Солоп С.А. Математическое моделирование систем и процессов. 2017

участки пути – направленные коммуникации, длина cij

коммуникации

Ai Aj

может не совпадать с длиной c ji коммуникации Aj

Ai ;

Модель транспортной задачи – найти числа xij

i, j 0,1,..., n, n 1 ,

n 1 n 1

на

которых

достигается

минимум

cij xij

(1)

при

условиях

j 0 i 0

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

xij

xji 0,

i 1,..., n

(2),

x0 j x j 0

1 (3),

xn 1, j

xj,n 1 1 (4),

j 0

j 0

j 0

j 0

j 0

j 0

0 xij 1,

i, j 0, ...,n ,n 1

(5), называется моделью о пути кратчайшем.

Задача 17. Пусть tij – время, необходимое на перевозку продукта из

i -го пункта производства в j -й пункт потребления;

ai i 1,..., m – количе-

ство единиц продукта, производимого в пунктах

Ai

для удовлетворения

спроса в пунктах потребления Bj

j 1,..., n . Модель транспортной за-

дачи – выбрать план перевозок

X

(набор чисел xij i 1,..., m, j 1,..., n ),

для

которого

t X max tij

(1)

достигает минимума

при

условиях

xij 0

n

m

xij

ai

i 1,..., m (2),

xij

bj

j 1,..., n (3),

xij

0 , i

1,...,m , j 1,...,n

j 1

i 1

Задача 18. Пусть в j -м пункте потребления Bj спрос возрос на

j ,

для чего необходимо увеличить производство в некоторых пунктах

Ai

и ввести дополнительные перевозки;

pi 0 – затраты на дополнитель-

ное производство единицы продукта в i -м пункте; yi –

величина до-

полнительного производства в i -м пункте; fi

– ограничение по возмож-

ностям расширения производства в i -м пункте;

yij

– дополнительное коли-

чество единиц продукта, перевозимое из i -м пункта в

j -й; xij

– перевозка в

направлении

i,

j ; dij

xij dij

– ограничение

пропускной

способности

транспорта

dij

по

линии

i,

j .

Модель

–

найти минимум

L yi , yij

m

m n

m

pi

yi cij

yij (1) при условиях: yij

j

– дополнительный

i 1

i 1 j 1

i 1

n

спрос в

j -м пункте j 1,..., n

(2),

yij

yi – дополнительное производ-

j 1

ство в i -м пункте i 1,..., m (3), yi

fi

– ограничение по возможностям

расширения производства в i -м пункте i 1,..., m , 0 yi dij

– ограниче-

Задача 19.

Пусть в пункте

Ai

i 1,..., m количество добываемого

топлива i -го сорта равно ai

(тонн), bj

– спрос на топливо j -го пункта по-

требления Bj

j 1,..., n ; cij

– затраты на перевозку 1 т топлива i -го сорта к

j -му пункту;

xij

– количество топлива i -го сорта, поставляемое

j -му по-

требителю; ij –

коэффициент приведения

i -го сорта относительно j -го

потребителя.

Модель

транспортной задачи –

минимизировать суммарные

n

m

транспортные

издержки

cij xij

(1)

при

условиях

j 1

i 1

m

ij xij

bj j 1,..., n (2) (объём доставленного в каждый пункт потреб-

i 1

ления

топлива

в приведенных

единицах должен

равняться спросу

n

этого пункта); xij bi i 1,..., m

(3) (общий объём топлива, направля-

Задача 20.

Пусть в пункте

Ai

i 1,..., m количество добываемого

топлива i -го сорта равно ai

(тонн),

bj

– спрос на топливо j -го пункта по-

требления Bj

j 1,..., n ; cij

– затраты на перевозку 1 т топлива i -го сорта к

j -му пункту;

xij

– количество топлива i -го сорта, поставляемое j -му по-

требителю; ij

–

коэффициент приведения i -го сорта относительно j -го

потребителя.

n m

m

n

держки

cij xij

(1) при условиях ij xij bj

j 1,..., n

(2);

xij bi

j 1 i 1

i 1

j 1

i 1,..., m

(3); xij

xij xij

i 1,..., m; j 1,..., n (4) – называется распредели-

тельной задачей с ограничениями двусторонними.

Задача 21. Пусть cij

– себестоимость производства единицы i -го из-

делия на

j -м предприятии (не зависит от объема производства);

xij число

единиц i -го изделия, которое должно быть произведено на

j -м предприя-

n m

всех изделий cij xij (1); общий объем производства по каждому из-

j 1 i 1

n

делию должен соответствовать плановому заданию xij ai

i 1,..., m

n

линии не менее ai

пассажиров в месяц:

aij xij ai i 1,..., m (2); общее

j 1

m

число самолётов,

подлежащих распределению: xij bj j 1,..., n (3);

i 1,..., m; j 1,..., n (4).

i 1

xij 0

Модель – минимизировать (1) при условиях (2)–(4) – называется

распределением самолётов между авиалиниями.

Задача 23. Пусть xij – число вагонов j -го типа, заряженных под i -й

груз;

aij – нормы нагрузки одного вагона

j -го типа i -м грузом; ai – объем

тационные расходы на погрузку i -го груза в один вагон

j -го типа; сум-

n m

марные затраты на погрузку cij xij (1); весь зарождающийся грузопо-

j 1 i 1

n

ток по каждому виду груза должен быть освоен: aij xij ai

i 1,..., m

j 1

(2);

погрузка вагонов

каждого типа ограничивается

их

наличием:

m

xij

bj j 1,..., n (3); xij

0 i 1,..., m; j 1,..., n (4).

n

m

ные затраты на производство заданного количества энергии cij xij (1);

j 1

i 1

n

новкой aij xij

ai i 1,..., m (2);

ограничения по добыче или по запа-

j 1

m

сам разных

энергетических

ресурсов xij bj

j I (3);

xij 0

n

одного гектара; общая посевная площадь i -го фермера xij ai

i 1,..., m

j 1

(1); ожидаемый урожай

j -й культуры со всей посевной площади района

m

z1

z2

zn

z j aij xij j 1,..., n (2);

система ограничений

...

(3); xij 0

b1

b2

bn

i 1

i 1,..., m; j 1,..., n (4).

пользуемое для изготовления бензина

Ai ; объем производства бензина Ai

n

равен xij

; суммарные затраты на производство бензина всех m сор-

j 1

m

n

m

тов

ci xij (1); ограничения по запасам нефтепродуктов xij bj

i 1

j 1

i 1

j 1,..., n

(2); технические

условия

для каждого сорта бензина

n

xij

bjk

aik i 1,..., m; k 1,..., s

(3); xij 0

i 1,..., m; j 1,..., n (4).

n

j 1

xij

j 1

Модель – минимизировать (1) при условиях (2)–(4) – называется

задачей о смеси.

Тесты

1

Модель задачи

линейного программирования

–

найти

значения

xj

(j 1, 2, ..., n) , которые при заданных постоянных величинах

aij , bi , cj удо-

a11x1 a12 x2 ... a1 j x j

... a1n xn

b1

влетворяют системе ограничений ................................

a

x a

x ... a x

j

... a x

b

m1 1

m2 2

mj

mn n

m

и доставляют линейной функции L(x) c1x1 ... cn xn

максимум:

- xj 0 (j 1, 2, ..., n)

;

2

Модель

задачи линейного программирования –

найти значения

xj

(j 1, 2, ..., n) , которые при заданных постоянных величинах

aij , bi , cj

удо-

a11x1 a12 x2 ... a1 j x j

... a1n xn b1

влетворяют

системе ограничений

................................

a

x a

x ... a

mj

x

j

... a x

b

m1 1

m2 2

mn n

m

значения

X (x1, x2 ,..., xn ) ,

которые

при

заданных

постоянных величинах

aij , bi , C (c1, c2 ,..., cn ) удовлетворяют системе ограничений

a

a

a

b

A x A x ... A x

B , A

11

, A

12

, ..., A

1n

, B

1

1 1 2 2

n n

1

2

n

am1

am2

amn

bm

и доставляют линейной функции L(x) c1x1 ... cn xn

CX максимум:

значения

X (x1, x2 ,..., xn ) ,

которые

при

заданных

постоянных величинах

aij , bi , C (c1, c2 ,..., cn ) удовлетворяют системе ограничений

a

a

a

b

A x A x ... A x

B , A

11

, A

12

, ..., A

1n

, B

1

1 1 2 2

n n

1

2

n

am1

am2

amn

bm

и доставляют линейной функции L(x) c1x1 ... cn xn

CX минимум:

x1

значения X

...

, которые при заданных постоянных величинах

a , b ,

i j

i

xn

b

C (c1, c2 ,..., cn )

удовлетворяют системе ограничений AX B ,

1

A aij , B

bm

x1

значения X

...

, которые при заданных постоянных величинах

a , b ,

i j

i

xn

b

C (c1, c2 ,..., cn )

удовлетворяют системе ограничений AX B ,

1

A aij , B

bm

110

50+b

90

150

5

7

1

130+а

8

2

4

j = 1

j = 2

j = 3

i = 1

25

15

15

i = 2

28

20

13

i = 3

30

14

10

Поставщики

Потребители

Запасы, т

B1

B2

B3

C11 = 25

C12 = 15

C13 =15

A1

x

x

x

a1

= 150

11

12

13

C21 = 28

C22 = 20

C23 = 13

A2

x

x

x

a2

= 110

21

22

23

C31 = 30

C32 = 14

C33 = 10

A3

x

x

x

a3

= 170

31

32

32

Потребности,

т

b1 = 120

b2 = 180

b3 = 130

430 = 430