Кротов С.В. Расчеты брусьев на изгиб и кручение. Учеб. пособ. 2020

для сплошного круглого сечения

J d 4 0,1d 4 , 32

где d – диаметр вала.

y

max

d

M z

max

Рис. 1.7

Наибольшего значения касательные напряжения достигают в точках кон-

тура поперечного сечения при max d2 и вычисляются по формуле

max M z ,

W

где Wρ – полярный момент сопротивления сплошного круглого сечения вала,

Условие прочности при кручении формулируется так: прочность вала обеспечена, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном сечении, не превышают допускаемых:

max M z max ,

W

11

где – величина допускаемого касательного напряжения.

Расчетное (фактическое) напряжение может отличаться от допускаемого на 5 %.

Величина угла закручивания определяется по закону Гука при кручении

М z l ,

G J

где l – расстояние от начала отсчета угла φ до соответствующего сечения; GJρ – характеристика жесткости вала при кручении.

Подбирать диаметр вала необходимо из условия прочности по касательным напряжениям

Кроме того, диаметр определяется по условию жесткости при закручивании вала – величина относительного угла закручивания не должна превосхо-

дить допускаемого значения :

откуда

Из двух расчетов необходимо принять большие значения диаметров.

В случае необходимости, если вал имеет ступенчатый профиль, производят расчет диаметров участков вала, исходя из заданного соотношения участков

« ».

12

1.5 Изгиб

Расчеты при плоском изгибе строятся на предположении, что материал балки, вследствие действия изгибающих моментов, следует закону Гука:

E ,

где – нормальные напряжения в поперечном сечении бруса;– относительная деформация в поперечном сечении бруса; E – модуль продольной упругости материала бруса.

Нормальные напряжения в произвольных точках поперечного сечения определяются по формуле

z M x y ,

J x

где M x – величина изгибающего момента в сечении бруса;

y – расстояние от нейтральной оси поперечного сечения бруса до точки, в

которой определяется напряжение;

J x – осевой момент инерции поперечного сечения бруса относительно

нейтральной оси.

Нейтральной осью (линией) называется линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки. Слой волокон балки, не испытывающий ни растяжения, ни сжатия, а лишь искривление, называется нейтральным (рис. 1.8).

Наибольшего значения нормальные напряжения достигают в точках, лежащих на контуре, максимально удаленных от нейтральной оси:

Для симметричных относительно нейтральной оси поперечных сечений (см. рис. 1.8), у которых центр тяжести расположен на середине высоты сече-

ния ymax h 2 , максимальные нормальные напряжения определяются по формуле

max M x ,

Wx

13

Рис. 1.8

По условию прочности максимальные нормальные напряжения в опасном сечении балки не должны превышать допускаемых:

max M x max .

Wx

Подбор размеров поперечного сечения балки производится путем вычисления необходимого момента сопротивления

M x max

Wx ,

откуда и определяются: b и h – ширина и высота балки прямоугольного поперечного сечения, учитывая Wx bh2 6 (задача № 2); d – диаметр балки кругло-

го поперечного сечения, учитывая Wx d 3 32 (задача № 3); Wx – ближайшее к

рассчитанному значение момента сопротивления для стандартного двутавра по сортаменту прокатной стали ГОСТ 8239–89 (задача № 4), по которому и выбирается номер профиля двутавра.

Расчетные (фактические) нормальные напряжения для подобранного сечения сравнивают с допускаемыми, причем расхождение не должно превышать 5 %, однако для прокатных двутавровых профилей расхождение может быть и большим. В этом случае целесообразно заменить двутавровое сечение на составное, например, использовать швеллеры или уголки.

14

Касательные напряжения при поперечном изгибе (в сечениях, где поперечная сила Q 0 ) в произвольных точках поперечного сечения определяют по

формуле Д.И. Журавского (рис. 1.9)

Qy Sx . b J x

Здесь Qy – поперечная сила в рассматриваемом сечении;

Sx – статический момент относительно нейтральной оси x отсеченной части площади поперечного сечения, лежащей по одну сторону от уровня, на котором определяется напряжение;

b – ширина поперечного сечения балки на рассматриваемом уровне;

Jx – осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси.

y

Рис. 1.9

Статический момент части площади поперечного сечения, лежащего на расстоянии (уровне) y от нейтральной оси x:

Sxотс Aотс yотс ,

где Aотс – заштрихованная часть площади поперечного сечения;

yотс – расстояние от центра тяжести отсекаемой части площади поперечно-

го сечения до нейтральной оси x.

Характер очертания эпюры зависит от изменения b и Sx и для боль-

шинства сечений будет параболическим. Касательные напряжения достигают максимума в точках нейтральной оси, для которых Sx максимален. После под-

бора сечения балки по нормальным напряжениям необходимо проверить прочность балки по касательным напряжениям; условие прочности в этом случае записывается следующим образом:

15

max Qy max Sx .

b J x

1.6 Перемещения при изгибе

Перемещения сечений балок характеризуются прогибами V – линейными перемещениями центров тяжести поперечных сечений перпендикулярно геометрической оси балки z , а также углами поворота сечений – угловыми перемещениями поперечных сечений вокруг нейтральной оси X . Прогиб V положителен, если его направление совпадает с положительным направлением оси y . Угол поворота положителен, если поворот поперечного сечения про-

исходит против часовой стрелки. Прогиб V и угол поворота в произвольном сечении балки, которое находится на некотором расстоянии z от начала координат, можно найти при помощи следующих уравнений прогибов и углов поворота:

Здесь V0 , 0 , Q0 , M0 – соответственно прогиб, угол поворота, поперечная

сила и изгибающий момент в начале координат – начальные параметры;

M , F , q – соответственно изгибающие моменты внешних пар сил, сосре-

доточенные силы и распределенные нагрузки;

aM , aF , aq – расстояния от начала координат до сечений, где приложены

внешние нагрузки: соответственно внешние пары сил, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки (рис. 1.10, а);

z – расстояние от начала координат до исследуемого сечения n n . Внешние нагрузки M , F , q , начальные параметры Q0 , M0 , а также реак-

тивные усилия R подставляют в уравнения с учетом знаков: со знаком плюс, если они вызывают в исследуемом сечении n n положительный изгибающий момент (рис. 1.10, а), и со знаком минус – отрицательный изгибающий момент

(рис. 1.10, б).

16

Рис. 1.10

Если какая-либо нагрузка повторяется на балке несколько раз, то соответствующие члены в уравнениях должны быть повторены такое же количество раз; в случае отсутствия какого-либо вида нагрузки соответствующий ему член в уравнении исключается.

За начало координат удобно принимать сечение, для которого V0 = 0. Рекомендуется начало отсчета располагать на левой опоре балки. Если балка имеет слева консоль, на которой расположены внешние нагрузки (рис. 1.11, а), то для определения перемещений на пролете в уравнениях следует учесть начальные параметры Q0, M0 – поперечную силу и изгибающий момент, создаваемые внешними нагрузками относительно сечения левее опоры (рис. 1.11, б). Тогда в начале координат на опоре: поперечная сила Q0 = –F + RA, изгибающий момент

M0 = –M – Fa.

Рис. 1.11

В случае, когда равномерно распределенная нагрузка q прерывается в сечении n n на пролете, ее необходимо продолжить до конца балки и ввести

17

на том же участке компенсирующую нагрузку qк противоположного направления (рис. 1.12).

Рис. 1.12

1.7 Контроль правильности построения эпюр при изгибе

Для построения эпюр внутренних силовых факторов при изгибе следует использовать дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки:

выпуклость которой направлена в сторону, противоположную направлению нагрузки.

3 Если на участке балки (отсчет производится слева направо): а) Qy положительна, то M x возрастает (алгебраически);

б) Qy отрицательна, то M x убывает;

в) Qy равна нулю, то M x постоянен, имеет место чистый изгиб.

4 Ордината эпюры Qy в любом сечении численно равна тангенсу угла наклона касательной к эпюре Mx в том же сечении. Изгибающий момент Mx достигает экстремального значения в сечении, где эпюра Qy пересекает ось z. Если при непрерывном изменении эпюра Qy меняет знак с плюса на минус, то изгибающий момент имеет аналитический максимум, а если эпюра Qy меняет знак

с минуса на плюс, то изгибающий момент имеет аналитический минимум.

18

5 В сечении, где к балке приложена сосредоточенная сила, на эпюре Qy будет «скачок» на величину и в направлении этой силы, а на эпюре M x будет

излом, направленный в сторону, противоположную направлению силы.

6 В сечении, где к балке приложен сосредоточенный момент, на эпюре M x будет «скачок» на величину этого момента, а на эпюре Qy его действие не

отражается.

7 В сечении на конце балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении; изгибающий момент численно равен сосредоточенному моменту, приложенному в этом сечении.

19

2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2.1 Общие указания

Расчетно-графическая работа № 3 по сопротивлению материалов состоит из шести задач. Первая задача посвящена расчетам на прочность и жесткость при кручении, вторая, третья и четвертая – расчетам на прочность балок при изгибе, пятая и шестая – построению эпюр внутренних силовых факторов для статически определимых рам. Выбор численных данных и расчетных схем, приведенных в приложениях 1 и 2, производится по шифру учебной группы и личному шифру студента.

На схеме I изображен стальной стержень постоянного или переменного круглого сплошного сечения, нагруженный парами сил, действующих в плоскостях, перпендикулярных оси стержня.

На схемах II и III изображены нагруженные в плоскости осей yz перпен-

дикулярно главной центральной оси x поперечного сечения деревянные балки прямоугольного (схема II) и круглого (схема ΙΙΙ) поперечного сечения, лежащие на двух опорах.

На схеме ΙV изображена стальная, жестко защемленная балка-консоль двутаврового поперечного сечения.

На схемах V и VΙ изображены плоские статически определимые рамы. Требуется для всех схем вычертить заданные расчетные схемы, соблюдая

масштаб.

Для схемы I:

1) определить численное значение скручивающего момента M 0 из условия равновесия всех действующих на вал моментов;

2)построить эпюру крутящих моментов;

3)определить диаметры вала из условий прочности и жесткости;

4)определить максимальные касательные напряжения на каждом участке

вала;

5)построить эпюру максимальных касательных напряжений;

6)построить эпюру углов закручивания.

Для схемы II:

1)определить опорные реакции из условия равновесия балки;

2)построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

3)определить размеры поперечного сечения балки из условия прочности

по нормальным и касательным напряжениям, приняв соотношение между сторонами прямоугольного сечения b 0,6h ;

4)изобразить (ориентировочно) вид изогнутой оси балки в соответствии с эпюрой изгибающих моментов;

5)определить наибольшие нормальные и касательные напряжения в балке и построить их эпюры.

20