Солоп С.А. Математическое моделирование систем и процессов. 2017

I 100Kp n .

О. Простые проценты – метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику, при котором процентный платеж начисляется на одну и ту же величину капитала в течение всего времени расчетов.

Если заёмщик берёт в долг на один месяц, то дополнительно отдавать придётся больше или меньше, чем за один год? Очевидно, меньше. А во сколько раз? Здравый смысл подсказывает, что дополнительно отдавать придётся в двенадцать раз меньше:

I 100Kp 121 .

Если заёмщик берёт в долг на два месяца, то дополнительно отдавать придётся больше или меньше, чем за один месяц? Очевидно, больше. А во сколько раз? Здравый смысл подсказывает, что дополнительно отдавать придётся в два раза больше:

I 100Kp 122 .

Если заёмщик берёт в долг на m месяцев, то дополнительно отдавать придётся в m раз больше чем за один месяц:

I 100Kp 12m .

Если заёмщик берёт в долг на один день, то дополнительно отдавать придётся больше или меньше, чем за один год? Очевидно, меньше. А во сколько раз? И вот здесь нас ожидают три возможных ответа.

Во-первых, представим, что заёмщик пришёл за кредитом в 9 часов утра, а возвратил долг через определённое время в 17 часов. Это одна возможность.

Другая возможность: заёмщик пришёл за кредитом в 17 часов, а возвратил долг через одинаковое число дней в 9 часов.

Одинаковые финансовые последствия будут иметь эти ситуации? Число дней между займом и его возвратом одинаковое, но здравый

смысл и интуиция подсказывают, что финансовые последствия у этих двух ситуаций могут быть разными.

71

Чтобы сгладить различия финансовых последствий двух различных ситуаций, во всём мире при определении числа дней кредита по календарю первый день не учитывается, а последний учитывается. В РФ первый и последний день принимается за один день.

Во-вторых. Время учитывают тремя способами (временная база):

–вычисляется точное число дней, на которое выдан кредит, считая в году 360 дней (Бельгия, Испания, Франция, Швейцария, Югославия), обозначение ( d , 360);

–вычисляется точное число дней, на которое выдан кредит, считая в году 365 дней (Англия, Португалия, США, центральные банки большинства стран), обозначение (d, 365);

–в году считают 360 дней, в месяце – 30 дней (Германия, Дания, Швеция), обозначение (30, 360).

Последний способ самый древний, т.к. при отсутствии компьютеров

икалькуляторов с числами временной базы 30 и 360 вручную работать было удобнее всего.

Зададимся вопросом ещё раз: если заёмщик берёт в долг на один день, то во сколько раз дополнительно отдавать придётся меньше, чем за один год?

Платёж заёмщика за 1 день при временной базе (числе дней в году) (d, 360) или (30, 360) в 360 раз меньше, чем за 1 год, а при временной базе (d, 365) – в 365 раз меньше, чем за 1 год.

Для разных временных баз получим разные выражения:

Если заёмщик берёт в долг на два дня, то дополнительно отдавать придётся больше или меньше, чем за один день? Очевидно, больше. А во сколько раз? Здравый смысл подсказывает, что дополнительно отдавать придётся в два раза больше:

Для первой формулы временной базой может быть (d, 360) или (30, 360), для второй формулы – (d, 365).

72

В первой формуле для разных временных баз будет разной величина

d .

Запишем в виде сводной таблицы (табл. 3.1) все формулы, непосредственно вытекающие из определения процентной ставки:

Таблица 3.1

Если процентная ставка выражается десятичной дробью:

i 100p ,

то соответствующие формулы таблицы примут вид:

Процедуры наращения и дисконтирования

Рассмотрим полученные ранее формулы под другим углом зрения. Назовём капитал K капиталом начала периода и обозначим K0 . Назовём

капитал K I капиталом конца периода и обозначим Kn .

О. Наращение – нахождение неизвестного капитала конца периода Kn , по известному капиталу начала периода K0 :

73

Знак минус над параметром означает величину, которую ищем. Знак плюс над параметром означает заданную величину.

Независимо от данной формулы процентный платёж (доход) может находиться двумя способами.

Способ 1. Процентный платёж (доход) берётся (за n лет) на величину капитала начала периода:

( )

IK0 p n . 100

Тогда:

1)ищется капитал конца периода по заданному капиталу начала периода;

2)процентный платёж (доход) берётся на величину капитала начала периода.

Способ 2. Процентный платёж (доход) берётся (за n лет) на величину капитала конца периода (который пока неизвестен):

О. Наращение по простой учётной ставке:

1)ищется капитал конца периода по заданному капиталу начала периода;

2)процентный платёж (доход) берётся на величину капитала конца периода.

Аналогично можно получить формулы, когда в качестве интервала времени берутся месяцы или дни.

74

Запишем в виде сводной таблицы (табл. 3.2) формулы процедуры наращения для разных интервалов времени и разных способов задания процентного платежа (дохода).

О. Наращенная сумма – капитал Kn конца периода.

О. Множитель наращения – коэффициент, который показывает, во сколько раз наращенная сумма Kn больше первоначальной K0 .

З-е. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга на множитель наращения.

З-е. Множители наращения по простой процентной ставке для разных временных интервалов имеют вид:

75

З-е. С помощью дисконтирования чаще учитывается время, чем с помощью наращения, т.к. процентные ставки будущего неизвестны, а прошлого известны.

Можно повторить рассуждения, приведённые выше. А можно воспользоваться готовыми формулами полученной таблицы и найти неизвестную величину алгебраически. Например:

О. Дисконтирование по простой процентной ставке (математическое дисконтирование):

1)ищется капитал начала периода по заданному капиталу конца периода;

2)процентный платёж (доход) берётся на величину капитала начала периода.

О. Дисконтирование по простой учётной ставке (синонимы – банковский или коммерческий учёт):

1)ищется капитал начала периода по заданному капиталу конца периода;

2)процентный платёж (доход) берётся на величину капитала конца периода.

Запишем в виде сводной таблицы (табл. 3.3) формулы процедуры

дисконтирования для разных интервалов времени и разных способов задания процентного платежа (дохода).

Таблица 3.3

Дисконтирование

77

Окончание табл. 3.3

78

Окончание табл. 3.4

Решения задач будут представлены в виде последовательности простейших составных частей.

79

Чтобы плодотворно усвоить понятия и овладеть методами расчетов, каждую задачу рекомендуется решать сразу трижды:

первый раз – подсматривая в решение,

второй раз – самостоятельно и затем сравнить c решением,

третий раз – изменив стандартную величину процентной ставки 10 % на N % (где N – номер студента по журналу).

Обязательным является проведение вычислений на калькуляторе или компьютере. Нужно привыкать к работе с числами. Нужно пытаться угадывать приблизительно результаты вычислений, чтобы контролировать себя при работе с калькулятором или компьютером.

Задача 1. Вкладчик вложил в банк капитал 100 тыс. руб. под 10 % годовых на 3 месяца. Какой доход он получит ?

Задача 2. Вкладчик вложил в банк капитал 100 000 руб. на 90 дней под 10 % годовых (d, 360). Найти величину капитала, которая будет получена через 90 дней.

Задача 3. Вкладчик вложил в банк капитал 100 тыс. руб. с 1.01 по 1.04 под 10 % годовых (d, 360). Найти величину капитала на 1.04.

Задача 4. Вкладчик вложил в банк капитал 100 тыс. руб. с 1.01 по 11.11 под 10 % годовых. Какой доход он получит при использовании разной временной базы ?

80