Кротов С.В. Расчет трехшарнирных систем. Учеб пособ. 2020-1

откуда

130 8 183,3 4,8 5 82 0. 2

Условия равновесия выполняются. Следовательно, реактивные усилия найдены верно.

4 Определение внутренних усилий M K , QK , NK . Внутренние усилия M K , QK , NK вычисляются по формулам:

M K M K0 H yK ;

QK QK0 cos K H sin K ;

NK QK0 sin K H cos K ,

где M K0 и QK0 – изгибающий момент и поперечная сила в сечении K дву-

хопорной балки с пролетом, равным пролету l .

В данном случае ордината сечения K, учитывая, что tg 1:

yK zK tg 4 1 4 м.

Находим тригонометрические функции, необходимые для расчета. Тангенс угла наклона сечения K равен tg 1, т.е. tg K 1, K 45 ,

и далее

Изгибающий момент в сечении K

MK VA 4 H A 4 110 4 183,3 4 440 733,3 293,3 кНм.

Поперечная сила в сечении K

QK VAcosφK HA sin K 110 0,707 183,3 0,707 51,1 кН.

Продольная сила в сечении K

NK VAsinφK HAcos K 110 0,707 183,3 0,707 207,4 кН.

31

5 Построение линии влияния изгибающего момента M K .

Определяем положение нулевой точки на оси абсцисс для линии влияния M K при zK 0,25l = 4 м. Расстояние этой точки от левой опоры находим по формуле

Определяем положение нулевой точки O линии влияния MK на ее оси абсцисс.

Для этого проводим на схеме трехшарнирной арки прямые AK и BC и точку их пересечения OM сносим по вертикали на ось абсцисс линии влияния. Зная положение нулевой точки O, проводим прямую линию OM, соединяя точку O с концом ординаты zK = 4 м (точка M), отложенной вверх от нулевой линии на вертикали, проходящей через опору A (рис. 3.1).

На проведенную прямую OM проецируем сечение K и полученную точку K соединяем с нулевой ординатой опоры A. Итак, получаем левую прямую AK.

Для построения правой прямой находим точку пересечения C средней прямой с вертикалью, проходящей через центральный шарнир, и соединяем ее с нулевой ординатой под опорой B.

Полученная линия BC есть правая прямая линии влияния MK. Затем из подобия треугольников находим характерные ординаты:

6 Вычисление изгибающего момента MK от заданной нагрузки по линии влияния.

Изгибающий момент по линии влияния определяется по формуле

MK F q ,

32

где – ордината линии влияния под сосредоточенной силой F;

ω – площадь линии влияния под равномерно распределенной нагрузкой q.

MK F y2 q 0,5y2 0,5l 200 1,33 5 0,5 1,33 8

= 266 26,6 292,6 кНм.

Знак минус указывает на то, что все ординаты под нагрузками имеют отрицательные значения по линии влияния MK.

Сравнивая величины MK, полученные аналитическим расчетом и способом загружения линии влияния, видим, что результаты практически совпадают. Расхождение в расчетах составляет

7 Построение линии влияния поперечной силы QK .

Определяем положение нулевой точки на оси абсцисс для линии влияния QK при zK 0,25l = 4 м. Расстояние этой точки от левой опоры

находим по формуле

В данном случае абсцисса нулевой точки OQ линии влияния поперечной силы в сечении K совпала с абсциссой нулевой точки OM .

Касательная к точке K совпадает с прямой AK (см. рис. 3.1). Продолжим ее до пересечения с прямой BC и точку OQ пересечения прямой с

прямой AK сносим по вертикали на ось абсцисс линии влияния, получая положение нулевой точки O .

Вданном случае нулевая точка OQ линии влияния поперечной силы

всечении K совпала с точкой OM .

Зная положение нулевой точки O , проводим прямую линию QC , соединяя точку O с концом ординаты cos K 0,707 (точка Q ), отложенной

вверх от нулевой линии на вертикали в определенном масштабе, проходящей через опору A .

Проводим прямую AK1 параллельно прямой QC до пересечения с вертикалью под сечением K , таким образом получая левую прямую линии

34

Для построения второй правой прямой находим точку пересечения

Cсредней прямой с вертикалью, проходящей через центральный шарнир,

исоединяем ее с нулевой ординатой под опорой B .

Полученная линия BC есть вторая правая прямая линии влияния QK . Вычислим характерные ординаты линии влияния QK из подобия треугольников:

8 Вычисление поперечной силы QK от заданной нагрузки по линии

влияния.

Поперечная сила по линии влияния определяется по формуле

QK F q ,

где – ордината линии влияния под сосредоточенной силой F;

ω – площадь линии влияния под равномерно распределенной нагрузкой q.

QK 200 0,236 5 0,5 8 0,236 47,2 4,72 51,92 кН.

Знак минус указывает на то, что все ординаты под нагрузками имеют отрицательные значения по линии влияния QK .

Сравнивая величины QK , полученные аналитическим расчетом и

способом загружения линии влияния, видим, что результаты практически совпадают. Расхождение в расчетах составляет

9 Построение линии влияния продольной силы NK .

Определяем положение нулевой точки на оси абсцисс для линии влияния NK при zK 0,25l = 4 м. Расстояние этой точки от левой опоры

находим по формуле

35

При построении линии влияния продольной силы NK полученное расстояние zON 45 м мы будем откладывать влево от опоры A, поскольку именно там предполагается нахождение нулевой точки линии влияния NK ,

полученной пересечением прямой BC и прямой, перпендикулярно построенной прямой AC .

Под опорой A отложим отрезок AA1 , в выбранном масштабе он равен sin K 0,707 (см. рис. 3.1). Далее из нулевой точки O, расположенной за пределами арки на оси абсцисс AB, проводим прямую через точку A1 до

пересечения с вертикалью центрального шарнира в точке C . Получена первая правая прямая линии влияния NK.

Из точки A параллельно полученной прямой OC проводим прямую AK до пересечения с вертикалью сечения К. Нами получена левая прямая линии влияния NK , а отрезок KK1 должен быть равен sin K 0,707 .

Вторая правая прямая легко образуется соединением точек C и B.

10 Вычисление продольного усилия NK от заданной нагрузки по ли-

нии влияния.

Продольная сила по линии влияния определяется по формуле

NK F q ,

где – ордината линии влияния под сосредоточенной силой F;

ω– площадь линии влияния под равномерно распределенной нагрузкой q. Подсчитаем ординаты линии влияния NK , необходимые для опреде-

ления усилия NK :

Тогда продольная сила в сечении K по линии влияния NK равна

NK F y6 q 0,5l y6 200 0,833 5 8 0,833 199,92 кН.

Расхождение в расчетах с аналитическим результатом составляет

36

4 ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ В ТРЕХШАРНИРНОЙ РАМЕ

Определение внутренних усилий M K , QK , NK в любой трехшарнир-

ной системе выполняется по формулам, в которых присутствуют по два слагаемых:

M K M K0 H yK ;

QK QK0 cos K H sin K ;

NK QK0 sin K H cos K .

Можно заключить, что и линии влияния внутренних усилий будут строиться с учетом двух параметров.

Рассмотрим построение линий влияния в различных сечениях трехшарнирной рамы подробно.

При построении линии влияния усилия в стержне рамы нужно составлять аналитическое выражение для определения усилия в зависимости от положения движущегося по раме груза F 1.

При построении линий влияния, состоящих из двух прямых, следует помнить простое правило: в случае расположения подвижного груза справа от сечения рассматривается равновесие левой части и строится правая прямая какого-либо внутреннего силового фактора. Если же груз находится слева от исследуемого сечения, то рассматривается равновесие правой части, а строится левая прямая линии влияния.

Аналитическое выражение усилия нужно показать в виде графика – линии влияния, который строится в определенном масштабе.

1 Построение линии влияния изгибающего момента M Ki сечении Ki

(рис. 4.1).

Вначале выполним построение линии влияния распора H (рис. 4.1, а). Максимальная ордината будет располагаться посередине:

Сечение K1 .

В этом сечении балочный момент равен нулю, поэтому линия влияния будет учитывать лишь влияние распора. Умножив максимальную ординату линии влияния H на высоту сечения yK 6 м, получим

M K1 0 H yK 0 23 6 4 .

37

Линия влияния показана на рис. 4.1, б.

Сечение K2 .

Вначале построим линию влияния балочного изгибающего момента M K0 2 , отложив над левой опорой zK2 6 м, и, соединив эту ординату с ну-

лем правой опоры, получим правую прямую. Левая прямая пересекается с правой под сечением K2 (рис. 4.1, в).

Ординату под сечением K2 определим из подобия треугольников:

получим ординаты линии влияния изгибающего момента в сечении K2 и под шарниром C, учитывая, что yK 2 9 м:

MK2 4,5 0,333 9 1,5 .

Соединяя эти ординаты, получаем линию влияния изгибающего момента M K2 в сечении K2 (рис. 4.1, г).

Мы можем использовать ординаты линий влияния в характерных сечениях балочного изгибающего момента M K0 2 (см. рис. 4.1, в), из которых

вычитаем ординаты линии влияния распора H (см. рис. 4.1, а), умноженные на высоту расположения сечения yK 2 9 м.

Линия влияния показана на рис. 4.1, г. Сечение K3 .

Вначале построим линию влияния балочного изгибающего момента M K0 3 , отложив над правой опорой zK3 6 м, и, соединив эту ординату с нулем левой опоры, получим левую прямую. Правая прямая пересекается с

38

Используя формулу

M K M K0 H yK ,

получим ординаты линии влияния изгибающего момента в сечении K3 и под шарниром C, учитывая, что yK 3 7,5 м:

MK3 4,5 0,333 7,5 2 ,

Можно использовать ординаты линий влияния в характерных сечениях балочного изгибающего момента M K0 3 (рис. 4.1, д), из которых нужно

вычесть ординаты линии влияния распора H (см. рис. 4.1, а), умноженные на высоту расположения сечения yK 3 7,5 м.

Линия влияния показана на рис. 4.1, е.

т.е. они равны ординатам линии влияния распора и взяты с обратным знаком. Линия влияния показана на рис. 4.2, б.

Сечение K2 .

т.е. они равны ординатам линии влияния балочной поперечной силы QK0 2 . Линия влияния QK2 показана на рис. 4.2, в.

Сечение K3 .

Определим тангенс угла наклона ригеля правой части рамы

39

tg K3 123 0, 25,

тогда угол наклона сечения K3 равен K3 14 и далее

sin K3 0,26 и ординаты линии влияния QK3 определяются выражением

QK3 QK03 cos K3 H sin K 3 .

На рис. 4.2, г показаны ординаты линии влияния произведения

H sin K 3 .

Теперь для построения линии влияния поперечной силы QK3 необходимо над правой опорой отложить значение cos K3 0,97 и соединить с

нулем левой опоры, получив таким образом левую прямую.

Из нулевой точки правой опоры проводим правую прямую параллельно левой и под сечением K3 отложим ординату, равную cos K3 0,97 .

Ординаты линии влияния легко находятся из подобия треугольников. Построена линия влияния балочной поперечной силы QK0 3 (см. рис.

4.2, д).

Далее из ординат л. в. QK0 3 необходимо вычесть ординаты линии влияния распора, умноженные на sin K3 0,26 (см. рис. 4.2, г).

Таким образом получена линия влияния поперечной силы QK3 (рис.

4.2, е).

3 Построение линии влияния продольной силы NKi в сечении Ki

(рис. 4.3).

Вначале выполним построение линии влияния распора H (рис. 4.3, а). Сечение K1 .

В этом сечении cos K1 0, sin K1 1, ординаты линии влияния NK1 определяются выражением

40