1.4 Задачи

В задачах 1.1–1.4 вероятность безотказной работы каждого элемента показана на рисунках. Предполагается, что элементы отказывают независимо друг от друга.

1.1 Найти вероятность безотказной работы системы, изображенной на рис. 1.8.

					P31
P1		P2			P32					P4
					P33

Рис. 1.8

1.2 Найти вероятность безотказной работы системы, изображенной на рис. 1.9.

Рис. 1.9

1.3 Найти вероятность безотказной работы системы, изображенной на рис. 1.10.

Рис. 1.10

1.4 Найти вероятность безотказной работы системы, изображенной на рис. 1.11.

Рис. 1.11

1.5 Вероятность отказа каждого элемента показана на рисунке 1.12. Предполагается, что элементы отказывают независимо друг от друга. Найти вероятность отказа системы.

Рис. 1.12

2 Вероятностная основа запасов прочности конструкций

Нагрузками называют внешние механические силы (вес конструкций, оборудования, снежный покров, давление грунта и т.п.), действующие на строительные объекты. Усилия от нагрузок обозначим S.

Несущей способностью называют максимальную нагрузку, которую могут нести строительные конструкции, их элементы, а также грунты оснований без потери их функциональных качеств. Несущую способность строительнойконструкции обозначим F.

При проектировании условие надежности конструкции определяется неравенством:

Отношение называется коэффициентом запаса; из условия надежности конструкции .Мосты – сложные системы, состоящие из большого числа элементов, для каждогоi-го элемента должно выполняться условие надежности:

(2.1)

Обе части неравенств являются случайными величинами. Надежность моста – вероятность выполнения (2.1).

2.1 Метод н.С. Стрелецкого

Н.С. Стрелецкий в одной системе координат рассмотрел графики плотностей распределения и случайных величин SиF(рис. 2.1).

Рис. 2.1

На рисунке 2.1 график плотности распределения нагрузки изображен штрихпунктирной линией, а график плотности распределения несущей способности – сплошной линией. Точке соответствует несущая способность и усилие от нагрузки . Тогда – вероятность заниженной прочности конструкции, а – вероятность завышенной нагрузки. Эти вероятности можно найти по формулам:

Часто S и Fимеют нормальное распределение:

,

где – математическое ожидание, – дисперсия S;

,

где – математическое ожидание, – дисперсия F.

Оценим вероятность отказа снизу:

или .

Оценка надежности Pснизу:

.

Так как P=1 –q,имеем

или .

Теперь можем записать двустороннюю оценку отказа

.

Используя нижнюю оценку вероятности отказа, Н.С. Стрелецкий ввел величину и назвал ее гарантией неразрушимости. Г – завышенная оценка вероятности безотказной работы.

Пример. Найти вероятность отказа изгибаемой балки, если усилия от нагрузок S и несущая способность балки F имеют нормальное распределение с параметрами: =200кН∙м, =25кН∙м, =300кН∙м, =25кН∙м.

Решение

Найдем абсциссу точки пересечения графиков плотностей распределения вероятностей случайных величинS и F:

F₀=S₀≈250 кН∙м.

Результат получен в Excel методом построения графиков и в одной системе координат (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2

Теперь найдем ω₁= P(F<F₀) – вероятность того, что прочность балки будет заниженной, с помощью встроенной функции нормального закона распределения в Excel НОРМРАСП(x; ; ;1). Эта встроенная функция позволяет найти значение функции распределения нормально распределенной случайной величины в точке x. Изменение последнего параметра встроенной функции с 1 на 0 позволяет найти значение плотности распределения вероятностей в точке x. Таким образом, получим вероятность заниженной прочности конструкции ω₁ = P(F<F₀):

ω₁= P(F< 250) = НОРМРАСП(250; 300; 25; 1) = 0,02275.

Вероятность того, что нагрузки будут завышенными, найдем по формуле

ω₂ = P(S ≥S₀) = 1 – P(S<S₀),

ω₂ =1 – НОРМРАСП(250; 200; 25; 1) = 0,02275.

Двусторонняя оценка вероятности отказа qимеет вид:

ω₁∙ω₂<q<ω₁+ω₂–ω₁∙ω₂ или 0,000518 <q< 0,044983.

Отсюда для вероятности безотказной работы получим двустороннюю оценку

0,955017 <1 – q<0,999482.