.

На основании обратного преобразования Фурье находим рекуррентное выражение, которое связывает значение процесса yg n с его преды-

дущими значениями yg n 1 ,...,yg n na и прошлыми возмущениями

n 1 ,..., n nb :

yg n bg 1 n bg 2 n 1 bg nb 1 n nb

ag 2 yg n 1 ag na 1 yg n na . (8.16)

Далее строятся решетчатые реализации процесса yg n :

2

y g n y g n , (g = 1, 2).

1

Отбросим переходные процессы и будем рассматривать только установившиеся. Огибающими последних являются моделируемые случайные процессы с заданной функцией спектральной плотности. Для проверки со-

139

ответствия полученных случайных последовательностей, характеризующих моделируемую неровность, заданной функции спектральной плотности, проводится их спектральный анализ. Затем выполняется качественное и количественное сравнение графиков заданной и «восстановленной» функций спектральной плотности.

В качестве примера формирования системы стационарных случайных процессов было проведено моделирование эквивалентных неровностей левой и правой нитей пути по данным литературных источников, полученные графики элементов матрицы спектральной плотности (8.14) приведены на рис. 8.4 (соответствуют случаю 1б на рис. 8.7 – утолщенная линия; их оценки согласно построенной реализации эквивалентной неровности пути – тонкая линия).

f , Гц

Рис. 8.4. Графики элементов матрицы спектральной плотности (8.14)

На рис. 8.5 показан фрагмент соответствующих этой матрице реализаций левой и правой неровностей пути, построенных по графикам спектральной плотности рис. 8.4 (соответствуют случаю 1б на рис. 8.7).

1 , 2 ,

м

x, м

Рис. 8.5. Пример реализаций левой и правой неровностей пути, построенных по графикам спектральной плотности (рис. 8.4)

140