Кротов С.В. Расчеты брусьев на изгиб и кручение. Учеб. пособ. 2020

РОСЖЕЛДОР

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(ФГБОУ ВО РГУПС)

____________________________________________________________________

С.В. Кротов

РАСЧЕТЫ БРУСЬЕВ НА ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ

Учебное пособие

Утверждено учебно-методическим советом университета

Ростов-на-Дону

2020

1

УДК 620.175 (07) + 06

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. С. В. Кузнецов (Шахтинский институт (филиал) ФГБОУ ВО ЮРГПУ);

канд. техн. наук, доц. Е. Н. Зубков (ФГБОУ ВО РГУПС)

Кротов, С. В.

Расчеты брусьев на изгиб и кручение : учебное пособие / С. В. Кротов ; ФГБОУ ВО РГУПС. – Ростов-на-Дону, 2020. – 64 с. : ил. – Библиогр.: с. 49.

ISBN 978-5-88814-937-9

В учебном пособии приводится методика расчета элементов конструкций при воздействии изгиба и кручения. Основная цель учебного пособия заключается в организации самостоятельной работы студентов при подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Сопротивление материалов». Приведены примеры расчета балок и валов.

Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 23.05.06 «Строительство железных дорог и транспортных тоннелей», 23.25.03 «Подвижной состав железных дорог», 15.03.03 «Прикладная механика», 08.03.01 «Строительство», 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов», 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства» всех форм обучения, а также для аспирантов.

Одобрено к изданию кафедрой «Строительная механика».

ISBN 978-5-88814-937-9

© Кротов С.В., 2020 © ФГБОУ ВО РГУПС, 2020

2

1.4Кручение …………………………………………….………..…........... 10

1.5Изгиб ………………………………………………………...…............. 13

1.6Перемещения при изгибе ………………………………………........... 16

2.1Общие указания ………………………………………….……............. 20

2.2Расчет вала переменного сечения ……………………………………. 22

2.3Расчет вала постоянного сечения …………………………………….. 26

2.4Расчет балки прямоугольного поперечного сечения ………….......... 28

2.5Расчет балки круглого поперечного сечения …………………........... 31

2.6Проверка расчета балки на жесткость …………………….…………. 36

2.7Расчет балки двутаврового поперечного сечения …………………... 39

3

Введение

Изгиб – это наиболее часто встречающийся вид деформации брусьев вследствие действия внешних нагрузок. Фактически все горизонтально расположенные части зданий и сооружений, несущие полезную нагрузку, работают на изгиб.

Этот вид деформации встречается в элементах ответственных конструкций, таких как мосты, промышленные здания, сооружения, где постоянно находится большое количество людей, – жилые сооружения, вокзалы, стадионы, учебные заведения и т.п.

Значительная часть объектов на транспорте, таких как вагоны, локомотивы, рельсовый путь постоянно подвергаются деформации изгиба.

Вместе с тем важнейшие с точки зрения безопасности движения элементы подвижного состава, такие как колесные пары, валы двигателей тепловозов, подвергаются не только изгибу, но и кручению, что создает сложное напряженное состояние.

Очевидно, что расчетам элементов конструкций и сооружений на изгиб и кручение следует уделять особое внимание.

Влияет ли форма поперечного сечения балки на ее прочность и жесткость? Пропорциональность между нагрузкой и длиной балки для балки квадратного поперечного сечения на двух опорах установил еще Леонардо да Винчи, это один из первых расчетов балки на жесткость.

Какое поперечное сечение – сплошное сечение или сечение в форме трубки выдержит большую нагрузку? Эти вопросы прочности интересовали Галилео Галилея. Он установил тот факт, что если круглый сплошной стержень и трубчатый имеют одинаковую длину, то трубчатый сопротивляется нагрузке во столько раз лучше, во сколько его диаметр больше диаметра сплошного стержня.

Великий ученый одним из первых исследовал сопротивление балки воздействию поперечного изгиба на прочность. Так, например, в строительстве часто используются балки-консоли. И он стал обладателем знания, каким руководствуются современные строители при подборе балок-консолей.

Классическое нагружение такой балки – груз на свободном конце. Галилей предположил, что все волокна балки будут растянуты. Под действием нагрузки балка изгибается. Какой должна быть форма поперечного сечения балки, чтобы она выдерживала как можно большую нагрузку? При указанных поперечных размерах в виде прямоугольника балка, поставленная на ребро, выдерживает вдвое больший груз, чем положенная плашмя. Галилей доказал, что сопротивление бруса пропорционально произведению квадрата высоты поперечного сечения на его ширину. Именно поэтому балки прямоугольного сечения в мостах и перекрытиях зданий устанавливаются на ребро. Двутавровые балки выполняют так, чтобы наибольшая часть поперечного сечения была как можно дальше отнесена от оси сопротивления, потому что от этого зависит сопротивление изгибающей нагрузке.

4

По пути, указанному да Винчи и Галилеем, пошли все исследователи сопротивления материалов.

Теперь мы знаем, что при изгибе волокна не только растягиваются, но и сжимаются и есть математический аппарат напряжений и деформаций, связанных между собой законами и формулами. Поэтому мы можем рассчитывать балку на изгиб или вал на кручение, причем несколькими способами:

–определение максимальной нагрузки, которую выдерживает брус;

–подбор сечения рассчитываемого бруса;

–проверка действующих напряжений и сравнение их с допускаемыми.

Вданном пособии освещается второй способ расчета и для брусьев, работающих на изгиб или кручение.

Врасчете аналитически, а затем с помощью эпюр определяются значения

ивид изгибающих и крутящих моментов, распространяющихся по длине бруса или по всему сооружению, если это плоская рама.

Определяется поперечное сечение, в котором действует максимальный внутренний силовой фактор.

Именно для этого, как говорят, наиболее опасного сечения, рассчитывают момент сопротивления по соответствующим формулам и, исходя из этого, а также учитывая технологические параметры, подбирают форму поперечного сечения для балки или вала.

Далее полученные фактические напряжения сравнивают с допускаемыми для заданного материала, и, если расхождение не превышает заранее установленной величины, поперечное сечение считается подобранным.

Для пластичных материалов максимальное напряжение не должно превышать предела текучести материала, а для хрупких – предела прочности, опасных напряжений для данных материалов.

На практике вводится понятие так называемого допускаемого напряжения, которое получают делением одного из опасных напряжений на установленный нормативами коэффициент запаса прочности.

Это принято для того, чтобы в рассчитываемой конструкции сохранялись напряжения, не превышающие предела пропорциональности (упругости), и таким образом обеспечивалась надежность и безопасность ее эксплуатации.

5

1 НЕКОТОРЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

1.1 Определение внутренних силовых факторов

Важнейшим этапом расчетов брусьев на кручение и изгиб является определение внутренних силовых факторов (или иначе – внутренних усилий): крутящих моментов M z – при кручении бруса – вала; поперечных сил Qx , Qy и

изгибающих моментов M x , M y при изгибе бруса – балки или рамы, а также продольных сил N z при растяжении или сжатии стержней рамы. Для их вычис-

ления используется метод сечений, сущность которого заключается в следующем (рис. 1.1).

1Рассечение (мысленно) бруса плоскостью, перпендикулярной его оси.

2Отбрасывание одной из частей.

3Замена действия отброшенной части на рассматриваемую внутренними силовыми факторами, Qx , Qy , N z , приложенными в центре тяжести сечения и

M z

z

Рис. 1.1

6

4 Уравновешивание внешних и внутренних силовых факторов путем со-

ставления и разрешения уравнений статического равновесия оставшейся части

y 0, z 0, x 0 и M 0 .

Согласно этому методу внутренний силовой фактор в сечении бруса определяется как алгебраическая сумма проекций сил Qx , Qy , Nz или момен-

тов сил M x , M y , M z , взятых по одну сторону от сечения.

Крутящий момент M z в произвольном сечении вала определяется как ал-

гебраическая сумма скручивающих моментов внешних пар сил, действующих по одну сторону от сечения относительно продольной оси бруса Z .

1.2 Правила знаков для внутренних силовых факторов

Положительное направление для крутящего момента в сечении принимается произвольно. Условимся считать крутящий момент положительным, если при взгляде в торец отсекаемой части на исследуемое сечение он представляется направленным по ходу часовой стрелки (рис. 1.2, а) и отрицательным, если он представляется направленным против хода часовой стрелки (рис. 1.2, б).

Рис. 1.2

При плоском прямом изгибе (в плоскости yz ) поперечная сила Qy в се-

чении определяется как алгебраическая сумма проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения n n , на ось y поперечного сече-

ния. При этом внешние усилия в выражении Qy положительны, если они стре-

мятся сдвинуть участок бруса относительно сечения по ходу часовой стрелки (направлены слева от сечения вверх, а справа вниз) (рис. 1.3, а). Если же силы стремятся сдвинуть участок бруса относительно сечения n n против часовой стрелки (направлены слева от сечения вниз, а справа – вверх), то они вызывают появление отрицательной поперечной силы (рис. 1.3, б).

7

ствием приложенных к рассматриваемой части нагрузок F , q, M по отноше-

нию к условно жестко защемленному сечению n n участок балки изгибается выпуклостью вниз (вогнутостью вверх), рис. 1.4.

M x 0

n

Рис. 1.4

Изгибающий момент M x принимается отрицательным, если под действием приложенных к рассматриваемой части нагрузок F , q, M по отношению к

условно жестко защемленному сечению n n участок балки изгибается выпуклостью вверх (вогнутостью вниз), рис. 1.5.

M x 0

n

Рис. 1.5

8

Правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов можно сформулировать проще. Поперечная сила Qy считается положительной, ес-

ли она стремится повернуть элемент, вырезанный из балки, по ходу часовой стрелки (рис. 1.6, а), и отрицательной – в противоположном случае (рис. 1.6, б).

Изгибающий момент независимо от того, вычисляется он в балке справа или слева от сечения, считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон элемента балки (рис. 1.6, в) и отрицательным в противоположном случае (рис. 1.6, г).

Qy 0 Qy 0 M x 0 M x 0

1.3 Построение эпюр внутренних силовых факторов

ВСФ по длине бруса, с целью установления опасного сечения бруса по наибольшей величине того или иного силового фактора. Границами участков, где изменяется характер очертания эпюр, будут точки приложения внешних сил. ВСФ определяются в характерных сечениях, располагаемых возле точек приложения сосредоточенных крутящих моментов, сил (реакций) и изгибающих моментов, а также возле границ приложения распределенных нагрузок. В валах переменного сечения характерные сечения располагаются также и на границе ступеней, а в рамах – на границах стержней.

С целью сокращения вычислений для части участков бруса ВСФ можно определять и слева от сечения, и справа, выбирая часть балки с меньшим количеством нагрузок. Перед построением эпюр для двухопорных балок и рам предварительно находят опорные реакции. Для балок-консолей, а равно валов и рам, жестко защемленных одним концом, реактивные усилия можно не находить; вычисления и построения выполняют, начиная со свободного конца: тогда реакции определятся, как соответствующие ординаты эпюр ВСФ.

9

Положительные ординаты эпюр крутящих моментов M z , углов закручивания откладываются вверх от горизонтальной оси отсчета (базовой линии), отрицательные – вниз. Аналогично строятся эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов M x . Причем ординаты эпюры M x располага-

ются на сжатых волокнах балки. При построении вида изогнутой оси балки следует помнить, что на участках балки, где изгибающий момент положителен, выпуклость упругой линии направлена вниз, а там, где изгибающий момент отрицателен, выпуклость упругой линии направлена вверх; в сечениях балки, где изгибающий момент равен нулю, на упругой линии должна находиться точка перегиба. Для рам положительные значения Qy откладываются

слева и сверху стержня, а ординаты эпюры M x располагаются на растяну-

тых волокнах стержня рамы без указания знака. Правило знака изгибающего момента для рам аналогично правилу знака для балок, поскольку любой стержень рамы можно рассматривать, как балку-консоль с защемлением в сечении возле жесткого узла рамы. Положительные ординаты эпюр продольных сил N z указывают на деформацию растяжения, отрицательные – на

сжатие.

После определения величин ВСФ и построения их эпюр переходят к расчетам на прочность и жесткость при кручении и изгибе.

1.4 Кручение

Расчеты при кручении строятся на предположении, что материал вала, вследствие действия крутящих моментов, находится в состоянии чистого сдвига и следует закону Гука:

G ,

где τ – касательные напряжения в сечении вала; γ – угол сдвига или относительный сдвиг;

G– модуль сдвига материала вала.

Влюбой точке поперечного сечения вала на расстоянии от центра тя-

жести возникают касательные напряжения (рис. 1.7)

М z .

J

Здесь M z – крутящий момент в рассматриваемом сечении;

– расстояние от центра тяжести сечения до исследуемой точки сечения; J – полярный момент инерции поперечного сечения вала;

10