Кротов С.В. Расчет трехшарнирных систем. Учеб пособ. 2020-1

В данном случае имеем

M A VB 30 F 15 q 7,5 18,75 0,

откуда

7560 1687,5

VB 308,25 кН. 30

Аналогично

MB VА 30 F 15 q 7,5 11,25 0,

откуда

7560 1012,5

VA 285,75 кН. 30

Составим сумму моментов сил, расположенных в левой части арки, относительно шарнира С:

MС VA 15 H A 9 0 ,

лев. сил

откуда

285,75 15

H A 476,25 кН. 9

Составим сумму моментов сил, расположенных в правой части арки, относительно шарнира С:

MС VB 15 q 7,5 3,75 HB 9 0 ,

прав. сил

откуда

HB 308,25 15 12 7,5 3,75 476,25 кН. 9

Очевидно, что реакции распора определены верно:

Z H A HB 476,25 476,25 0.

21

Для проверки правильности определения опорных реакций составим

Y VA VB F q 7,5 0 ,

откуда

285,75 308,25 504 12 7,5 0.

Условия равновесия выполняются. Следовательно, реактивные усилия найдены верно.

3 Определение внутренних усилий M K , QK , NK . Внутренние усилия M K , QK , NK вычисляются по формулам:

M K MK0 H yK ;

QK QK0 cos K H sin K ;

NK QK0 sin K H cos K ,

где M K0 и QK0 – изгибающий момент и поперечная сила в сечении K дву-

хопорной балки с пролетом, равным пролету l . В данном случае ордината сечения K

yK 43092 ( 30 7,5 )7,5 6,75м.

Находим тригонометрические функции, необходимые для расчета. Тангенс угла наклона сечения K

тогда угол наклона сечения K равен K 31 , и далее

22

Изгибающий момент в сечении K

MK VA 7,5 H A 6,75 285,75 7,5 476,25 6,75 1071,6 кНм.

Поперечная сила в сечении K

QK VAcosφK HA sin K 285,75 0,857 476,25 0,515 0 .

Продольная сила в сечении K

NK VAsinφK HAcos K 285,75 0,515 476,25 0,857 555,3 кН.

4 Построение линии влияния изгибающего момента MK.

Определяем положение нулевой точки на оси абсцисс для линии влияния MK, при zK = 0,25l = 7,5 м. Расстояние этой точки от левой опоры находим по формуле

Определяем положение нулевой точки O линии влияния MK на ее оси абсцисс.

Для этого проводим на схеме трехшарнирной арки прямые AK и BC и точку их пересечения OM сносим по вертикали на ось абсцисс линии

влияния (рис. 2.1).

23

Зная положение нулевой точки O, проводим прямую линию OM, соединяя точку O с концом ординаты zK = 7,5 м (точка M), отложенной вверх от нулевой линии на вертикали, проходящей через опору A.

На проведенную прямую OM проецируем сечение K и полученную точку K , соединяем с нулевой ординатой опоры A . Итак, получаем левую прямую AK .

Для построения правой прямой находим точку пересечения C средней прямой с вертикалью, проходящей через центральный шарнир, и соединяем ее с нулевой ординатой под опорой B .

Полученная линия BC есть правая прямая линии влияния MK. Затем из подобия треугольников находим характерные ординаты:

5 Вычисление изгибающего момента MK от заданной нагрузки по линии влияния.

Изгибающий момент по линии влияния определяется по формуле

MK F q ,

где – ордината линии влияния под сосредоточенной силой F;

ω – площадь линии влияния под равномерно распределенной нагрузкой q.

Знак минус указывает на то, что все ординаты под нагрузками имеют отрицательные значения по линии влияния MK.

Сравнивая величины MK, полученные аналитическим расчетом и способом загружения линии влияния, видим, что результаты полностью совпадают.

25

6 Построение линий влияния поперечной силы QK .

Определяем положение нулевой точки на оси абсцисс для линии влияния QK при zK 0,25l = 7,5 м. Расстояние этой точки от левой опоры находим по формуле

Проведем касательную к точке K, на рис. 2.1 она показана штриховой линией. Затем под углом φK = 31° из точки A параллельно касательной проводим прямую AC.

Далее проводим на схеме трехшарнирной арки прямую BC и точку OQ пересечения ее с прямой AC сносим по вертикали на ось абсцисс линии влияния.

В данном случае нулевая точка OQ линии влияния поперечной силы в сечении K совпала с центром симметрии трехшарнирной арки C = O, что является случайностью.

Зная положение нулевой точки O , проводим прямую линию QC , соединяя точку O с концом ординаты cos K 0,857 (точка Q ), отложенной

вверх от нулевой линии на вертикали в определенном масштабе, проходящей через опору A .

Проводим прямую AK1 параллельно прямой QC до пересечения с

вертикалью под сечением K , таким образом получая левую прямую линии влияния QK .

На проведенную прямую QC проецируем сечение K . Итак, получаем первую правую прямую СК . Отрезок КK1 представляет собой не что иное, как cos K 0,857 .

Для построения второй правой прямой находим точку пересечения

Cсредней прямой с вертикалью, проходящей через центральный шарнир,

исоединяем ее с нулевой ординатой под опорой B .

Полученная линия BC есть вторая правая прямая линии влияния QK .

В данном случае прямая BC совпадает с осью абсцисс, ее ординаты равны нулю.

Затем из подобия треугольников находим характерные ординаты:

7 Вычисление поперечной силы QK от заданной нагрузки по линии влияния.

26

Поперечная сила по линии влияния определяется по формуле

QK F q ,

где – ордината линии влияния под сосредоточенной силой F,

ω– площадь линии влияния под равномерно распределенной нагрузкой q.

Вданном случае поперечная сила в сечении K оказывается равной нулю, поскольку ни одна ордината линии влияния QK не находится под

внешней нагрузкой.

Аналогичный результат был получен ранее аналитическим путем.

8 Построение линии влияния продольной силы NK .

Определяем положение нулевой точки на оси абсцисс для линии влияния NK при zK 0,25l =7,5 м. Расстояние этой точки от левой опоры

находим по формуле

скольку именно там предполагается нахождение нулевой точки линии влияния NK , полученной пересечением прямой BC и прямой, перпендику-

лярно построенной прямой AC (см. рис. 2.1).

Под опорой A отложим отрезок AA1 , в выбранном масштабе он ра-

вен sin K 0,514 .

Далее из нулевой точки O, расположенной за пределами арки на оси абсцисс AB, проводим прямую через точку A1 до пересечения с вертика-

лью центрального шарнира в точке C .

Получена первая правая прямая линии влияния NK .

Из точки A параллельно полученной прямой OC проводим прямую AK до пересечения с вертикалью сечения К.

Нами получена левая прямая линии влияния NK , а отрезок KK1 должен быть равен sin K 0,514 .

Вторая правая прямая легко образуется соединением точек C и B .

27

9 Вычисление продольного усилия NK от заданной нагрузки по ли-

нии влияния.

Продольная сила по линии влияния определяется по формуле

NK F q ,

где – ордината линии влияния под сосредоточенной силой F;

ω– площадь линии влияния под равномерно распределенной нагрузкой q. Подсчитаем ординаты линии влияния NK , необходимые для опреде-

ления усилия NK :

Этот результат практически совпадает с аналитическим результатом. Расхождение в расчетах составляет

28

3 РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ РАМЫ

Для трехшарнирной рамы требуется:

1)определить аналитически опорные реакции, поперечную, продольную силы и изгибающий момент в сечении K (с координатой zK ) от за-

данной нагрузки;

2)построить линии влияния изгибающего момента M K , поперечной силы QK , продольной силы NK в сечении K ;

3)вычислить величины M K , QK , NK от заданной нагрузки по линиям влияния и сравнить их с полученными в п. 1 задания.

Решение

1 Вычерчиваем строго в масштабе расчетную схему оси рамы.

2 В данном случае:

f 0,3l 0,3 16 4,8 м,

zK = 0,25l = 0,25 16 4 м

и т.д., что поможет точнее выполнить чертеж параболической арки.

3 Определение опорных реакций.

Величины опорных реакций VA, VB, HA, HB определяются из условия равновесия системы:

M A 0 ; M В 0 ; MС 0 ; Z 0 .

лев. сил

В данном случае имеем

M A VB 16 F 8 q 8 12 0,

откуда

1600 480

VB 130 кН. 16

29

Аналогично

M B VА 16 F 8 q 82 0,

2

откуда

1600 160

VA 110 кН. 30

Составим сумму моментов сил, расположенных в левой части арки, относительно шарнира С:

MС VA 8 H A 4,8 0 ,

лев. сил

откуда

110 8

H 183,3 кН.

A 4,8

Составим сумму моментов сил, расположенных в правой части арки, относительно шарнира С:

Очевидно, что реакции распора определены верно:

Z H A HB 183,3 183,3 0.

Для проверки правильности определения опорных реакций составим

30