Кротов С.В. Расчеты брусьев на изгиб и кручение. Для практич. зан. и контр. раб. 2017

РОСЖЕЛДОР

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(ФГБОУ ВО РГУПС)

__________________________________________________________________

С.В. Кротов

РАСЧЕТЫ БРУСЬЕВ НА ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ

Учебное-методическое пособие для практических занятий и контрольной работы

Ростов-на-Дону

2017

1

УДК 539.3/6 (07) + 06

Рецензент – кандидат физико-математических наук, доцент В.П. Шехов

Кротов, С.В.

Расчеты брусьев на изгиб и кручение: учебно-методическое пособие для практических занятий и контрольной работы / С.В. Кротов; ФГБОУ ВО РГУПС. – Ростов н/Д, 2017. – 56 с.: ил., прил. – Библиогр.: с. 42.

Основная цель учебного пособия заключается в организации самостоятельной работы студентов при подготовке к практическим занятиям и при выполнении контрольной работы по дисциплине «Практикум по профессиональным дисциплинам».

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов технических специальностей и направлений подготовки всех форм обучения.

Одобрено к изданию кафедрой «Строительная механика».

© Кротов С.В., 2017 © ФГБОУ ВО РГУПС, 2017

2

1 НЕКОТОРЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

1.1 Определение внутренних силовых факторов

Важнейшим этапом расчетов брусьев на кручение и изгиб является опре-

деление внутренних силовых факторов (или иначе – внутренних усилий): кру-

тящих моментов M z – при кручении бруса – вала; поперечных сил Qx , Qy и

изгибающих моментов M x , M y при изгибе бруса – балки или рамы, а также

продольных сил N z при растяжении или сжатии стержней рамы. Для их вы-

числения используется метод сечений, сущность которого заключается в сле-

дующем (рис.1).

M z

z

Рис.1

1Рассечение (мысленно) бруса плоскостью, перпендикулярной его оси.

2Отбрасывание одной из частей.

3Замена действия отброшенной части на рассматриваемую внутренними силовыми факторами, Qx , Qy , N z , приложенными в центре тяжести сечения и

моментами сил M x , M y , M z .

3

4 Уравновешивание внешних и внутренних силовых факторов путем со-

ставления и разрешения уравнений статического равновесия оставшейся части

y 0, z 0, x 0 и M 0 .

Согласно этому методу внутренний силовой фактор в сечении бруса определяется как алгебраическая сумма проекций сил Qx , Qy , Nz или момен-

тов сил M x , M y , M z , взятых по одну сторону от сечения.

Крутящий момент M z в произвольном сечении вала определяется как ал-

гебраическая сумма скручивающих моментов внешних пар сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно продольной оси бруса Z .

1.2 Правила знаков для внутренних силовых факторов

Положительное направление для крутящего момента в сечении принима-

ется произвольно. Условимся считать крутящий момент положительным, если при взгляде в торец отсекаемой части на исследуемое сечение он представляет-

ся направленным по ходу часовой стрелки (рис. 2, а) и отрицательным, если он представляется направленным против хода часовой стрелки (рис. 2, б).

При плоском прямом изгибе (в плоскости yz ) поперечная сила Qy в се-

чении определяется как алгебраическая сумма проекций всех внешних сил,

расположенных по одну сторону от сечения n n , на ось y поперечного сече-

ния. При этом внешние усилия в выражении Qy положительны, если они стре-

мятся сдвинуть участок бруса относительно сечения по ходу часовой стрелки

(направлены слева от сечения вверх, а справа вниз) (рис. 2, а). Если же силы

4

стремятся сдвинуть участок бруса относительно сечения n n против часовой стрелки (направлены слева от сечения вниз, а справа – вверх), то они вызывают появление отрицательной поперечной силы (рис. 3, б).

ствием приложенных к рассматриваемой части нагрузок F , q, M по отноше-

нию к условно жестко защемленному сечению n n участок балки изгибается выпуклостью вниз (вогнутостью вверх) (рис. 4).

M x 0

n

Рис. 5

Правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов можно сформулировать проще. Поперечная сила Qy считается положительной, ес-

5

ли она стремится повернуть элемент, вырезанный из балки, по ходу часовой стрелки (рис. 6, а), и отрицательной – в противоположном случае (рис. 6, б).

Изгибающий момент независимо от того, вычисляется он в балке справа или слева от сечения, считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон элемента балки (рис. 6, в) и отрицательным в противоположном случае (рис. 6, г).

1.3 Построение эпюр внутренних силовых факторов

ния ВСФ по длине бруса, с целью установления опасного сечения бруса по наибольшей величине того или иного силового фактора. Границами участ-

ков, где изменяется характер очертания эпюр, будут точки приложения внешних сил. ВСФ определяются в характерных сечениях, располагаемых возле точек приложения сосредоточенных крутящих моментов, сил (реак-

ций) и изгибающих моментов, а также возле границ приложения распреде-

ленных нагрузок. В валах переменного сечения характерные сечения распо-

лагаются также и на границе ступеней, а в рамах – на границах стержней.

С целью сокращения вычислений для части участков бруса ВСФ мож-

но определять и слева от сечения, и справа, выбирая часть балки с меньшим количеством нагрузок. Перед построением эпюр для двухопорных балок и рам предварительно находятся опорные реакции. Для балок-консолей, а рав-

но валов и рам, жестко защемленных одним концом, реактивные усилия

можно не находить; вычисления и построения выполняются, начиная со

6

свободного конца: тогда реакции определятся, как соответствующие ордина-

ты эпюр ВСФ.

Положительные ординаты эпюр крутящих моментов M z , углов закру-

чивания откладываются вверх от горизонтальной оси отсчета (базовой линии), отрицательные – вниз. Аналогично строятся эпюры поперечных сил

Qy и изгибающих моментов M x . Причем ординаты эпюры M x располага-

ются на сжатых волокнах балки. При построении вида изогнутой оси балки следует помнить, что на участках балки, где изгибающий момент положите-

лен, выпуклость упругой линии направлена вниз, а там, где изгибающий момент отрицателен, выпуклость упругой линии направлена вверх; в сече-

ниях балки, где изгибающий момент равен нулю, на упругой линии должна находиться точка перегиба. Для рам положительные значения Qy отклады-

ваются слева и сверху стержня, а ординаты эпюры M x располагаются на растянутых волокнах стержня рамы без указания знака. Правило знака изги-

бающего момента для рам аналогично правилу знака для балок, поскольку любой стержень рамы можно рассматривать, как балку-консоль с защемле-

нием в сечении возле жесткого узла рамы. Положительные ординаты эпюр продольных сил N z указывают на деформацию растяжения, отрицательные

– на сжатие.

После определения величин ВСФ и построения их эпюр переходят к расчетам на прочность и жесткость при кручении и изгибе.

1.4 Кручение

Расчеты при кручении строятся на предположении, что материал вала,

вследствие действия крутящих моментов, находится в состоянии чистого сдви-

га и следует закону Гука:

G ,

где – касательные напряжения в сечении вала;

7

– угол сдвига или относительный сдвиг;

G – модуль сдвига материала вала.

В любой точке поперечного сечения вала на расстоянии от центра тя-

жести возникают касательные напряжения (рис. 7):

Условие прочности при кручении формулируется так: прочность вала обеспечена, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном сечении, не превышают допускаемых:

max M z max ,

W

8

где – величина допускаемого касательного напряжения.

Расчетное (фактическое) напряжение может отличаться от допускаемого на 5 %.

Величина угла закручивания определяется по закону Гука при кручении:

М z l ,

G J

где l – расстояние от начала отсчета угла до соответствующего сечения;

GJ – характеристика жесткости вала при кручении.

Подбирать диаметр вала необходимо из условия прочности по касатель-

ным напряжениям

откуда

Кроме этого, диаметр определяется по условию жесткости при закручи-

вании вала – величина относительного угла закручивания не должна превос-

ходить допускаемого значения :

откуда

Из двух расчетов необходимо принять большие значения диаметров.

В случае необходимости, если вал имеет ступенчатый профиль, произво-

дится расчет диаметров участков вала, исходя из заданного соотношения участ-

ков « ».

9

1.5 Изгиб

Расчеты при плоском изгибе строятся на предположении, что материал балки, вследствие действия изгибающих моментов, следует закону Гука:

E ,

где – нормальные напряжения в поперечном сечении бруса;

– относительная деформация в поперечном сечении бруса;

E – модуль продольной упругости материала бруса.

Нормальные напряжения в произвольных точках поперечного сечения

определяются по следующей формуле:

z M x y ,

J x

где M x – величина изгибающего момента в сечении бруса;

y – расстояние от нейтральной оси поперечного сечения бруса до точки,

в которой определяется напряжение;

J x – осевой момент инерции поперечного сечения бруса относительно нейтральной оси.

Нейтральной осью (линией) называется линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки. Слой волокон балки, не испы-

тывающий ни растяжения, ни сжатия, а лишь искривление, называется

нейтральным (рис. 8).

Наибольшего значения нормальные напряжения достигают в точках, ле-

жащих на контуре, максимально удаленных от нейтральной оси:

Для симметричных относительно нейтральной оси поперечных сечений

(рис. 8), у которых центр тяжести расположен на середине высоты сечения ymax h 2 , максимальные нормальные напряжения определяются по следую-

щей формуле:

10