Кротов С.В. Расчет трехшарнирных систем. Учеб пособ. 2020

Рис. 1.7

Убедимся в статической определимости арки и ее геометрической неизменяемости.

Степень подвижности арки (см. рис. 1.7)

W = 3Д – 2Ш – СОП = 3 · 2 – 2 · 1 – 4 = 0,

где Д – количество дисков, равно 2; Ш – количество шарниров, соединяющих криволинейные стержни,

равно 1; СОП – количество опорных связей, равно 4.

Вданном случае W = 0, а это означает, что арка неподвижна относительно «земли» и статически определима.

Вопорах трехшарнирной арки неизвестны четыре составляющие

опорных реакций: горизонтальные HA и HB, а также вертикальные VA и VB. Для определения вертикальных реакций арку можно представить в ви-

де эквивалентной ей балки по условиям нагружения и размерам (рис. 1.8).

MB 0; VA l F b q 0,5l 0,25l 0;

M A 0; VB l F a q 0,5l 0,75l 0;

12

Проверка:

Y 0; VA VB F q 0,5l ;

Рис. 1.8

Для определения горизонтальной реакции HA используем условие равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих слева относительно шарнира С:

Для определения горизонтальной реакции HB используем условие равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих справа относительно шарнира С:

H A HB H , а это и имеет место в данном случае.

13

В полученных формулах для определения горизонтальных реакций числитель представляет собой выражение изгибающего момента в сечении C эквивалентной балки. Выражение для определения распора напишем в виде

M 0

H C , f

где MC0 – значение изгибающего момента в сечении C эквивалентной балки;

f – стрела подъема арки.

Из этой формулы следует, что чем меньше стрела подъема арки, тем больше величина распора арки. Необходимо помнить, что этой формулой можно пользоваться только в случае воздействия на арку вертикальных нагрузок.

В способах определения опорных реакций и усилий в трехшарнирных арках и рамах принципиального различия нет.

Трехшарнирные фермы после определения их опорных реакций так же, как и для арок, рассчитывают далее, как обычные фермы.

Для определения внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях арки, используется метод сечений. Арка рассекается плоскостью перпендикулярно оси ее поперечного сечения, одна из частей отбрасывается, а оставшаяся уравновешивается поперечной Q и продольной N силами, а также изгибающим моментом M (рис. 1.9).

Осью арки называется средняя линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений арки.

Продольная сила – это проекция равнодействующей системы сил, приложенных по одну сторону от сечения, на касательную к оси арки.

Поперечная сила в любом сечении есть алгебраическая сумма проекций всех сил, приложенных по одну сторону от сечения на ось, перпендикулярную касательной, проведенной к оси арки в рассматриваемом сечении.

Изгибающий момент в сечении арки есть алгебраическая сумма моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения.

Правила знаков таковы:

Продольная сила считается положительной, если она направлена в сторону от поперечного сечения (растягивающая).

Поперечная сила считается положительной, если она стремится вращать поперечное сечение по часовой стрелке.

Изгибающий момент положителен, если он растягивает нижние волокна арки (рамы).

На рис. 1.9 показаны положительные направления внутренних силовых факторов.

14

Рассматривая левую часть арки (см. рис. 1.9), определим значение изгибающего момента в сечении K на расстоянии zK от левой опоры:

M K VA zK F zK a H yK .

Выражение в скобках и представляет собой «балочный» изгибающий момент

A

zK

VA

Рис. 1.9

Очевидно, что изгибающий момент в арке меньше изгибающего момента в эквивалентной ей балке на величину момента, создаваемого распором. Отсюда и преимущество арки как сооружения по сравнению с балкой.

Теперь с целью определения поперечной силы в сечении K проецируем все внешние силы, лежащие слева от сечения, на нормаль n – n к оси арки (см. рис. 1.9):

QK VA F cos K H sin K .

Выражение в скобках и представляет собой «балочную» поперечную

силу

QK0 VA F .

15

После подстановки получаем

QK QK0 cos K H sin K .

Поперечная сила в арке меньше поперечной силы в соответствующем сечении балки при одинаковой длине пролета.

Проецируя все внешние силы, лежащие слева от сечения, на касательную t t к оси арки (см. рис. 1.9), определим продольную силу в сечении K:

NK VA F sin K H cos K .

Выражение в скобках и представляет собой «балочную» поперечную

силу

QK0 VA F .

После подстановки получаем

NK QK0 sin K H cos K .

Таким образом, в трехшарнирных системах внутренние усилия M K , QK , NK в произвольном сечении K вычисляются по формулам:

M K M K0 H yK ;

QK QK0 cos K H sin K ;

NK QK0 sin K H cos K ,

где M K0 и QK0 – изгибающий момент и поперечная сила в сечении K дву-

хопорной балки с пролетом, равным пролету l .

Подчеркнем, что для сечений левой полуарки угол φК > 0, sin φК > 0, сos φК > 0, а для сечений правой полуарки угол φК < 0, sin φК < 0, сos φК > 0. Это же касается рам с наклонными стержнями.

16

1.4 Построение линий влияния изгибающего момента, поперечной и продольной сил

Линией влияния называется графическое изображение закона изменения усилия в каком-либо сечении при перемещении по сооружению силы (подвижного груза) F 1.

Построение линий влияния в арке начинают с построения линии влияния горизонтальной составляющей опорных реакций – распора Н. По-

представляет собой линию влияния балочного изгибающего момента в сечении C, все ординаты которой умножены на 1 f (где f – стрела подъема

арки).

Построение линии влияния арочного изгибающего момента MK в сечении K

Формула для определения арочного изгибающего момента имеет вид

М К М К0 Н уК .

Линия влияния арочного изгибающего момента представляет собой

сумму двух линий влияния: балочного изгибающего момента М K0 в сече-

нии K и линии влияния распора H, все ординаты которой умножены на значение ординаты сечения K и взяты с противоположным знаком.

Построение линии влияния арочной поперечной силы QK в сечении K

Формула для определения арочной поперечной силы имеет вид

QK QK0 cos K H sin K .

Линия влияния арочной поперечной силы представляет собой сумму двух линий влияния: линии влияния балочной поперечной силы QК0 , все ординаты которой умножены на значение косинуса угла наклона касательной в сечении K, а также линии влияния распора H, все ординаты которой умножены на значение синуса угла наклона касательной в сечении K и взяты с противоположным знаком.

При суммировании линий влияния складывают характерные ординаты, получаемые из подобия треугольников.

17

Построение линии влияния арочной продольной силы NK в сечении K

Формула для определения арочной продольной силы имеет вид

NK QK0 sin K H cos K .

Линия влияния арочной продольной силы будет представлять собой сумму двух линий влияния: балочной поперечной силы QК0 , все ординаты которой умножены на значение синуса угла наклона касательной в сечении K, а также линии влияния распора H, все ординаты которой умножены на значение косинуса угла наклона касательной в сечении K. Все ординаты линии влияния арочной продольной силы отрицательны.

1.5Определение усилий по линиям влияния

Спомощью линий влияния можно определять усилия в заданном сечении при любом приложении нагрузки. Определение усилий в арках от действия приложенной нагрузки по линии влияния производится по формуле

Si = Fi yi qi ω i,

где Si – усилие в заданном сечении;

Fi yi – сумма произведений величины приложенной силы Fi на ве-

личину ординаты yi соответствующей линии влияния под этой силой;

qi ωi – сумма произведений интенсивности приложенной нагрузки

qi на величину площади участка линии влияния, расположенного под этой нагрузкой.

Как правило, сосредоточенная Fi или распределенная qi нагрузки направлены вниз, и это направление считается положительным.

Ординаты yi и площади участков ωi по линии влияния необходимо брать с соответствующими знаками.

1.6 Очертание оси трехшарнирной системы

Очертание оси арки чаще всего задается по закону параболы или окружности.

При очертании оси арки по закону параболы уравнение оси имеет вид

y 4l2f z l z .

18

Тангенс угла наклона касательной к оси арки определяется выраже-

нием

tg y 4l2f l 2z .

Если ось арки описывается по закону окружности, то уравнение оси имеет вид

Синус угла наклона касательной к оси арки

sin l 2z , 2R

косинус угла наклона касательной к оси арки

Очертание оси рамы – это, как правило, прямая или ломаная прямая. В этом случае определение геометрических параметров конструкции не вызывает затруднений.

Так, в случае очертания рамы в виде равнобедренного треугольника тангенс угла наклона касательной к оси рамы определится как

tg f .

0,5l

19

2 РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ

Для трехшарнирной арки требуется:

1)определить аналитически опорные реакции, поперечную, про-

дольную силы и изгибающий момент в сечении K (с координатой zK) от заданной нагрузки;

2)построить линии влияния изгибающего момента MK, поперечной силы QK, продольной силы NK в сечении K;

3)вычислить величины MK, QK, NK от заданной нагрузки по линиям влияния и сравнить их с полученными в п. 1 задания.

Решение

1 Вычерчиваем заданную схему арки строго в масштабе, любые ординаты которой могут быть вычислены по ее уравнению

и т.д., что поможет точнее выполнить чертеж параболической арки.

2 Определение опорных реакций.

Величины опорных реакций VA, VB, HA, HB определяются из условия равновесия системы:

20