Солоп С.А. Математическое моделирование систем и процессов. 2017

при T 4,2 K

О1 гелий – газ С2

при T 4,2 K

О2 гелий – жидкость классическая С3

при T 2,18 K T 2,18 K

О3 гелий – смесь двух жидкостей (классической и сверхтекучей компоненты)

С4

при T 2,18 K

О4 гелий – сверхтекучая компонента придает свойства (проводит тепло без

сопротивления тепловому потоку и вязкость равна нулю).

25 Соответствие скорости и траектории: С1

при v vкр

О1 траектория баллистическая С2

при v=vкр

О2 траектория круговая С3

при vкр < v <2 vкр

О3 траектория эллиптическая С4

при v >2 vкр

О4 траектория параболическая О5 траектория спиральная.

26 Закон сохранения массы в механике сплошной среды: - M const для любого индивидуального объема;

-dMdt 0 для любого индивидуального объема;

-M const ;

-M 0.

61

-dydt k y ;

-dydt k ;

62

- lim y k y .

t 0 t

30 Пусть t – разность температур тела и окружающей среды. Тогда (модель охлаждения или нагревания тела в окружающей среде):

- lim k ;

t 0 t

- lim k ;

t 0 t

- d k ; dt

- d k ; dt

- lim k .

t 0 t

31 Пусть T h – температура тела на высоте h , p h – давление, h –

плотность. Тогда (модель зависимости атмосферного давления от высоты над поверхностью Земли):

63

33 В теоретической механике при изучении движения принимают во внимание … и … движущейся материи.

34 В термодинамике рассматривают явления, обусловленные совокупным действием … … непрерывно и беспорядочно механически движущихся частиц, больших размера молекул.

35 Материальная точка – идеализированный объект, характеризуемый в пространстве … , … .

36 Абсолютно твердое тело – идеализированный объект, характеризуемый в пространстве … , … , … .

37 Фаза – есть физически … тело; часть большей системы, отделенной от других частей системы … …, на которой скачком меняются свойства тела и соответствующие параметры.

64

3.2 Моделирование финансов – потоки платежей

Количественный анализ финансовых операций – одно из направлений финансовой науки.

Финансовая математика – часть количественного анализа финансовых операций.

Финансовая математика – методы вычислений, необходимость в которых возникает тогда, когда в условиях контракта или финансовобанковской операции указываются три вида параметров:

1)стоимостные (платежи, обязательства, кредиты и т.д.);

2)временные (даты выплат, продолжительность платежей и т.д.);

3)процентные ставки.

Предмет финансовой математики – изучение функциональных зависимостей между тремя видами параметров, разработка на их основе методов решения финансовых задач.

Финансовая математика имеет практическое назначение. С ее помощью решаются задачи любой финансово-банковской операции или коммерческой сделки.

Финансовая операция предполагает согласованность её участниками условий: суммы займа (кредита, инвестиции), цены товара, сроков, способов начисления процентов, способов погашения основного долга и т.д.

Множественность факторов приводит к тому, что их совместный результат неочевиден. Необходим количественный анализ – методы финансовой математики.

Количественный финансовый анализ сформировался на стыке финансовой науки и математики. Он нацелен на решение широкого круга задач – от элементарного начисления процентов до анализа сложных инвестиционных, кредитных и коммерческих проблем в различных постановках, зависящих от конкретных условий. К ним можно отнести:

-измерение конечных финансовых результатов операции для каждой из участвующих в ней сторон;

-выявление зависимости конечных результатов от основных параметров операции или сделки, измерение взаимосвязи этих параметров, определение их допустимых граничных значений;

-разработку планов, в том числе оптимальных, выполнения финансовых операций;

-нахождение параметров эквивалентного (безубыточного) изменения условий сделки и т.д.

В финансовых операциях суммы денег связываются с конкретными моментами или периодами времени. В контрактах указываются: сроки, даты, периодичность выплат.

Фактор времени играет иногда даже большую роль, чем размеры денежных сумм.

65

Сущность кредитования выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, даже не принимая во внимание инфляцию и риск неполучения.

Неравноценность одинаковых по абсолютной величине сумм связана с тем, что имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем.

Влияние времени многократно усиливается в период инфляции.

Из принципа временной неравноценности денег вытекает неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени.

Суммирование возможно тогда, когда время не имеет значения. Например, в бухгалтерском учете в отчётных периодах.

Учет времени осуществляется с помощью начисления процентов или дисконтирования.

Методы начисления процентов

Проценты (сленг) – абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг.

Проценты появляются при: выдаче ссуды, продаже товара в кредит, вкладе денег на депозитный счет, учёте векселя, покупке облигации и т.д.

Практика получения процентов за выданные в долг деньги существовала до нашей эры. В Древней Греции сумма долга в год доходила до 30 %, в Древнем Риме – до 100 % и выше, аналогично в Китае.

При заключении соглашения (финансового или кредитного) стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки.

Процентная ставка – относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Процентная ставка – отношение дохода к сумме долга за единицу времени.

Процентная ставка измеряется: в процентах, в виде десятичной дроби, в виде натуральной дроби, в виде натуральной дроби измеряется с точностью до 1/16 или 1/32.

Период начисления – временной интервал, к которому приурочена процентная ставка.

Период начисления: год, полугодие, квартал, месяц, день.

Проценты выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация процентов).

Наращение (рост) – увеличение суммы денег при присоединении процентов.

Процентная ставка применяется как:

-инструмент наращения суммы долга,

-измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой, кредитной или коммерческой деятельности.

66

Способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов, обусловливают разные виды процентных ставок.

Для начисления процентов используется постоянная или последовательно изменяющаяся база.

При постоянной базе процентные ставки простые, при переменной – сложные.

Существует два принципа расчёта процентов:

-наращение на сумму долга;

-скидка с конечной суммы задолженности. Соответствующие ставки называются:

-ставки наращения;

-учетные ставки.

Проценты, полученные по ставке наращения, называют декурсивными, по учетной ставке – антисипативными.

Процентные ставки делятся на:

-фиксированные;

-плавающие. В этом случае фиксируется не ставка, а изменяющаяся во времени базовая ставка и размер надбавки к ней (маржи).

Базовой ставкой может служить:

-лондонская межбанковская ставка ЛИБОР;

-ставки по рублевым кредитам МИБОР;

-ставка рефинансирования ЦБ РФ и др.

Маржа зависит: от экономического положения заемщика, срока кредита, конъюнктуры рынка и т.д.

На протяжении срока ссудной операции маржа может быть постоянной или переменной.

Впрактических расчетах интервал времени рассматривается как дискретная переменная (год, 9 месяцев, полугодие, квартал, месяц, декада, неделя, день и др.).

Вфинансовых расчетах процессов, которые можно рассматривать теоретически как непрерывные, возникает необходимость в использовании непрерывных процентов.

67

Каждый день во всех странах на Земле заключаются миллионы сделок, контрактов, договоров, соглашений и т.п. Они заключаются в разное время, на разный срок, разной величины, в разных условиях.

Наиболее важная задача – научиться сравнивать их между собой с точки зрения финансовых последствий.

Если задать знакомому человеку вопрос: «Какой твой рост, какой твой вес?», то мы услышим, например, 180, 75.

Он не будет указывать размерности, потому что мы его понимаем. Рост выражен в сантиметрах, вес – в килограммах.

Конечно, двух показателей для описания человека мало. Поэтому можно добавить данные паспорта или биометрические. Если нужно расширять описание, то можно использовать результаты тестирования личности и многое другое.

Человек – сложный объект описания и изучения, поэтому в зависимости от целей используются множество параметров, сравнивая которые мы можем сравнивать разных людей.

Для целей финансовой математики нам достаточно две масштабные величины (время и деньги) поместить в один показатель, который в своём определении будет одновременно их содержать.

Таким показателем является процентная ставка.

p – процентная ставка – число денежных единиц, вы-

плачиваемых заёмщиком за пользование в течение года 100 ед. капитала.

Все формулы, содержащие проценты, вытекают из определения процентной ставки p .

В определении процентной ставки p содержится информация о двух масштабных единицах: времени (один год) и деньгах (100 денежных единиц капитала).

Переход от масштабных единиц времени и денег к произвольным величинам времени и денег основан на принципе пропорциональности.

68

Взяв у кредитора 100 ед. капитала, заемщик через год возвращает ему 100 ед. капитала и дополнительно выплачивает кредитору p ед. за

пользование в течение года 100 ед. капитала.

Схематично эти рассуждения можно представить в виде:

100 1 год 100 p .

А если взять у кредитора 200 ед. капитала? Здравый смысл подсказывает, что через год нужно возвратить 200 ед. капитала и дополнительно выплатить кредитору 2 p ед. за пользование в течение года 200 ед. капита-

ла.

Схематично эти рассуждения можно представить в виде:

200 1 год 200 2 p .

То есть заёмщик дополнительно выплачивает кредитору в два раза больше, чем за 100 ед. долга.

А если взять у кредитора 50 ед. капитала? Уже очевидно, что в этом случае дополнительно придётся заплатить в два раза меньше, чем за долг

100 ед.

Таким образом, если заёмщик берёт в долг больше, чем 100 ед., то он платит дополнительно пропорционально больше. А если берёт меньше, то платит дополнительно пропорционально меньше.

В этих простых рассуждениях и состоит принцип пропорционально-

сти.

Поэтому, если заёмщик берёт в долг K ед. капитала, то он выплачивает кредитору I ед. долга (пропорционально больше – меньше).

Схематично это можно представить в виде:

K 1 год K I .

Теперь получим важнейшее следствие из принципа пропорциональности. Рассмотрим схемы:

Видим, что они равны: 100200 2pp .

69

Сравним теперь другие отношения (пропорции): 100K и Ip .

По принципу пропорциональности они должны быть равны:

100K Ip .

Из трёх параметров K, I , p наибольший интерес представляет параметр I , т.к. два других K и p задаются.

Если в предыдущем равенстве поменять местами левую и правую части и умножить левую и правую части на p , то получим основную фор-

мулу финансовой математики, вокруг которой каждый день вращаются триллионы долларов:

Теперь совершим преобразование, которое не изменяет формулу, но позволяет явно отделить время от денег: I 100Kp 1.

Таким образом, заёмщик за капитал K , взятый на 1 год при процентной ставке p (говорят – при p процентах годовых), должен заплатить

кредитору дополнительно I денежных единиц:

I 100Kp 1.

Воспользуемся теперь формулой с явно выделенным временем, чтобы получить множество других формул.

Если заёмщик пользуется K ед. капитала, то через 1 год дополнительно отдает кредитору I денежных единиц.

Если заёмщик берёт в долг на два года, то дополнительно отдавать придётся больше или меньше? Очевидно, больше. А во сколько раз? Здравый смысл подсказывает, что дополнительно отдавать придётся в два раза больше:

I 100Kp 2 .

Если заёмщик берёт в долг на n лет, то дополнительно отдавать придётся в n раз больше:

70