Иваночкин П.Г. Механика подвижного состава. Учеб пособ. 2019

Диссипативная функция Рэлея в данном случае имеет вид:

ния демпфера 2, установленного между телами 1 и 2, в проекции на вертикальную ось.

После подстановки vz1 и vz 2 получаем выражение для Ф:

91

Используя выражения (5.7), (5.8), (5.9), получаем уравнения Лагранжа 2-го рода для рассматриваемой системы:

m2 z2 c2 (z2 z1 ) 2 (z2 z1 ) .

Начальные условия движения:

при t = t0, z1(t0 ) z1(0) , z1(t0 ) z1(0) , z2 (t0 ) z2(0) , z2 (t0 ) z2(0) .

Найдем положение равновесия данной механической системы (см. рис. 5.2), и исследуем его устойчивость.

Потенциальная энергия системы (5.8) имеет вид:

Условия равновесия (3.5) принимают вид:

(c1 c2 )z1 c2 z2 0 ,c2 z1 c2 z2 0 .

Положение равновесия получаем, решая эту систему линейных однородных алгебраических уравнений: z1 = 0, z2 = 0.

Исследуем найденное положение равновесия на устойчивость, применяя критерий Сильвестра.

Вычислим вторые производные потенциальной энергии по обобщенным координатам. С учетом обозначений для обобщенных коэффициентов жесткости (2.18) имеем:

Согласно (3.12) для устойчивости должны выполняться неравенства:

1 c11 = с1 + с2 > 0,

откуда следует, что положение равновесия устойчиво.

92

5.3 Исследование продольных колебаний системы «локомотив – состав»

Рассмотрим показанную на рис. 5.3 механическую систему, состоящую из тел А и В, массы которых равны соответственно m1 и m2, расположенных на горизонтальном участке пути и соединенных между собой

O

Рис. 5.3. Двухмассовая модель системы «локомотив – состав»

Положение тел, размерами которых пренебрегаем, определяется их

радиус-векторами r1 и r2 (рис. 5.3). Рассматриваемая система имеет две

степени свободы. Абсциссу тела А обозначим как х1, тела В – х2. Обобщенные координаты q1 и q2 выберем таким образом, чтобы

93

Остановимся на вопросе классификации сил, действующих на систе-

где разность абсолютных скоростей тел А и В

v q2 .

Обобщенные силы, вызванные наличием гасителя колебаний, определяем как

С учетом вышеизложенного уравнения Лагранжа 2-го рода (2.22) для изучаемой системы «локомотив – состав» принимают вид:

Начальные условия движения в декартовых и обобщенных координатах записываются следующим образом:

94

Интегрируя дифференциальные уравнения движения (5.17) с учетом начальных условий (5.18), можно получить искомые зависимости q1(t) и q2(t). Однако в данной задаче целесообразно поступить иначе: сначала определить движение центра масс системы, а затем изучить колебания тел А и В в подвижных осях, связанных с центром масс, т. е. разбить абсолютное движение на переносное и относительное.

Положение центра масс системы Ц задается его радиус-вектором:

Обозначим деформацию пружины в текущий момент как = l = q2 l0, тогда уравнение (5.23) примет вид:

95

оно представляет собой дифференциальное уравнение затухающих колебаний тел A и B относительно центра масс системы.

Начальные условия для (5.25) имеют вид:

Делаем вывод о том, что положение равновесия является безразличным по отношению к q1. Что касается второй координаты, то равновесие

будет иметь место при q2 = l0, и оно будет устойчивым, т. к. c 0 .

q2

5.4 Исследование колебаний подпрыгивания и галопирования кузова на рессорах

На рис. 5.4 показана схема двухосной тележки. Кузов представляет собой твердое тело массы m, момент инерции которого относительно оси, проходящей через центр масс Ц перпендикулярно плоскости чертежа, равен JЦ. Массами колес и подвески пренебрегаем.

Подвеска каждой оси состоит из пружины жесткости с и гидравлического демпфера с коэффициентом вязкого сопротивления . Точки L1 и L2 крепления подвески к кузову расположены симметрично относительно центра масс на расстоянии b от него (т. е. база тележки равна 2b).

Рис. 5.4. Модель для изучения колебаний подпрыгивания и галопирования двухосной тележки

96

Предполагая, что центр масс движется по горизонтали с заданной постоянной скоростью V0, требуется составить дифференциальные уравнения колебаний подпрыгивания и галопирования кузова при движении по пути с неровностью h = h(x).

На рис. 5.4 горизонтальной пунктирной линией отмечен уровень, соответствующий положению статического равновесия центра масс кузова при h = 0. Ось Ох направлена вправо вдоль этой линии, ось Оz – вертикально вверх. Кузов совершает плоскопараллельное движение, его положение задается горизонтальным перемещением центра масс хЦ = V0t, вертикальным отклонением центра масс от его уровня статического равновесия z (подпрыгивание) и углом (галопирование).

При изучении колебаний подпрыгивания и галопирования примем в качестве обобщенных координат q1 = z и q2 = . Число степеней свободы равно двум.

Кинетическая энергия кузова согласно (2.9) запишется в виде:

где ст = mg/2c – статическая осадка пружины;

h1 = h(x1) – вертикальное перемещение оси заднего колеса K1 за счет наезда на неровность; координата х1 = хЦ b = v0t b.

Предполагая угол малым, т.е. полагая sin , cos 1, получаем деформацию пружины задней подвески в виде:

l1 l1 l0 ст z b h(x1) .

Аналогичным образом для пружины передней подвески находим:

l2 l2 l0 ст z b h(x2 ) ,

где координата x2 = хЦ + b = v0t + b.

Выражения для l1 и l2 подставляем в (5.28) и находим потенциальную энергию П, затем вычисляем согласно (2.15) обобщенные силы:

97

Диссипативная функция (2.21) в нашем случае принимает вид:

где vj – разность скоростей точек Lj и Kj ( j =1, 2) крепления демпферов к кузову и к осям.

Нахождение vj проводим аналогично тому, как это было проделано в п. 5.1, получаем:

Находим обобщенные силы:

Как следует из полученных уравнений, колебания подпрыгивания и галопирования кузова разделены, т.к. в уравнение (5.31) не входит угол , а в уравнение (5.32) – координата z.

Выражение для неровности пути принимаем в виде:

(t0 ) 0 , (t0 ) 0 .

Найдем положение равновесия данной механической системы (см. рис. 5.4) и исследуем его устойчивость.

Потенциальная энергия дается выражением (5.28):

Π Π(0)+cz2 cb2 2 .

98

Вычисляя производные и применяя критерий Сильвестра (3.12), получаем, что положение равновесия z = 0, φ = 0 будет устойчивым.

5.5 Исследование колебаний подпрыгивания пути и железнодорожного экипажа с одноступенчатым рессорным подвешиванием

Составим уравнения колебаний для модели рельсового экипажа в виде механической системы, включающей в себя две массы: масса m2, моделирующая кузов, и масса m1, моделирующая тележку. Эти массы связаны между собой через кузовную подвеску, состоящую из пружины жесткостью с2 и гасителя колебаний с коэффициентом демпфирования 2

(рис. 5.5). Экипаж движется по деформируемому пути с неровностью t .

Будем считать, что инерционные, упругие и диссипативные свойства пути можно моделировать сосредоточенной массой mП (приведенная масса части верхнего строения пути), перемещающейся вертикально вместе с колеблющейся колесной парой и прикрепленной к основанию с помощью вязкоупругой связи с параметрами cП и П . Предполагаем, что по гори-

зонтали система перемещается с постоянной скоростью.

Рис. 5.5. Расчетная схема для исследования колебаний подпрыгивания пути и железнодорожного экипажа с одинарным рессорным подвешиванием

Из сравнения расчетных схем на рис. 5.5 и 5.6 легко видеть, что c1 8c , c2 4сz , m2 mк , m1 2m .

Рассматриваемая система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем q1 zт и q2 zк , отсчитываемые от равновесного положения и определяющие положение центров масс тележки и кузо-

99

ва. При условии безотрывного качения колеса по рельсу перемещение точки пути под колесом zп zт .

Рис. 5.6. Расчетная схема четырехосного вагона с одинарным рессорным подвешиванием

Уравнения Лагранжа второго рода для рассматриваемой системы запишем в виде:

Кинетическая энергия системы может быть представлена в виде:

100