Кротов С.В. Расчеты на прочность и жесткость элементов конструкции и сооруж с примен Ansys. Учеб пособ. 2022-1
.pdf
Рис. 3.19
Рис. 3.20
91
Известно, что решение задачи о кручении бруса с прямоугольным поперечным сечением не может быть получено методами сопротивления материалов, в связи с тем что в данном случае неприменима гипотеза плоских сечений. На рис. 3.21, а показана форма закрученного бруса с нанесенной на его боковую поверхность прямоугольной сеткой. Поперечные линии сетки, образующие контур поперечного сечения недеформированного стержня, искривлены.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τB |
|
|
|
|||
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
τmax |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
||
Рис. 3.21
Следовательно, точки, лежащие в плоском до деформации поперечном сечении, получают разные перемещения вдоль оси стержня, сечение искривляется. Характер деформации ячеек сетки позволяет сделать некоторые предположения о распределении касательных напряжений. Поперечные линии сетки остаются нормальными к ребрам, углы прилегающих к ребрам ячеек не искажаются, касательные напряжения в угловых точках сечения равны нулю. Касательные напряжения имеют максимальное значение у середины стороны сечения, так как расположенные там ячейки, получают наибольшие угловые искажения.
Распределение касательных напряжений в поперечном сечении стержня приведено на рис. 3.21, б. Оно получено методами теории упругости. Наибольшее касательное напряжение возникает в точке А, расположенной на середине большей стороны:
M
τmax W кр .
кр
Напряжение в точке В, расположенной на середине меньшей сторо-
ны, равно τВ = ητmax.
Для определения угла закручивания стержня используется зависи-
мость
φM крl , GJ кр
92
где Wкр αb2h , Jкр βb3h – геометрические характеристики сечения, соот-
ветственно момент сопротивления и момент инерции при кручении; G – модуль сдвига материала бруса;
α, β, η – коэффициенты, зависящие от отношения большей стороны h к меньшей b.
Значения коэффициентов α, β, η приведены в таблице.
h/b |
1 |
1,5 |
1,75 |
2 |
2,5 |
3 |
4 |
6 |
8 |
10 |
∞ |
α |
0,208 |
0,231 |
0,239 |
0,246 |
0,258 |
0,267 |
0,282 |
0,299 |
0,307 |
0,313 |
0,333 |
β |
0,141 |
0,196 |
0,214 |
0,229 |
0,249 |
0,263 |
0,281 |
0,299 |
0,307 |
0,313 |
0,333 |
η |
1,000 |
0,859 |
0,820 |
0,795 |
0,766 |
0,753 |
0,745 |
0,743 |
0,742 |
0,742 |
0,742 |
Если отношение сторон h/b больше 10, коэффициенты α и β принимают равными 1/3.
В данном случае при заданном соотношении сторон h = 0,1 м, b = 0,06 м, а их соотношение равно h/b = 1,667. В этом случае данные таблицы надо интерполировать. Так, параметр
α 0,231 1,75 1,5 1,667 0,2363. 0,008
Аналогично интерполированные коэффициенты β = 0,208, η = 0,833. Тогда момент сопротивлению кручению
|
W |
αb2h 0,2363 0,062 0,1 0,0000851 м3. |
||||||||
|
|
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|
Максимальные касательные напряжения будут равны |
|
|||||||||
τmax |
|
|
M |
кр |
|
|
3000 |
|
0,35252644 108 35,25 |
МПа. |
|
|
|
||||||||
|
Wкр |
|
0,0000851 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение c помощью программного комплекса ANSYS
τmax 35,3МПа.
Минимальные касательные напряжения будут равны
τmin τmax η 0,35252644 108 0,833 29,365 МПа.
Решение c помощью программного комплекса ANSYS
τmin 29, 4 МПа.
Момент инерции при кручении прямоугольного бруса
Jкр βb3h 0,208 0,063 0,1 0,0000044928 м4.
Тогда максимальный угол закручивания
93
φ |
M |
крl |
|
3000 2 |
0,0167 |
рад. |
||
GJ |
кр |
81010 4, 49 10 6 |
||||||
|
|
|
|
|||||
Решение c помощью программного комплекса ANSYS:
φ 0,0173рад.
Эквивалентные напряжения по Мизесу
σэкв 
3τxy 
3 35,25 61,05 МПа.
Решение c помощью программного комплекса ANSYS:
σэкв 61,1 МПа.
Распределение эквивалентных напряжений по поперечному сечению показано на рис. 3.22.
Рис. 3.22
Погрешности вычислений составляют незначительные величины. Результаты вычисления в программном комплексе ANSYS и резуль-
таты, полученные по теоретическим формулам, фактически совпадают. Сохраним расчеты в файле под названием, например, twist1958.db. По результатам решения составляют отчет, в который необходимо
включить исходные данные: форму поперечного сечения, геометрические параметры моделируемого вала, свойства материала вала. Представить модель вала и геометрические характеристики поперечного сечения, рассчитанные программой, вид напряженного и деформированного состояния вала. Сравнить рассчитанные аналитически перемещения и напряжения с результатами расчетов в программе ANSYS. Выполнить анализ полученных результатов.
94
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1Басов, К. А. ANSYS и LMS Virtual Labor. Геометрическое модели-
рование / К. А. Басов. – Москва : ДМК Пресс, 2006. – 240 c.
2Басов, К. А. ANSYS для конструкторов / К. А. Басов – Москва : ДМК Пресс, 2009. – 248 c.
3Кротов, С. В. Расчеты на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций и сооружений с применением ANSYS : учебнометодическое пособие : в 3 частях. Часть 1. Расчеты на растяжение и сжатие / C. В. Кротов ; ФГБОУ ВО РГУПС. – Ростов-на-Дону, 2017. – 35 с.
4Кротов, С. В. Расчеты на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций и сооружений с применением ANSYS : учебнометодическое пособие : в 3 частях. Часть 2. Расчеты на изгиб и кручение / С. В. Кротов ; ФГБОУ ВО РГУПС. – Ростов-на-Дону, 2017. – 59 с.
95
Учебное издание
Кротов Сергей Викторович
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И СООРУЖЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ANSYS
Редактор Т. В. Бродская
Корректор Т. В. Бродская
Подписано в печать 28.02.2022. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 5,58. Тираж 500 экз. Изд. № 2. Заказ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВО РГУПС)
______________________________________________________________
Адрес университета:
344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, д. 2, www.rgups.ru
96