Солоп С.А. Математическое моделирование систем и процессов. 2017

Добавил:

Parenek777 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ростовский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

Математическое моделирование систем и процессов

Файл:

присутствуют 4 параметра: Kn ,

K0 , p , n . Так как равенство только одно,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2026

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Способ 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (применяется центральными банками) – вычисляется точное число дней, на которое выдан кредит, считая в году 365 дней.

Способ 2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (применяется коммерческими банками) – вычисляется точное число дней, на которое выдан кредит, считая в году 360 дней.

Способ 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

(применяется коммерческими банками при промежуточных расчетах, когда не требуется большой точности) – в году считают

360дней, в месяце – 30 дней.

1Подсчитаем число дней, на которое выдан кредит для этих способов (табл. 3.5).

			Таблица 3.5
Месяцы	Способ 1	Способ 2	Способ 3

январь	31 – 1= 30	31 – 1= 30	30 – 1= 29
февраль	28	28	30
март	31	31	30
апрель	30	30	30
май	31	31	30
июнь	30	30	30
июль	31	31	30
август	31	31	30
сентябрь	30	30	30
октябрь	31	31	30
ноябрь	11	11	11
	314	314	310

2 Доход вкладчика:
Способ 1.	Точные проценты с точным числом дней ссуды:
	I		K0 p	d	100000 10	314	8 603	руб.
	I		100	365	100	365	8 603	руб.
Способ 2.	Обыкновенные (коммерческие) проценты с точным чис-
лом дней ссуды:
	I		K0 p	d	100000 10	314	8 722	руб.
	I	100		365	100	360	8 722	руб.

Способ 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

I	K0 p		d		100000 10		310	8 611	руб.
	100		365		100		360

О. Расчетом «от ста» называется расчет по формулам:

	K0 p			K0 p m				K0 p d
I		n,	I			,	I			.
	100			100	12			100	360

При расчете процентного платежа не всегда известен размер капитала K0 , но известна величина K0 I или K0 I .

Задача 5. Дано: K0 I , p, n. Найти: K0 , I.

K0 I		( )					K0 p									p
K0 I

		K0 I K0								n K0 1							n
		K0 I K0					100			n K0 1							n
p%							100							100
p%
n
K0 ? I	?
					( )						p		1
													1

			K0			I
		K0						1				n		,
		K0						1		100		n		,
										100

				K0 p					( )						p			1		p
									( )
							K0 I
		I				n						1				n					n.
		I		100		n						1		100		n			100		n.
				100										100					100

Если в задаче 5 задано время m или d , то аналогично можно получить следующие формулы:

		( )				p	m	1		K0 p		m		( )				p	m	1		p	m
		( )												( )
	K0		I						, I				K0		I
K0				1												1								.
K0				1	100					100	12					1	100							.
					100		12			100	12						100		12		100 12

			( )					p		d	1
			( )
	K0			I
K0						1					,
K0						1	100				,
							100		360

		K0 p			d			( )				p	d	1		p	d
								( )
I						K0			I
										1								.
	100			360						1	100				100		360	.
	100			360							100		360		100		360

Формулы, полученные в задаче 5, являются основными в темах: дисконтирование векселей, расчеты, в которых используется понятие учетная ставка.

Задача 6. Дано: K0 I , p, n. Найти: K0 , I.

K0 I
K0 I
p%					( )						K0 p									p
											K0 p									p
n				K0 I K0									n K0 1								n
n				K0 I K0									n K0 1								n
											100							100
K0 ? I	?										100							100
K0 ? I	?
				( )						p				1
														1

	K0	K0			I							n
							1								,
							1		100						,
									100

			K0 p					( )							p		1			p
								( )
						K0 I
	I				n							1				n					n.
	I		100		n							1				n			100		n.
			100											100					100

Если в задаче 6 задано время m или d , то аналогично можно получить следующие формулы:

		( )						p				m		1			K0 p				m		( )							p			m	1		p		m
		( )																					( )
	K0		I																			K0		I
K0					1										, I												1												.
K0					1						12				, I		100			12							1		100			12			100		12		.
							100				12						100			12									100			12			100		12

								( )								p		d	1
																			1
					K0					I
				K0									1							,
				K0									1		100					,
															100		360

						K0 p			d							( )					p		d		1		p			d
																									1
				I									K0 I
																		1													.
					100													1		100		360						360			.
					100			360												100		360				100		360

Переменные ставки простых процентов

Банки могут начислять и выплачивать процентные платежи вкладчикам ежеквартально или ежемесячно. Начисление производят по постоянной или изменяющейся процентной ставке. Для этого в договорах с вкладчиками указывается одна или несколько годовых ставок, из которых определяются ежеквартальные или ежемесячные ставки.

О. Номинальная процентная ставка – годовая процентная ставка. Пусть:

1)общий срок кредита охватывает k периодов;

2)в первом периоде длительность кредита n1 , во втором – n2 и т.д.;

3)процентные ставки в периодах: i1, i2 ,...,ik .

Наращенная сумма на конец срока:

			k
Kn K0 K0i1 n1 K0i2 n2 K0ik nk	K0	1 i j		n j .
			j 1

Потребительский кредит

О. Потребительский кредит – кредит, предоставленный заемщику для покупки в рассрочку товаров длительного пользования с выплатой долга равными долями помесячно.

Пусть:

K – величина кредита;

m – число месячных выплат основного долга; p – процентная ставка;

Km – одинаковые месячные выплаты основного долга.

Схема потребительского кредита приведена в табл. 3.6.

Таблица 3.6

Даты

Выплата

Остаток

Процентный платеж

Месяч-

выплат

основного

долга

ный

долга

взнос

K –

+ I

1.0

100

1.0

K –

+ I

100

1.0

K –

+ I

100

...

m 1 K

1.0

+ Im

K –

= 0

100

K +I

З-е. Даты выплат указываются сторонами в договоре займа. В табл. 3.6 они взяты условно.

З-е. Общий процентный платеж: I I1 I2 I3 ... Im .

З-е. Если кредит выплачивается равными долями, то ежемесячные выплаты:

Km + mI .

З-е. Если кредит выплачивается неравными долями, то ежемесячные выплаты:

K	+ I1 ,	K	+ I2 ,	K	+ I3 , ,	K	+ I m .
m		m		m		m

Задача 7. Заемщику 1.01 предоставлен потребительский кредит 24 000 руб. на 6 месяцев под 30 % годовых. Составить план погашения кре-

дита (амортизационный план) (табл. 3.7).

				Таблица 3.7
Даты	Выплата	Остаток	Процентный	Месячный
выплат	основного долга	долга	платеж	взнос
1.01	4 000	20 000	600	4 600
1.02	4 000	16 000	500	4 500
1.03	4 000	12 000	400	4 400
1.04	4 000	8 000	300	4 300
1.05	4 000	4 000	200	4 200
1.06	4 000	0 000	100	4 100
	24 000		2 100	26 100

З-е. Если кредит выплачивается равными долями, то ежемесячные выпла-

ты:
			K	+	I	= 4 350 руб.
				+		= 4 350 руб.
			m		m
Сложные проценты
t	–	календарное время.
t1 t0	–	интервал времени между двумя календарными дата-
		ми.
T t	–	длительность ссуды (займа, кредита) – время между

истечением срока ссуды и взятием ссуды в долг.

Понятия-синонимы, используемые в финансовых расчётах:

–процентный платёж (доход);

–процентные деньги;

–процент.

Форма предоставления денег в долг:

1)выдача ссуды;

2)продажа товара в кредит;

3)помещение денег на депозитный счёт;

4)учёт векселя;

5)покупка сберегательного сертификата или облигации;

6)финансовый лизинг и т.д.

Ранее было введено понятие процентная ставка с использованием информации о двух масштабных единицах – времени (один год) и денег (100 денежных единиц капитала).

p– процентная ставка – число денежных единиц, выплачиваемых заёмщиком за пользование в течение года 100 ед. ка-

			питала.
		Процентная ставка измеряется:
p			–	в процентах,
i		p	–	в виде десятичной дроби.
i	100		–	в виде десятичной дроби.
	100

О. Период начисления – временной интервал, в котором используется дан-

ная конкретная процентная ставка.

З-е. В качестве периода начисления используют: год, полугодие, квартал, месяц, день и произвольные величины.

О. Плавающая процентная ставка – процентная ставка, размер которой не фиксируется на весь срок кредита.

О. Процентный период – часть срока кредита, предоставленного по плавающей процентной ставке.

З-е. В течение этого срока процентная ставка фиксируется на уровне, определяемом соглашением между кредитором и заемщиком.

З-е. Весь срок кредита может быть разбит на ряд различных процентных периодов с разными фиксированными процентными ставками.

О. Наращение (рост) – увеличение суммы денег при присоединении процентов.

О. Капитализация процентов – присоединение к основной сумме долга начисленных процентов.

О. Годовая капитализация – процентный платеж начисляется и присоединяется к ранее наращенной сумме в конце года.

З-е. Используется также: полугодовая, квартальная, месячная и одноднев-

ная капитализация.

О. База – сумма, на которую начисляются проценты.

Применяются:

О. Постоянная база – сумма капитала, на которую начисляются процен-

ты, остаётся неизменной в течение всего срока кредитного договора.

О. Переменная база – сумма капитала, на которую начисляются процен-

ты, наращивается (дисконтируется) от периода к периоду, на которые; разбит весь срок кредитного договора.

Используются:

О. Фиксированная процентная ставка на весь срок кредитного договора.

О. Переменная процентная ставка (в первый год процентная ставка определена в одном размере, на последующие годы предусматривается её рост (снижение) на определённую величину).

О. Плавающая процентная ставка – величина ставки «привязывается» (или):

-к темпам инфляции;

-изменяющейся по времени ставке рефинансирования ЦБ МИБОР;

-изменяющейся по времени лондонской межбанковской ставке ЛИБОР (базовой ставке) и размеру надбавки к ней (маржи);

-другим условиям кредитного договора.

Принципы расчета процентов:

Первый принцип – наращение (рост) на сумму долга. Второй принцип – скидка с конечной суммы задолженности.

О. В первом случае применяемые процентные ставки называются ставка-

ми наращения p .

О. Во втором случае применяемые процентные ставки называются учёт-

ными ставками q .

О. Проценты, полученные:

-по ставке наращения, называются декурсивными (или предваритель-

ными, или процентами «на 100»);

-по ставке учетной – антисипативными (или последующими, или процентами «со 100»).

О. Простые проценты – метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику, при котором процентный платеж начисляется на одну и ту же величину капитала в течение всего времени расчётов.

О. Сложные проценты – метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику, при котором процентный платеж в каждом расчётном периоде добавляется к капиталу предыдущего периода, а процентный платёж в последующем периоде вычисляется уже на эту наращенную величину первоначального капитала.

З-е. Наращение (рост) по сложным процентам есть последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

	Декурсивный расчёт сложных процентов
K0	– текущая стоимость капитала – величина первоначального
	капитала, на которую рассчитывается процент.
Kn	– конечная стоимость (наращенная стоимость) капитала че-
	рез n лет.
	Пусть начисление процентов производится:
	- в конце каждого расчётного периода,
	- на сумму, полученную в начале каждого расчётного периода.

Задача 8. Каким станет капитал K0 через n лет при p% годовых, если

начисление процентов производится декурсивным методом, капитализация – годовая? Схема решения представлена в табл.

3.8.

Таблица 3.8

Год

Начало

Конец года

года

K0 p

K1 K0 I1 K0

K0 1

100

K p

1 K1 1

K0 1

100

Окончание табл. 3.8

Год	Начало							Конец года
Год	года							Конец года
	года
		Kn Kn 1 In Kn 1						Kn 1 p		1
n	Kn 1	Kn Kn 1 In Kn 1						100		1
								100
					p					p		n
			Kn 1 1			1	K0	1			1
			Kn 1 1	100		1	K0	1	100		1
				100					100

Обозначения и термины:

О. r 1 100p – сложный декурсивный коэффициент.

	n			p	n
О. r		1				– коэффициент наращения (роста).
О. r		1				– коэффициент наращения (роста).
			100

З-е. В финансовых таблицах используется обозначение rn I pn .

				p	n	n
Тогда:	Kn	K0 1			1	K0 I p
Тогда:	Kn	K0 1	100		1	K0 I p
			100

Задача 9. Каким станет капитал 100 000 руб. через 5 лет при 1 % годовых, 10 % годовых, 99 % годовых, если начисление процентов производится декурсивным методом, капитализация – годовая? Схема решения представлена в табл. 3.9.

			Таблица 3.9
Число лет	Конечная величина капитала через n		лет, руб.
ссуды	Конечная величина капитала через n		лет, руб.
ссуды
	p 1%	p 10%	p 99%

1	101 000	110 000	199 000

2	102 010	121 000	396 010

3	103 030	133 100	788 060

4	104 060	146 410	1 568 239

5	105 101	161 051	3 120 796

Доход за 5 лет	5 101	61 051	3 020 796

Относительная
величина	5 %	61 %	3 021 %
дохода, %

З-е. В полученной формуле декурсивного метода расчёта сложных процентов

то, задавая три из них, можно получить четвёртый.

Антисипативный расчёт сложных процентов

Пусть начисление процентов производится:

-в начале каждого расчётного периода,

-на неизвестную сумму, которая получается в конце каждого расчётного периода.

З-е. Начисление процентов антисипативным методом используется в условиях высокой инфляции.

Задача 10. Каким станет капитал K0 через n лет при q% годовых, если

начисление процентов производится антисипативным методом, капитализация – годовая? Схема решения приведена в табл.

3.10.

																														Таблица 3.10
Год	Начало															Конец года
Год	года															Конец года
	года
			K		K			I K								K1q	1,		K					K1q				1 K			,
			1			0			1				0	100						1				100						0
														100										100
1	K	0						q											K0													q				1
		0						q											K0													q				1
			K1 1							1		K0 , K1															K0 1								1 .
			K1 1				100			1		K0 , K1											q				K0 1								1 .
							100										1						q							100
																	1			100

			K		K I						K				K2q		1,		K						K2q				1 K			,
				2		1				2			1	100							2			100						1
														100										100
2	K1							q														K1												q		1
			K2		1					1		K1 , K2															K1 1									1 .
			K2		1		100			1		K1 , K2											q				K1 1						100			1 .
							100											1					q			1							100
																		1				100				1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математическое моделирование систем и процессов