Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

Итак, получены выражения, определяющие частоту, период и длину волны извилистого движения одиночной колесной пары, которые носят название формул Клингеля.

Из полученного выражения видно, что Lв не зависит от скорости V ,

азависит только от параметров колесной пары и пути (r, i и S).

1Для снижения интенсивности извилистого движения подвижного состава (колебаний виляния) необходимо уменьшать его амплитуду (максимальная амплитуда траектории извилистого движения равна половине суммарного зазора между головками рельсов и гребнями) за счет уменьшения ширины колеи от 1524 до 1520 мм).

2Законы колебаний (7.15) и (7.16) описывают чисто кинематические связи. Характеристики этих колебаний зависят только от начальных условий и не связаны с действующими силами и инерционными параметрами колесной пары. Это условие выполняется при низких скоростях.

С ростом скорости увеличивается , что ведет к росту инерционных сил и повышает вероятность проскальзывания колеса по рельсу.

Режим качения без скольжения, при котором скорости точек контакта колеса и рельса одинаковы, возможен лишь при условии абсолютной твердости контактирующих тел. Если рассматривать реальную колесную пару и рельс, то в месте контакта всегда возникают деформации. Однако поскольку эти деформации малы, то некоторые характеристики движения под действием возмущений при учете деформаций могут быть близки к аналогичным без деформаций, т.е. при небольших скоростях движения.

7.1.2 Качение колесной пары со скольжением

При качении колесной пары со скольжением обобщенные координаты y и φz не обязательно изменяются по гармоническому закону, скорости в точках B и D контакта колес с рельсами не равны нулю и скорости проскальзывания на основе ранее полученных соотношений определяются по формулам:

Результаты теоретических исследований показывают, что силы взаимодействия деформируемых колес и рельсов могут быть выражены через относительные скорости проскальзывания, которые находят как частное от деления скоростей проскальзывания на скорость движения. Относительные скорости проскальзывания определяются выражениями:

121

Эти соотношения в дальнейшем будут использованы для определения сил реакций рельсов на колесную пару.

7.2 Силовое взаимодействие в контакте «колесо – рельс»

Моделирование подсистемы «колесо – рельс» требует экономичного в вычислительном плане алгоритма расчета силового взаимодействия, так как значения сил необходимо вычислять на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений движения. Ниже изложена методика моделирования силового взаимодействия в контакте «колесо – рельс», с одной стороны, достаточно точно описывающая физику явления, а с другой – вполне удовлетворяющая указанным выше требованиям, что позволяет использовать ее при решении задач динамики тягового подвижного состава

[21].

7.2.1 Форма и размеры контактной площадки

При качении колесной пары по рельсовой колее положение точек контакта на рабочих поверхностях колес и рельсов постоянно меняется, нормальная нагрузка в контакте также является переменной, что обусловлено колебаниями надрессорного строения. Происходит деформация материала колес и рельсов, вследствие чего геометрические «точки контакта», о которых шла речь в предыдущем разделе, превращаются в контактные площадки конечных размеров, имеющие форму эллипса [23].

Прежде всего, определим величины полуосей a и b контактного эллипса, образующегося при сжатии некоторым нормальным усилием P двух упругих тел (колеса и рельса), соприкасающихся первоначально в точке, если между нормальными плоскостями, содержащими главные радиусы кривизны поверхностей, имеется некоторый угол

Пусть поверхности колеса и рельса параметризованы таким образом, что координатные линии являются линиями кривизны (коэффициенты L и M квадратичных форм равны нулю). Будем считать, что первой главной кривизной на рабочей поверхности колеса является переменная кривизна, соответствующая продольному направлению

kкол1 = kколv ,

на поверхности рельса первая главная кривизна kрел1 , всегда равная нулю,

также соответствует продольному направлению.

Вторыми главными кривизнами являются кривизны поперечных направлений:

kкол2 = kколu = 0, kрел2 = kрел = 1/ Rp .

122

Угол между нормальными плоскостями представляет собой угол виляния колесной пары (при центральной установке 0 ).

При некотором взаимном расположении колесной пары и рельсовой колеи и усилии P в контакте, полуоси a, b определяются согласно классическому решению контактной задачи теории упругости (задача Герца) в следующей последовательности [7; 27].

Прежде всего, через геометрические характеристики рабочих поверхностей в точке контакта вычисляются значения промежуточных величин А + В и В – А:

A B 12 (kкол1 kкол2 kрел1 kрел2 ) ,

B A 12 [(kкол1 kкол2 )2 (kрел1 kрел2 )2

.

2(kкол1 kкол2 )(kрел1 kрел2 )cos 2 ]12

Полуоси а и b контактного эллипса находятся как:

Поскольку материал колес и рельсов – сталь, имеем следующие численные значения упругих постоянных: E1,2 = 2,1 1011 Па (модуль Юнга);

1,2 = 0,3 (коэффициент Пуассона); 1 = 2 = 0,138·10 –11 м2/Н.

Значения коэффициентов m и n в зависимости от угла , такого, что

cos B A , приведены в табл. 7.1.

A B

Приведем результаты расчета для следующих двух случаев.

1 Для одиночной колесной пары массой 3950 кг, нагруженной только собственным весом, имеем нормальное усилие в контакте P 19400 Н. Согласно (7.22) вычисляем полуоси эллипса a = 4,838 мм (в продольном направлении), b = 2,977 мм (в поперечном направлении, рис. 7.4). Площадь контактного эллипса S = ab = 45,25 мм2.

123

Таблица 7.1

Значения коэффициентов m и n в зависимости от угла

2 Для электровоза ЭП10 нажатие колесной пары на рельсы будет составлять 22 тс, т. е. Р = 107910 Н. В этом случае (для новых колес и рельсов) полуоси эллипса равны a = 8,518 мм, b = 5,242 мм. Площадь контактного эллипса S = ab = 140,28 мм2.

Рис. 7.4. Размеры контактных площадок (случаи 1 и 2)

124

7.2.2 Распределение нормальных усилий в контакте

Как следует из решения задачи Герца, давление qn (x, y) распределено в пределах контактной площадки по следующему закону:

Максимальное давление qmax действует в центре контактной площадки, по величине оно равно:

т. е. максимальное давление в полтора раза превышает среднее давление по площадке контакта.

Для рассмотренных выше двух примеров расчета имеем:

1 Одиночная колесная пара. Среднее давление составляет qср = P/S = =19400/45,25 = 428,73 Н/мм2; максимальное давление qmax = 643,1 Н/мм2.

=1153,9 Н/мм2.

7.2.3Распределение касательных усилий в контакте

Взадачах моделирования динамики экипажа необходимо учитывать упругий характер усилий, возникающих в контакте «колесо – рельс» (явление псевдоскольжения). Известно, что в режиме тяги путь, пройденный центром колеса, отличается от пути, пройденного при чистом качении, что объясняется взаимным проскальзыванием и деформациями материала в контакте «колесо – рельс» при наличии тягового момента на оси колесной пары. При прохождении криволинейных участков пути также появляются значительные линейные и угловые скорости проскальзывания колес по отношению к рельсам.

Внастоящее время наиболее эффективной является методика [27], позволяющая определить распределение касательных напряжений в пределах пятна контакта. На основе этой методики разработан алгоритм FastSim, предназначенный для нахождения касательных усилий в границах площадки контакта, состоящей из двух зон – сцепления и скольжения.

На рис. 7.5 показаны пятно контакта и зоны скольжения (затемненная) и сцепления (светлая) в его пределах для случая чистого продольного

крипа (режим тяги). Полуоси контактного эллипса a = 7,75 мм; b = 6,895 мм. Касательные усилия для каждого элемента площадки контакта показаны стрелками.

В задачах моделирования динамики железнодорожных экипажей очень важно учесть упругий характер усилий, возникающих в контакте

125

«колесо – рельс» (явление псевдоскольжения). Так, при прохождении кривых участков пути появляются значительные линейные и угловые скорости проскальзывания колес по отношению к рельсам. Известно также, что в режиме тяги путь, пройденный центром колеса, отличается от пути, пройденного при чистом качении, что объясняется взаимным проскальзыванием и деформациями материала в контакте «колесо – рельс» при наличии тягового момента на оси колесной пары.

Рис. 7.5. Распределение касательных усилий в пределах площадки контакта при чистом продольном крипе.

Термины, которые будут использоваться ниже, имеют англоязычное происхождение. «Крип» происходит от глагола «to creep», что в переводе означает «ползти»; «слип» – от глагола «to slip», что означает «скользить»; «спин» – от глагола «to spin», что означает «вертеть, закручивать».

Изложение начнем с наиболее простого случая.

7.2.4 Качение упругого колеса по упругому рельсу (плоский случай)

Рассмотрим колесо (тело 1) и рельс (тело 2), прижатые друг к другу некоторым усилием (рис. 7.6.). При качении точка контакта О перемещается по рабочим поверхностям колеса и рельса. Когда скорость точки контакта относительно поверхности тела 1 равна скорости этой точки относительно поверхности тела 2, говорят о «качении» одного тела по другому, а в противном случае – о «скольжении», или о «качении со скольжением».

126

Напомним, что поскольку упругие тела, прижатые друг к другу, деформируются, то фактически образуется не точка, а площадка контакта.

Введем в рассмотрение следующие координатные системы. «Глобальная» система координат [Σ]: Oxyz является подвижной, ось Ox направлена вдоль рельса в сторону движения, ось Oz – вертикально вверх. Локальная система [Σ1]: O1x1y1z1 связана с колесом, система [Σ2]: O2x2y2z2 неподвижна и связана с рельсом.

Рис.7.6. Качение колеса по рельсу (плоский случай): глобальная система координат [Σ] и локальные системы координат,

связанные с телами [Σ1] и [Σ2], О – точка контакта

В системе координат [Σ] частицы тел (в их недеформированном состоянии) занимают положения, задаваемые векторами ra (рис. 7.7), индекс

a соответствует номеру тела (a = 1, 2).

Рис. 7.7. Положения частиц тел 1 и 2 (при недеформированном состоянии тел)

в глобальной [Σ] и в локальных [Σa] системах координат (a = 1, 2)

127

Смещение частицы за счет деформации тела обозначим ua , (a = 1, 2). При наличии деформаций частица займет в системе [Σ] положение

Аналогичным образом положение некоторой частицы тела (при от-

сутствии деформаций) определим радиус-вектором a в соответствующей

локальной системе координат [Σa], (a = 1, 2). Смещение частицы за счет деформации тела обозначим как wa , следовательно, при наличии деформа-

ций частица займет положение:

Вектора упругих смещений частиц являются функциями их положения и времени, т. е.

Определим относительную скорость некоторой частицы тела 1 отно-

сительно тела 2 при наличии деформаций. Предположим, что частица 1

находится в контакте с частицей 2 в момент времени t . Это запишется

следующим образом (в системе [Σ]):

128

В силу сказанного скорость движения частицы тела 1 приблизительно равна скорости движения частицы тела 2, то есть скольжение (7.31) можно представить в следующем виде:

– скорость частицы тела 1 относительно частицы тела 2, при условии, что деформации отсутствуют, то есть тела абсолютно твердые.

Скорость качения

– средняя скорость движения двух частиц, находящихся в контакте между собой, в глобальной системе отсчета [Σ]. Для всех частиц, находящихся в контакте «колесо – рельс», эта величина будет практически одинаковой.

Разность упругих смещений

– относительное смещение двух частиц, находящихся в контакте между собой, возникающее за счет упругой деформации материала.

Скорость скольжения (слип)

– скорость скольжения частицы тела 1 относительно частицы тела 2 с уче-

том упругих деформаций тел, здесь v дается выражением (7.35).

Если величины c , u , v не зависят от времени, то такое качение называют стационарным, в противном случае – нестационарным:

129

7.2.5Определение касательных усилий в контакте

В1926 г. Ф. Картером получено, что продольные и поперечные силы крипа пропорциональны относительным скоростям скольжения. Проекции касательных сил крипа определяются выражениями:

где εx ,εy – относительные скорости скольжения в направлении оси Х и Y соответственно, которые для точек В и D (см. рис. 7.3) определяются следующими выражениями:

где , – коэффициенты крипа, которые зависят от вертикальной силы, передаваемой от колеса на рельс, диаметра колеса, радиуса головки рельса, упругих постоянных. Знак «–» означает, что силы крипа направлены против скоростей проскальзывания. В простейшем случае коэффициенты крипа определяются следующим выражением:

= = = √ ;

где χ – коэффициент, учитывающий влияние случайных факторов. Наиболее законченная теория взаимодействия колеса и рельса разра-

ботана Калкером, в которой дополнительно учитывается упругий момент «верчения» колесной пары относительно вертикальной оси, который называется спин Mkz .

130