Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

Очередной максимум амплитуды z2 достигается в момент времени

t = t1 +π/ν2 и равен a2 z0 4 fст .

Движение будет продолжаться до тех пор, пока отклонение z не попадет в зону застоя z fст .

Последовательность амплитуд ai имеет такой же вид, как и для случая сухого трения с постоянной силой (5.62). Если заменить в нем fтр на fст , интервалы времени нужно выбирать по правилу:

График колебаний груза на рессорах с упругофрикционной связью с силой трения, пропорциональной прогибу рессор, приведен рис. 5.10.

Рис. 5.10. График колебаний кузова на рессорах с упруго-фрикционной связью с силой трения, пропорциональной прогибу рессор

111

6 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

6.1 Классификация нелинейных систем

Механическая система называется нелинейной, если нелинейны уравнения ее движения [22]. Из уравнения Лагранжа II рода

где T = (1/2)a(q)̇2;

a(q) − зависящий от q обобщенный инерционный коэффициент, следует уравнение движения системы с одной степенью свободы

где F(q) = − QΠ(q) = dП/dq – взятая со знаком минус обобщенная восстанавливающая сила, называемая квазиупругой характеристикой, или характеристикой восстанавливающей силы;

R(q, q) = − QД(q, ̇) + (1/2)a'(q)̇2 − силовая характеристика неупругого сопротивления;

Q(t) − составляющая обобщенной силы, явно зависящая от времени. Уравнение (6.1) будет нелинейным, если инерционный коэффициент

является функцией координаты или хотя бы одна из силовых характеристик R или F нелинейно зависит от обобщенной координаты или (и) ее производной. В большинстве случаев нелинейность системы обусловлена большими отклонениями ее от положения равновесия, однако возможны и такие ситуации, когда система нелинейна при сколь угодно малых отклонениях. Последнее обычно связано с разрывным видом характеристик R

и F.

По признаку отсутствия или наличия в уравнении (6.1) возмущающей силы Q(t) системы подразделяют на автономные и неавтономные. В автономных системах действующие силы зависят только от обобщенной координаты и обобщенной скорости, а явная зависимость от времени отсутствует:

Уравнение (6.1) является уравнением движения неавтономной системы и описывает ее вынужденные колебания. Часть обобщенной силы Q(t), явно зависящая от времени, называется возмущающей силой. К неавтономным относятся также системы с параметрическим возбуждением, движение которых описывается однородным дифференциальным уравне-

112

нием, в характеристики R и F которого время входит явно.

Часто в уравнении (6.2) возможно выделить линейную часть позиционной характеристики F(q) и представить его в виде:

aq̈+cq=f(q, q̇),

где а = const, с = const.

Если нелинейная часть f(q, ̇) обобщенной силы достаточно мала по сравнению с линейной, колебания системы будут близки к гармоническим

с частотой, мало отличающейся от частоты 0 = √ линейной системы.

В таких случаях уравнение движения и систему называют квазилинейными.

Автономные системы могут быть консервативными, диссипативны-

ми и автоколебательными. Если при движении не происходит рассеяния или поступления энергии в систему, ее полная механическая энергия сохраняется, и систему называют консервативной. Движение такой системы описывается простейшим уравнением (в уравнении (6.2) R = 0), и ее нелинейность определяется нелинейностью характеристики F(q). Производная с=dF/dq представляет собой жесткость квазиупругой характеристики. Если при изменении q жесткость изменяется плавно (без скачков), характеристика будет гладкой, в противном случае − кусочно-гладкой, в частном случае − кусочно-линейной. При F(-q) = −F(q) характеристика является симметричной. Если с ростом | q | жесткость с увеличивается, характеристика называется жесткой, в противном случае − мягкой.

Диссипативными называют системы, движение которых сопровождается невосполнимым рассеянием механической энергии и как следствие затуханием колебаний. Отличительным признаком диссипативных систем по сравнению с другими неконсервативными системами является выполнение неравенства R(q, ̇) ̇> 0 . Источником нелинейности могут выступать как позиционные силы, так и (или) силы сопротивления, зависящие от скоростей точек и противоположно направленные к ним. Это силы трения в соединениях узлов системы, силы внутреннего трения в материале деформируемых элементов, силы сопротивления среды. В простейших случаях сила сопротивления может быть функцией только обобщенной скорости: R = R(̇), а в сложных моделях (например, с внутренним трением) − функцией обеих переменных.

Автоколебательные системы должны обязательно иметь источник энергии, причем поступление энергии от источника, не обладающего собственными колебательными свойствами, управляется движением самой системы. Если мощность R(q, ̇)̇обобщенной силы сопротивления (термин «сопротивление» здесь является условным) на одном интервале движения системы отрицательна, а на другом − положительна, то система может обладать автоколебательными свойствами. Периодические режимы колебаний, в процессе которых поступление энергии от источника полно-

113

стью компенсирует потери энергии вследствие диссипации, так что

называют установившимися автоколебаниями.

Трудности аналитического исследования колебаний в нелинейных системах связаны с тем, что для них не выполняется принцип суперпозиции, т. е. результат двух одновременных воздействий на систему не равен сумме результатов каждого из них по отдельности. Общее решение уравнения (6.1) найти не удается, и задачу аналитического исследования решают в более узкой постановке, определяя периодические режимы движения [16]. В этом состоит главное отличие нелинейной теории колебаний от линейной.

6.2Отображение движения на фазовой плоскости

Обобщенную координату q и обобщенную скорость ̇называют фазовыми переменными. Динамическое состояние системы с одной степенью свободы может быть представлено в системе координат (q, ̇), т. е. на фазовой плоскости, точкой, которую называют изображающей. При этом движение системы отображается на фазовой плоскости движением изображающей точки, траекторию которой называют фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий для всевозможных начальных условий движения системы называют фазовой диаграммой.

Уравнение фазовых траекторий можно получить непосредственно из уравнения q = q(t) движения системы. Дифференцируя функцию q(t) по времени, получаем зависимость ̇= ̇(t). Совокупность этих двух выражений будет определять фазовые траектории системы в параметрической форме. Исключив время t, получим уравнение фазовых траекторий в явном виде ̇= ( ). Например, решение дифференциального уравнения движения линейной системы с одной степенью свободы

̇ 2̇ ̈+ 2 ̇+ 0 = 0

в случае малого сопротивления (ε < ω0) при начальных условиях

(0) = 0 , ̇(0) = 0

имеет следующий вид:

= 0 − (1 + sin 1 ).1

Дифференцируя его по времени, находим закон изменения скорости:

̇= 02 0 − 1 ,

где 12 = 2 − 2 .

1

Введем новую (нормированную) фазовую переменную y = ̇/ 1.

114

Принимая δ = ε/ 1 и используя в качестве параметра безразмерное время θ = 1 , получаем уравнения фазовой траектории в параметрической форме:

= 0 − ( + sin );

= 0 (1 + 2) − sin ).

Фазовая траектория, отображающая затухающие колебания линейной системы при указанных выше начальных условиях, представляет собой скручивающуюся спираль (рис. 6.1, а).

Рис. 6.1. Фазовые диаграммы

Как видно, рассмотренный способ получения уравнения фазовой траектории требует двукратного интегрирования дифференциального уравнения движения. Однако с нелинейными дифференциальными уравнениями эта процедура в аналитической форме обычно просто невыполнима. Поэтому в нелинейных системах уравнение фазовой траектории получают непосредственно из дифференциального уравнения движения. Выполнив замену независимой переменной t на переменную q:

дифференциальное уравнение движения системы второго порядка по отношению к переменной t приводят к дифференциальному уравнению первого порядка относительно переменной q, т. е. к дифференциальному уравнению фазовых траекторий. Таким образом, уравнение фазовых траекторий получают как первый интеграл дифференциального уравнения движения.

Так, например, уравнению движения

̈+ 2 = 0

линейной консервативной автономной системы соответствует дифференциальное уравнение фазовой траектории

̇̇+ 02 = 0.

115

Нормируя скорость y = ̇/0 , получаем уравнение фазовых траек-

торий в виде:

2 + 2 = ,

где С = 02 + 02 .

Cледовательно, фазовая диаграмма представляет собой семейство окружностей, общий центр которых находится в начале координат

(рис. 6.1, б).

Перечислим некоторые общие свойства фазовых траекторий:

1)изображающая точка движется по фазовой траектории по направлению движения часовой стрелки;

2)фазовые траектории пересекают ось q под прямым углом;

3)периодическим режимам движения соответствуют замкнутые фазовые траектории.

116

7 СИЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕСА И РЕЛЬСА

7.1 Качение одиночной колесной пары в рельсовой колее

Из-за того, что поверхности катания бандажей выполняют конусными, процесс качения колесной пары по рельсам при смещении относительно оси пути сопровождается извилистым движением, состоящим из колебаний относа y и виляния z , который можно осуществить двумя способа-

ми: чистым качением (качение без проскальзывания в точках контакта колеса и рельса) и качением со скольжением вдоль и поперек пути.

Рассмотрим кинематические зависимости, характеризующие оба вида движения.

Условия, при которых возникает один из этих видов движения, зависят от сил, приложенных к колесной паре, ее инерционных характеристик и физических явлений в точке контакта колес с рельсами. Рассмотрим кинематические зависимости, характеризующие оба вида движения.

Колесная пара, находящаяся в начальный момент в среднем положении, при котором радиусы кругов катания обоих колес одинаковы, получив начальную скорость V вдоль пути, будет катиться прямолинейно с угловой скоростью ω = V/r , т. к мгновенный центр скоростей колеса расположен в точке контакта с рельсом (рис. 7.1).

Рис.7.1. Скорости в точке контакта колеса и рельса

В этом случае уравнение кинематической связи, устанавливающей

Оно выражает равенство нулю абсолютной скорости точки контакта колеса и рельса.

117

7.1.1 Качение колесной пары без скольжения

Особенность движения колесной пары в режиме качения без проскальзывания состоит в том, что ее извилистое движение возникает не под действием восстанавливающих сил, а вследствие свойства наложенных кинематических связей.

Если вместе с заданием скорости V и угловой скорости ω сообщить колесной паре малое возмущение – поперечное y и (или) угловое φz, сохранив при этом условие качения без скольжения, то колесная пара будет катиться по рельсам, одновременно совершая извилистое движение, вследствие того, что при отклонении поперек оси пути радиусы колес станут разными (рис. 7.2). Радиусы колес определяются как

где ∆r – величина изменения радиуса за счет конусности (рис. 7.2, б), которая определяется по формуле:

где y – величина поперечного смещения колесной пары; i – уклон (конусность) конической части бандажа.

Рис. 7.2. Изменение радиуса круга катания колес при извилистом движении

В этом случае условие качения без скольжения выполняется, если предположить, что колесная пара вращается вокруг оси z с угловой скоростью ̇z так, что в точке касания В скорость Ṡz направлена против скорости V, а в точке D – по направлению V (рис. 7.3, 2S – расстояние между кругами катания колес колесной пары).

118

Запишем выражение для проекций скоростей тех же точек на ось yk колесной пары. Эти проекции будут одинаковы для любой точки колесной пары и определяются по формуле:

Таким образом, при качении колесной пары по рельсам без скольжения ее обобщенные координаты и скорости (y, ̇, φz , ̇z ), кроме уравнения (7.1), должны удовлетворять еще двум уравнениям связи:

Ṡz – iy = 0;

Для решения этих уравнений продифференцируем второе уравнение в системе (7.11) и подставим в него ̇z из первого уравнения:

ω = V√ .

Период колебаний определяется как

То есть при отклонении колесная пара совершает гармонические колебания относа от среднего положения. Одновременно с этим согласно второму уравнению системы (7.11) происходят колебания виляния:

Сравнив выражения (7.15) и (7.16), видим, что при чистом качении вдоль пути колесная пара совершает извилистое движение относа и виляния с одинаковой частотой и со сдвигом по фазе на 900 . Длина волны относа или виляния определяется по формуле

120