Кротов С.В. Расчеты брусьев на изгиб и кручение. Для практич. зан. и контр. раб. 2017

Рис. 8 По условию прочности максимальные нормальные напряжения в опасном

сечении балки не должны превышать допускаемых:

max M x max .

Wx

Подбор размеров поперечного сечения балки производится путем вычисления необходимого момента сопротивления:

M x max

Wx ,

откуда и определяются: b и h – ширина и высота балки прямоугольного попе-

речного сечения, учитывая Wx bh2 6 (задача № 2); d – диаметр балки круглого поперечного сечения, учитывая Wx d 3 32 (задача № 3); Wx – ближайшее к

рассчитанному значение момента сопротивления для стандартного двутавра по сортаменту прокатной стали ГОСТ 8239–89 (задача № 4), по которому и выбирается номер профиля двутавра.

Расчетные (фактические) нормальные напряжения для подобранного сечения сравниваются с допускаемыми, причем расхождение не должно превышать 5 %, однако для прокатных двутавровых профилей расхождение может

11

12

max Qy max Sx .

b J x

1.6 Перемещения при изгибе

Перемещения сечений балок характеризуются прогибами V – линейными перемещениями центров тяжести поперечных сечений перпендикулярно гео-

метрической оси балки z , а также углами поворота сечений – угловыми пе-

ремещениями поперечных сечений вокруг нейтральной оси X . Прогиб V по-

ложителен, если его направление совпадает с положительным направлением оси y . Угол поворота положителен, если поворот поперечного сечения про-

исходит против часовой стрелки. Прогиб V и угол поворота в произвольном

сечении балки, которое находится на некотором расстоянии z от начала коор-

динат, можно найти при помощи следующих уравнений прогибов и углов по-

ворота:

Здесь V0 , 0 , Q0 , M0 – соответственно прогиб, угол поворота, поперечная сила и изгибающий момент в начале координат – начальные параметры;

M , F , q – соответственно изгибающие моменты внешних пар сил, сосре-

доточенные силы и распределенные нагрузки;

aM , aF , aq – расстояния от начала координат до сечений, где приложены внешние нагрузки: соответственно внешние пары сил, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки (рис. 10, а);

z – расстояние от начала координат до исследуемого сечения n n .

13

Внешние нагрузки M , F , q , начальные параметры Q0 , M0 , а также реак-

тивные усилия R подставляют в уравнения с учетом знаков: со знаком плюс,

если они вызывают в исследуемом сечении n n положительный изгибающий момент (рис. 10, а), и со знаком минус – отрицательный изгибающий момент

(рис. 10, б).

Рис. 10

Если какая-либо нагрузка повторяется на балке несколько раз, то соответ-

ствующие члены в уравнениях должны быть повторены такое же количество раз; в случае отсутствия какого-либо вида нагрузки соответствующий ему член в уравнении исключается.

Рис. 11

За начало координат удобно принимать сечение, для которого V0 0 . Ре-

комендуется начало отсчета располагать на левой опоре балки. Если балка име-

ет слева консоль, на которой расположены внешние нагрузки (рис. 11, а), то для определения перемещений на пролете в уравнениях следует учесть начальные параметры Q0 , M0 – поперечную силу и изгибающий момент, создаваемые внешними нагрузками относительно сечения левее опоры (рис. 11, б). Тогда в

14

начале координат на опоре: поперечная сила Q0 F RA , изгибающий момент

M0 M Fa .

В случае, когда равномерно распределенная нагрузка q прерывается в сечении n n на пролете, ее необходимо продолжить до конца балки и ввести на том же участке компенсирующую нагрузку qк противоположного направ-

ления (рис. 12).

1.7 Контроль правильности построения эпюр при изгибе

Для построения эпюр внутренних силовых факторов при изгибе нужно использовать дифференциальные зависимости между изгибающим моментом,

поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки:

выпуклость которой направлена в сторону, противоположную направлению нагрузки.

3 Если на участке балки (отсчет производится слева направо):

а) Qy положительна, то M x возрастает (алгебраически);

б) Qy отрицательна, то M x убывает;

15

в) Qy равна нулю, то M x постоянен, имеет место чистый изгиб.

4 Ордината эпюры Qy в любом сечении численно равна тангенсу угла наклона касательной к эпюре M x в том же сечении. Изгибающий момент M x

достигает экстремального значения в сечении, где эпюра Qy пересекает ось z .

Если при непрерывном изменении эпюра Qy меняет знак с плюса на минус, то изгибающий момент имеет аналитический максимум, а если эпюра Qy меняет знак с минуса на плюс, то изгибающий момент имеет аналитический минимум.

5 В сечении, где к балке приложена сосредоточенная сила, на эпюре Qy

будет «скачок» на величину и в направлении этой силы, а на эпюре M x будет излом, направленный в сторону противоположную направлению силы.

6 В сечении, где к балке приложен сосредоточенный момент, на эпюре

M x будет «скачок» на величину этого момента, а на эпюре Qy его действие не отражается.

7 В сечении на конце балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении; изгибающий момент численно равен сосредоточенному моменту, приложенному в этом сечении.

2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2.1 Общие указания

Расчетно-графическая работа № 3 по сопротивлению материалов состоит из шести задач. Первая задача посвящена расчетам на прочность и жесткость при кручении, вторая, третья и четвертая – расчетам на прочность балок при изгибе, пятая и шестая – построению эпюр внутренних силовых факторов для статически определимых рам. Выбор численных данных и расчетных схем,

16

приведенных в приложениях 1 и 2, производится по шифру учебной группы и личному шифру студента.

На схеме I изображен стальной стержень постоянного или переменного круглого сплошного сечения, нагруженный парами сил, действующих в плос-

костях, перпендикулярных оси стержня.

На схемах II и III изображены нагруженные в плоскости осей yz перпен-

дикулярно главной центральной оси x поперечного сечения деревянные балки прямоугольного (схема II) и круглого (схема ΙΙΙ) поперечного сечения, лежащие на двух опорах.

На схеме ΙV изображена стальная, жестко защемленная балка-консоль двутаврового поперечного сечения.

На схемах V и VΙ изображены плоские статически определимые рамы.

Требуется:

Для всех схем: вычертить заданные расчетные схемы, соблюдая масштаб.

Для схемы I:

1) определить численное значение скручивающего момента M 0 из условия равновесия всех действующих на вал моментов;

2)построить эпюру крутящих моментов;

3)определить диаметры вала из условий прочности и жесткости;

4)определить максимальные касательные напряжения на каждом участке вала;

5)построить эпюру максимальных касательных напряжений;

6)построить эпюру углов закручивания.

Для схемы II:

1)определить опорные реакции из условия равновесия балки;

2)построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

3)определить размеры поперечного сечения балки из условия прочности по нормальным и касательным напряжениям, приняв соотношение между сторо-

нами прямоугольного сечения b 0,6h ;

17

4) изобразить (ориентировочно) вид изогнутой оси балки в соответствии с эпю-

рой изгибающих моментов; 5) определить наибольшие нормальные и касательные напряжения в балке и построить их эпюры.

Для схемы III:

1)определить опорные реакции из условия равновесия балки;

2)построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

3)определить диаметр балки из условия прочности по нормальным и касатель-

ным напряжениям; 4) определить прогиб посередине пролета и угол поворота поперечного сечения

балки на левой опоре методом начальных параметров; величину прогиба срав-

нить с допускаемой; 5) определить наибольшие нормальные и касательные напряжения в балке и построить их эпюры.

Для схемы ΙV:

1)определить поперечные силы и изгибающие моменты. Опорные реакции в этом случае находятся как соответствующие ординаты эпюр Q и M ;

2)построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

3)подобрать сечение балки по сортаменту прокатных профилей (ГОСТ 8239–

89) из условия прочности по нормальным напряжениям; 4) определить наибольшие нормальные и касательные напряжения в балке и построить их эпюры.

Для схем V и VΙ:

1)определить опорные реакции из условий равновесия;

2)построить эпюры продольных, поперечных сил и эпюры изгибающих момен-

тов;

3) выполнить проверку равновесия.

В расчетах необходимо принять:

1 Допускаемое нормальное напряжение

18

тельное направление нагрузки противоположно заданному на расчетной схеме. Следует изменить направление этой нагрузки на противоположное и приступать к решению задачи.

Задача № 1

Дано: M 40кНм , l 4м, G 8 104 МПа, 80 МПа, 0,5 .

Решение

Вычерчиваем заданную схему (рис. 13, а).

1 Определяем неизвестный скручивающий момент M 0 .

M z 0 M 4M M0 5M 0 ,

M0 5M 4M M 2M 80кНм .

(Знак «–» свидетельствует о противоположном направлении M 0 ).

2 Определяем величины крутящих моментов в сечениях (1–4). M z1 M 40 кНм ;

19