Солоп С.А. Математическое моделирование систем и процессов. 2017

L x – функция цели.

L x и система ограничений – математическая модель задачи.

Необходимость в специальных методах исследования линейной функции при линейных ограничениях

Традиционный путь исследования функции нескольких переменных L x на экстремум состоит в нахождении:

- частных производных:

L C j 1,2,..., n ;

x j j

- внутри области, образованной системой ограничений, точек экстремума (необходимым условием поиска которых является обращение частных производных в этих точках в ноль):

экстремальные точки не существуют они могут быть только на границе области.

Исследовать поведение L x на границе традиционно с помощью

производных невозможно, так как частные производные являются константами.

Переход от неравенств к уравнениям

Так как решение систем линейных неравенств вызывает большие трудности, то от неравенств переходят к равенствам и решают систему линейных уравнений.

Если дано неравенство

a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,

то для приведения неравенства к равенству необходимо к его левой части прибавить некоторую неотрицательную величину

xn 1 0 .

151

В результате неравенство переходит в равенство, содержащее n 1 неизвестных:

a11x1 a12 x2 ... a1n xn xn 1 b1 ,

где xn 1 – дополнительная переменная.

Если дано неравенство

a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,

то для приведения неравенства к равенству необходимо от его левой части отнять некоторую неотрицательную величину

xn 1 0 .

В результате неравенство переходит в равенство, содержащее n 1 неизвестных:

a11x1 a12 x2 ... a1n xn xn 1 b1 .

Если система ограничений задачи линейного программирования содержит неравенства, то, вводя в каждое из них свою неотрицательную дополнительную переменную, её можно преобразовать в систему уравнений.

В линейную функцию L x каждая дополнительная переменная войдёт с коэффициентом, равным нулю.

Выводы:

-систему ограничений любой задачи линейного программирования можно привести к системе m линейных уравнений с n неизвестными;

-значения переменных xj j 1,2,...,n , при которых линейная

функция достигает минимального или максимального значения находится среди множества решений этой системы.

Формулировка общей задачи линейного программирования

Найти неотрицательные значения

xj 0 j 1,2,..., n ,

которые при заданных постоянных величинах aij , bi , C j удовлетворяют системе ограничений:

152

дого пункта потребления продуктами из разных пунктов произво д-

Модель замкнутой транспортной задачи – минимизировать суммарные транспортные издержки (1) при условиях (2)–(4) – разре-

Задача 3. Пусть имеется т пунктов производства A1,..., Am однородного продукта и п пунктов потребления B1,..., Bn ; заданы объемы производства ai каждого пункта производства и размеры спроса bj каждого пункта потребления; xij – количество единиц продукта, поставленное из пункта Ai в пункт Bj ; известны транспортные издержки на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребл е-

го пункта потребления продуктами из разных пунктов производства

Модель транспортной задачи – минимизировать суммарные транспортные издержки (1) при условиях (2)–(4) – называется открытой.

Задача 4. Пусть имеется т пунктов производства A1,..., Am однородного продукта и п пунктов потребления B1,..., Bn ; заданы объемы производства ai каждого пункта производства и размеры спроса bj каждого пункта потребления; xij – количество единиц продукта, поставленное из пункта Ai в пункт Bj ; известны транспортные издержки на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребл е-

го пункта потребления продуктами из разных пунктов производства

154

марные транспортные издержки (1) при условиях (2)–(4), если ввести

той.

Задача 5. Пусть суммарный объем производства меньше суммарного объема потребления, но наиболее важные пункты потребления удовлетворялись, возможно, полнее; транспортные издержки на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты п о-

ницах), возникающего в результате неудовлетворения запросов пун к- тов Bj на одну единицу продукта, y j – разность между потребностя-

условия частичного удовлетворения спроса каждого пункта потреб-

Модель транспортной задачи – минимизировать суммарные транспортные издержки (1) при условиях (2)–(5), если ввести фик-

портной задачи замкнутой.

Задача 6. Пусть имеется т пунктов производства A1,..., Am однородного продукта и п пунктов потребления B1,..., Bn ; заданы объемы производства ai каждого пункта производства и размеры спроса bj каждого

155

пункта потребления; xij – количество единиц продукта, поставленное из пункта Ai в пункт Bj ; известны транспортные издержки на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребл е-

го пункта потребления продуктами из разных пунктов производства

ния в пункты производства и предельное число dij единиц продукта,

транспортные издержки (1) при условиях (2)–(5) – называется транспортной задачей с пропускными способностями ограниченными.

Задача 7. Пусть имеется т пунктов производства однородного продукта и п пунктов потребления B1,..., Bn ; заданы объемы производства ai каждого пункта производства и размеры спроса bj каждого пункта потребления; xij – количество единиц продукта, поставленное из пункта Ai в пункт Bj ; известны транспортные издержки на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребл е-

го пункта потребления продуктами из разных пунктов производства

пункте производства, должен быть вывезен в пункты потребления:

ния в пункты производства и предельное число dij единиц продукта,

Модель транспортной задачи – минимизировать суммарные транспортные издержки (1) при условиях (2)–(4) – называется транспортной задачей с пропускными способностями ограниченными.

156

Задача 8. Пусть j -й исполнитель затрачивает на i -ю работу tij рабочих часов; xij – число, равное единице, если j -й исполнитель назначен на i -ю работу, и нулю, если для i -й работы выбран другой исполнитель; сум-

n n

марное время, затраченное на выполнение всех работ: tij xij (1); усло-

i 1 j 1

вия, гарантирующие прикрепление исполнителя к каждой работе:

Модель задачи – минимизировать (1) при условиях (2)–(4) называется задачей выбора.

Задача 9. Пусть для поражения n намеченных целей выделено n огневых единиц, каждая из которых может обстреливать только одну цель; xij – параметры управления, равные 1, если i -е средство назначается на j -

пунктов производства, которые могут снабжать пункт потребления Bj ; E –

157

xij 0 i, j E, xij 0 i, j E (4), называется транспортной моделью с

требляемые в Bj ( j 1,..., n) , разделяются на такие l j групп, что внутри каждой группы существует полная взаимозаменяемость составляющих; -я группа пункта Bj состоит из продуктов C при S j ; для каждой группы взаимозаменяемых продуктов определена система коэффициентов k j ,

позволяющих приводить её составляющие к единому эквиваленту; количество x эквивалентного продукта -й группы пункта Bj рассчитывается по

( j 1,..., n 1,...,l j ); заданы транспортные расходы cij на перевозку единицы -го продукта из Ai в Bj .

Модель транспортной задачи – составление плана перевозок, который удовлетворяет потребности всех пунктов Bj по каждой группе

взаимозаменяемых продуктов за счет возможностей пунктов Ai при мини-

мальных транспортных затратах, называется транспортной моделью перевозок продукта неоднородного.

Задача 12. Пусть для обеспечения перевозок могут быть использованы s автохозяйств, в каждом из которых r типов автомашин; они могут доставлять любой из m грузов каждому из n потребителей; известно рас-

158

ной моделью перевозки неоднородного продукта на транспорте ра з- нородном.

Задача 13. Пусть имеется т пунктов производства однородного продукта и п пунктов потребления B1,..., Bn ; заданы объемы производства ai каждого пункта производства и размеры спроса bj каждого пункта потребления; xij – количество единиц продукта, поставленное из пункта Ai в пункт Bj ; известны транспортные издержки на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребл е-

го пункта потребления продуктами из разных пунктов производства

Модель транспортной задачи – минимизировать суммарные транспортные издержки (1) при условиях (2)–(5) – называется моделью транспортной задачи перевозок с резервированием.

Задача 14. Пусть имеется т пунктов производства однородного продукта и п пунктов потребления B1,..., Bn ; заданы объемы производства ai каждого пункта производства и размеры спроса bj каждого пункта потребления; xij – количество единиц продукта, поставленное из пункта Ai в пункт Bj ; известны транспортные издержки на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребл е-

159

го пункта потребления продуктами из разных пунктов производства

пункте производства, должен быть вывезен в пункты потребления:

ны железной дорогой с k -й станцией (k 1,..., s) , а пропускная способность k -й станции ограничена величиной dk ; ограничение пропускных способностей станций, соединенных с группами пунктов прои з-

Модель транспортной задачи – минимизировать суммарные транспортные издержки (1) при условиях (2)–(5) – называется моделью транспортной задачи перевозок с резервированием.

Задача 15. Пусть имеется система станций A0 , A1,..., An , An 1 , соединен-

ных между собой коммуникациями с заданной пропускной способностью dij (максимальным числом единиц продукта, которое может быть достав-

средственно не соединены между собой, то cij ; поставим в соответствие каждой паре пунктов Ai и Aj числа xij , равные 1, если участок Ai Aj

принадлежит выбранному пути, по которому предполагается двигаться со станции A0 на станцию An 1 , и нулю в противном случае; все

160