Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

Частные производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам равны:

П с2 zк zт ,zк

где v1 zп zт – разность скоростей верхней и нижней точек крепле-

ния демпфера 1, и соответственно

v2 zк zт .

Окончательно выражение диссипативной функции принимает вид

Частные производные от диссипативной функции Рэлея по обобщенным скоростям равны:

Ф 2 zк zт ,zк

Ф 1 2 zт 2 zк 1 .zт

101

С учетом выражений (5.37) и (5.39) уравнения Лагранжа второго рода рассматриваемой системы будут иметь вид:

Для железнодорожных экипажей обычно ν2>ν1, т. к. m2>m1+mn. Для определения собственных частот колебаний экипажа составим частотное уравнение

В соответствии с тем, что ν2>ν1, из формулы видно, что k1<ν1, k2>ν2. Меньшую из частот k1 называют основной частотой.

Рассмотрим собственные колебания этой системы при отсутствии сил вязкого сопротивления гасителей. Положим, bij=0 (i, j = 1,2), а правые части уравнений (5.40) приравняем нулю:

102

Колебания, совершаемые системой с одной из собственных частот k1 или k2, называются главными колебаниями. Главное колебание, соответствующее меньшей собственной частоте k1, называют основным колебанием, т. к. это колебание является основным в результирующем движении системы.

Коэффициенты 1 и 2

называют коэффициентами распределения амплитуд. Они характеризуют отношение амплитуд в главных колебаниях или форму главных колебаний

(коэффициент формы).

Из (5.46)–(5.47) следует, что в первом главном виде колебаний системы (k k1 ) перемещения всегда совпадают по знаку, т. е. обе массы совершают колебание в одной фазе, а во втором главном виде (k k2 ) –

впротивофазах (навстречу друг другу).

Вобщем случае собственные колебания кузова и тележек вагона определяются зависимостями:

где амплитуды A1, A2 и начальные фазы α1, α2 определяются из начальных условий. Периоды (в секундах) колебаний основного (с наименьшей частотой k1) тона Т1 и наложенного Т2 определяются из выражений:

T1 2 ; T2 2 . k1 k2

Частоты колебаний n выражены числом колебаний в секунду (Гц) в отличие от угловых частот k (рад/с):

103

Для современного груженого четырехосного вагона и пути с деревянными шпалами имеем:

mк = 80 т; 2 m т = 14 т; 4 cz = 16 МН/м; 8 cп = 400 МН/м.

Парциальные частоты 1 14,1 с-1, 2 = 66,5 с-1;

главные частоты k1 = 13,8 с-1 (2,2 Гц), k2 = 172 с-1 (27 Гц). Следовательно, частота второго вида колебаний k2 более чем на

порядок выше частоты k1 первого вида.

Собственные колебания масс кузова и тележки, представляющие собой сумму двух гармонических колебаний, являются незатухающими, т. к. при решении задачи мы пренебрегли действием неупругих сил сопротивления гасителей, которые служат для гашения собственных колебаний.

Вынужденные колебания масс рассматриваемой системы характеризует система дифференциальных уравнений (5.40) при условии, что0 . Как и ранее, будем пренебрегать силами сопротивления гасителей

( bij 0 i, j 1, 2 ):

m2 zк с2 zк с2 zт 0;

где 2L v – частота чередования неровностей пути с длиной волны L

при движении вагона со скоростью v.

Такое допущение целесообразно, хотя бы потому, что любая сложная непрерывная вертикальная неровность пути может быть представлена рядом, состоящим из суммы гармонических функций с различными амплитудами и периодами. Так как исследование системы часто сводится к линейным дифференциальным уравнениям, то решение их для сложной функции возмущения (неровности) можно получить как сумму решений для ее гармонических составляющих.

Частное решение системы дифференциальных уравнений (5.40) следует искать в виде гармонических функций, сходных с функциями возмущения:

104

Подставив выражения (5.52) в уравнения (5.50) и приравнивая коэффициенты при синусах, получим:

где к , т – коэффициенты нарастания амплитуд (коэффициенты динамичности),

Полное решение системы уравнений (5.40) с правой частью получим суммированием общих решений (5.48) для однородной системы с полученным частным решением (5.54) для неоднородной системы.

Учитывая, что собственные колебания исследуемой системы затухнут при условии, когда движение по пути с непрерывной неровностью будет длительным, практический интерес представляет изучение только вынужденных колебаний системы, характеризуемой выражениями (5.54). Амплитуды этих колебаний 0 к и 0 т изменяются по закону изменения ко-

эффициентов нарастания к , т в зависимости от частоты или от скоро-

сти v

При весьма малых скоростях и больших длинах волн неровностей величина мала по сравнению с 1 и 2 . Тогда из уравнения (5.53) с учетом выражения (5.41) получим:

Следовательно, обе массы колеблются с амплитудой неровности пути без деформации связей (рессор и подрельсового основания).

Сравнивая знаменатели выражений (5.53) с частотным уравнением (5.42), нетрудно видеть, что значения С и D будут весьма большими приk1 и k2 . Значит, существуют две резонансные частоты 1 и

2 и соответственно две критические скорости v1 и v 2 , при которых амплитуды вынужденных колебаний масс mk и mm неограниченно увеличиваются.

105

Отношение амплитуд колебаний тележек и кузова вагона будет:

Из выражения (5.56) видно, что при скоростях движения, для которых 1, D C 0, т. е. величина D мала по сравнению с величиной С. Для

грузовых вагонов в груженом состоянии это будет иметь место при движении с эксплуатационными скоростями v = 20−25 м/с по пути с длиной волн неровностей:

Такие неровности относятся к разряду длинных. Если неровности будут короткими (в 5−10 раз короче указанных), то при тех же скоростях движения величина D по абсолютному значению будет во много раз превосходить величину С и перемещения будут иметь обратные знаки. Следовательно, при изучении колебаний кузова (например, для оценки плавности хода загруженного вагона) необходимо рассматривать движение по пути с длинными неровностями, пренебрегая влиянием относительно коротких. При этом в расчетной схеме допускается не учитывать наличия неподрессоренных масс тележек и приведенных масс верхнего строения пути, а ограничиться рассмотрением колебаний кузова на рессорах. И, наоборот, при исследовании динамики неподрессоренных масс вагона необходимо рассматривать его движение по коротким неровностям, а колебания подрессоренной массы кузова в расчетной схеме не учитывать, т. к. они практически не влияют на процесс колебания неподрессоренных частей.

5.6. Колебания кузова на рессорах с сухим трением и упругофрикционными связям

Дифференциальное уравнение подпрыгивания кузова на рессорах с постоянным сухим трением (рис. 5.7) имеет вид:

Здесь знак плюс соответствует этапу движения, на котором скорость движения положительна, а знак минус − этапу движения, на котором скорость отрицательна.

Часто уравнение (5.57) записывается в виде

106

Z

m

с

Рис. 5.7. Схема для исследования колебаний кузова на рессорах с постоянным сухим трением

В последней записи использована функция сигнум, которая определяется формулой:

Уравнение (5.58) содержит нелинейное слагаемое. Тем не менее решение этого уравнения можно получить, если рассмотреть последовательные интервалы движения, на каждом из которых скорость z имеет постоянный знак (метод припасовывания). Пусть начальное условие задачи следующее:

Под действием силы упругости пружины кузов будет двигаться внизz 0 и уравнение движения имеет вид:

107

При отклонении кузова z0 на величину, меньшую или равную f тр ,

движение не начинается, т. к. силы упругости пружины недостаточно для преодоления силы трения. Полоса fтр z fтр называется зоной застоя

или порогом чувствительности рессорного подвешивания. Общее решение уравнения (5.60) имеет вид:

z fтр c1 cos t c2 sin t .

Определяя постоянные интегрирования из начальных условий, полу-

чим:

z z0 fст sin t , то скорость движения будет отрицательной до мо-

мента времени t1, определенного из условия t1 . В этот момент кузов остановится, а смещение z при этом равно:

z fтр z0 fтр cos z0 2 fтр .

После остановки кузов начнет двигаться вверх. Повторяя приведен-

ные выше расчеты, можно сказать, что движение вверх также будет про-

должаться в течение времени . Максимальное отклонение вверх равно

z0 4 fтр . Процесс движения будет продолжаться до тех пор, пока кузов не остановится в зоне застоя. Зависимость смещения z t (рис. 5.8) на каждом этапе движения представляет собой косинусоиду, смещенную по оси z

где i = 0, 1, 2, 3,… – номера точек касания графика колебаний огибающими прямыми;

T 2 – время между двумя соседними максимумами отклонения, ко-

торое условно можно назвать периодом колебаний. Наличие сухого трения не меняет частоту колебаний.

108