Кротов С.В. Расчеты брусьев на изгиб и кручение. Учеб. пособ. 2020

что, очевидно, меньше допускаемых касательных напряжений [τ] = 80 МПа. Эпюры и представлены на рис. 2.9.

Рис. 2.9

2.8 Расчет плоской рамы с жестким защемлением

Задача № 5

Вычерчиваем расчетную схему плоской статически определимой рамы (рис. 2.10).

1 При решении этой задачи можно обойтись без определения реакций в жестком защемлении. Вычислять значения внутренних силовых факторов и строить их эпюры можно, ведя отсчет от свободного конца плоской рамы.

2 Определим поперечные силы. В данном случае стержень (ригель) 5–6 испытывает поперечный изгиб, поэтому сумма проекций сил на вертикальную ось стержня 5–6 и дает величину поперечных сил: Q5 0;

Q6 q 0,5l 72 кH . Отрицательное значение получилось потому, что вектор

распределенной нагрузки стремится вращать части рассеченной рамы против часовой стрелки. На остальных участках рамы поперечные силы отсутствуют: Q1 4,7 8 0. Определяя величины продольных сил, проектируем силы, прило-

женные к какой-либо части рамы по одну сторону от сечения, на ось рассматриваемого стержня. Таким образом, получаем N7 8 q 2l 72 кН. Знак продольной силы говорит о том, что этот стержень испытывает сжатие. На осталь-

41

ных участках рамы продольные силы отсутствуют: N1 2,5 6 0. Эпюры поперечных и продольных сил показаны на рис. 2.11, а, б соответственно.

3 Для построения эпюры изгибающих моментов вычисляем значения изгибающих моментов в характерных сечениях. В данном случае направление момента, действующего относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, принимается как положительное.

42

На ригеле 1–2 действует постоянный изгибающий момент

M1 2 2M 2 32 64 кНм .

Здесь растянуты нижние волокна, эпюра имеет вид прямоугольника, построенного на внутренней стороне рамы. В сечениях 3–4 эпюра имеет такой же вид и растянуты внутренние (правые) волокна, здесь отложены значения изгибающего момента

M3 4 2M 2 32 64 кНм .

Продолжим построение эпюры, рассматривая ригель 5–6, ведя отсчет слева. Фактически ригель можно представить как балку с жестким защемлением в сечении 6. Тогда M 5 0, а момент в защемлении

Знак минус взят потому, что изгибающий момент, создаваемый распределенной нагрузкой q, направлен относительно рассматриваемого сечения против часовой стрелки. Для стержня 7–8 алгебраически суммируем величины изгибающих моментов, создаваемых действием равномерно распределенной нагрузки q и сосредоточенного момента 2M :

Здесь растянуты правые волокна. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 2.12.

128,8

Рис. 2.12

43

Очевидно, опасным следует считать сечение 7–8, где действует изгибающий момент Mmax 128,8 кНм и продольная сила Nmax 72кН .

4 При проверке правильности построения эпюры M x надо помнить о том,

что сумма моментов, действующих в узле, где сходятся два и более стержней рамы, должна равняться нулю, а это говорит о равновесии узла. Например, для мысленно вырезанного узла A (рис. 2.13):

M A M3 M2 0, 64–64=0.

Вданном случае направления изгибающих моментов взяты с со стороны растянутого волокна, где отложены ординаты эпюры M x .

Для полной проверки правильности построения всех эпюр рекомендуется вырезать узел B и проверить равновесие этого узла, приложив к нему все найденные внутренние силовые факторы (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Из эпюры N z имеем N7 8 72 кН . Знак минус говорит о том, что это

сжимающее усилие, поэтому направлено к рассматриваемому узлу. Из эпюры Qy имеем Q6 72 кH . Так как поперечная сила получилась отрицательной,

она направлена относительно сечения 6 против часовой стрелки.

Направления изгибающих моментов взяты со стороны растянутых волокон стержней рамы (со стороны эпюр).

Проверяем условия равновесия выбранного узла:

x 0 , так как нет горизонтальных усилий;

y 0, N7 8 Q6 0 , 72 – 72 = 0;

MB 0, M7 M6 M4 0 , 128,8 – 64,8 – 64 = 0.

Таким образом, условия равновесия выполняются, следовательно, построение эпюр выполнено правильно.

44

2.9 Расчет плоской рамы на двух опорах

Задача № 6

Решение

Вычерчиваем расчетную схему плоской статически определимой рамы

(рис. 2.15).

Рис. 2.15

1 Для этой рамы необходимо определение реакций в опорах. Направим реакции произвольно – НА – влево, RA – вниз, RВ – вверх. Определяем величины и направления реакций, используя уравнения статического равновесия:

Х = 0; –НА + q h – F = 0; HA = q h – F = 10 4–10 = 30 кН.

45

Знаки «плюс» говорят о правильно выбранном направлении реакций.

Проверка правильности определения реакций. Воспользуемся уравнения-

M 5 M 4 ; M 6 = HA h2 –RA l –F h2 =30 2 – 8 3–10 2 = 16 кНм;

M7 8 = M6 M 16 – 16 = 0.

Найдем значение изгибающего момента в сечении, расположенном на расстоянии z от левой опоры до точки, где эпюра Q пересекает ось стойки, т.е.

поперечная сила обращается в ноль. В этом случае значение изгибающего момента достигает экстремального значения:

M H A z q z 2 . 2

46

Находим первую производную от изгибающего момента по текущей координате z на стойке – поперечную силу на расстоянии z от опоры и приравниваем ее нулю:

dMdz Q; Q H A q z 0, z HqA 1030 3 м .

Тогда значение момента на расстоянии z = 3 м от опоры

Mmax 30 3 10 32 45 кНм . 2

Изгибающие моменты распределены таким образом, что в рассматриваемой раме растянуты внутренние волокна. Значения моментов отложены на растянутых волокнах с внутренней стороны рамы.

Эпюры изгибающих моментов, а также поперечных и продольных сил показаны на рис. 2.16, а, б, в соответственно.

В данном случае опасным следует признать сечение, где действует изгибающий момент Mmax 45 кНм .

5 С целью проверки правильности построения эпюр рассмотрим равновесие узла С (рис. 2.17). Продольное усилие N2 1 8 кН является положительным

– растягивающим, поэтому направлено от узла. Поперечная сила Q3 = –8 кН отрицательна, поэтому направлена относительно сечения 3 (всего узла) против хода часовой стрелки. Изгибающие моменты направляются вокруг узла со стороны растянутых волокон рамы.

Рис. 2.16

47

Библиографический список

1 Тимошенко, С. П. Механика материалов / С. П. Тимошенко, Гере Дж. –

Москва, 1976. – 669 c.

2Писаренко, Г. С. Сопротивление материалов / Г. С. Писаренко [и др.] –

Киев, 1986. – 775 c.

3Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов : учебник для вузов / В. И. Феодосьев. – 12-е изд. – Москва : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 592 с.

4Ицкович, Г. М. Сопротивление материалов / Г. М. Ицкович. – Москва,1998. – 368 с.

5Ицкович, Г. М. Сборник задач по сопротивлению материалов / Г. М. Ицкович [и др.]. – Москва, 1999. – 592 с.

49

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Варианты заданий

50