Добавил:

Parenek777 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ростовский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

Математическое моделирование систем и процессов

Файл:

Солоп С.А. Математическое моделирование систем и процессов. 2017

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2026

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

22 При описании вращательного движения материального объекта задаются постоянное угловое ускорение и начальная угловая скорость. Общее решение модели, описывающей угловую скорость, имеет вид…

-v t w0 t v0 ;

-x t v0 t x0 ;

-t 0 t 0 ;

-t 0 t 0 .

23 Общее решение модели поступательного движения материальной точки под действием силы тяжести имеет вид …

- x t C C t		gt2	;
- x t C C t			;
1	2	2
		2

-x t C1 C2t ;

-x t C1 C2e mt ;

-x t C1 cos m t C2 sin m t .

24 Общее решение модели поступательного движения материальной точки под действием силы сопротивления среды, пропорциональной скорости, имеет вид …

- x t C C t		gt2	;
- x t C C t			;
1	2	2
		2

-x t C1 C2t ;

-x t C1 C2e mt ;

-x t C1 cos m t C2 sin m t .

25 Общее решение модели поступательного движения материальной точки под действием силы сопротивления среды, пропорциональной перемещению, имеет вид …

- x t C C t		gt2	;
- x t C C t			;
1	2	2
		2

-x t C1 C2t ;

-x t C1 C2e mt ;

-x t C1 cos m t C2 sin m t .

141

26 Общее решение модели поступательного движения материальной точки при отсутствии внешних сил имеет вид …

- x t C C t		gt2	;
- x t C C t			;
1	2	2
		2

-x t C1 C2t ;

-x t C1 C2e mt ;

-x t C1 cos m t C2 sin m t .

27 Решение модели поступательного движения материальной точки под действием силы тяжести при заданных начальном положении и начальной скорости имеет вид …

- x t x v t					gt2		;
- x t x v t							;
0	0					2
- x t x0 v0t ;						2
- x t x0 v0t ;
		e
- x t x v				t
- x t x v			m	t		;
0	0

- x t x0 cos m t v0 sin m t .

28 Решение модели поступательного движения материальной точки под действием силы сопротивления среды, пропорциональной скорости, при заданных начальном положении и начальной скорости имеет вид …

-	x t x v t					gt2		;
-	x t x v t							;
	0	0					2
- x t x0 v0t ;							2
- x t x0 v0t ;
			e
	x t x v				t
-	x t x v			m	t		;
	0	0

- x t x0 cos m t v0 sin m t .

29 Решение модели поступательного движения материальной точки под действием силы сопротивления среды, пропорциональной перемещению, при заданных начальном положении и начальной скорости имеет вид …

-	x t x v t					gt2		;
-	x t x v t							;
	0	0					2
- x t x0 v0t ;							2
- x t x0 v0t ;
			e
	x t x v				t
-	x t x v			m	t		;
	0	0

142

- x t x0 cos m t v0 sin m t .

30 Решение модели поступательного движения материальной точки при отсутствии внешних сил при заданных начальном положении и начальной скорости имеет вид …

- x t x v t					gt2		;
- x t x v t							;
0	0					2
- x t x0 v0t ;						2
- x t x0 v0t ;
		e
- x t x v				t
- x t x v			m	t		;
0	0

- x t x0 cos m t v0 sin m t .

31 Процесс … движения материальной точки массой m со скоростью v под действием внешней силы F описывается в пространстве моделью:

dtd mv F .

32 Процесс … движения материальной точки … … m со скоростью v под действием внешней силы F описывается в пространстве моделью:

m ddtv F .

33 Процесс изменения количества … движения m v материальной точки описывается в пространстве моделью:

d m v Fdt .

34 Процесс изменения момента количества движения r m v материальной точки … массы описывается в пространстве моделью:

		d
	m		r v r F	.
		dt

35 Процесс	… движения		системы материальных точек массой
mj j 1,...,n					je и внутрен-
	со скоростью v j под действием внешних F

них Fji сил описывается в пространстве моделью:

143

		d	mj v j F
				je F	ji .

		dt
36 Процесс	… движения системы материальных точек						… массы
mj j 1,...,n						je
	со скоростью v j под действием внешних F						и внутрен-

них Fji сил описывается в пространстве моделью:

mj dv j Fje Fji .

37 Процесс изменения количества … движения Q mj v j системы

материальных точек … массы описывается в пространстве моделью:

Q Q0 Fjedt .

j t0

38 Процесс изменения кинетического момента относительно точки O GO rj mj v j системы материальных точек … массы описывается в

пространстве моделью:

mj w j rj Fje .

39 Модель … движения материальной точки под действием силы тяжести и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости, имеет вид:

m x mg x .

40 Модель … движения материальной точки под действием силы тяжести, силы сопротивления среды, пропорциональной скорости, и силы сопротивления среды, пропорциональной перемещению, имеет вид:

m x mg x x .

144

4.2 Модели математического программирования

n-мерное евклидово пространство

n -мерное евклидово пространство можно получить, обобщая аналитическую геометрию пространства трёх измерений и перенося её основные выводы со случая трёх координат на произвольное n .

В1746 г. мысль о многомерном пространстве выражал И. Кант.

В1764 г. о присоединении к пространству в качестве 4-й координаты – времени – писал Даламбер.

n -мерное евклидово пространство как плодотворное формальноматематическое понятие укрепилось в математике. Постепенно обобщения на случай n измерений было проведено для пространств Лобачевского, Римана, аффинного, проективного.

Дальнейшее развитие связано с рассмотрением: 1 Бесконечномерных пространств.

2 Пространств, «точками» которых могли быть не только упорядоченные множества чисел, но и множества функций, операций и т.д.

Внастоящее время при рассмотрении n -мерного евклидова пространства предпочитают исходить из понятия векторного пространства.

Во многих случаях потребуется упорядоченное множество n действительных чисел.

Всякий вектор a , расположенный на числовой оси, определяется одним действительным числом ax – своей координатой (разностью ко-

ординат конца и начала вектора).

Прямая – одномерное векторное пространство E1 .

Всякий вектор a , расположенный на плоскости с заданной системой координат, определяется упорядоченной парой действительных чи-

сел (координат, синоним – компонент) ax , ay . Плоскость – двумерное векторное пространство E2 .

Всякий вектор a , расположенный в пространстве с заданной системой координат, определяется упорядоченной тройкой действитель-

ных чисел (координат, синоним – компонент) ax , ay , az .

	Пространство – трёхмерное векторное пространство E3 .
З-е.	Для координат используются также обозначения a1, a2 ,a3 .
О.	n -м е р н о е л и н е й н о е в е к т о р н о е п р о с т р а н с т в о En

– совокупность всевозможных упорядоченных множеств из n действительных чисел, на которых введены операции умножения на действительное число и сложения (аналогично пространству E3 ).

145

Эти операции наделяют свойствами операций над векторами пространства E3 .

О.

n -м е р н ы й в е к т о р

a a1,a2 ,..., an –

упорядоченное множе-

ство из n действительных чисел.

Числа a1,a2 ,...,an –

компоненты вектора a .

З-е.

n -мерный вектор

– матрица-строка. Ана-

a1,a2 ,...,an a j a

логично вводится матрица-столбец:

ai a .

...

О.

У м н о ж е н и е

вектора

н а ч и с л о

– вектор c такой, что

c a a1, a2 ,..., an .

О.

С у м м а

векторов

a и b – вектор c , такой, что:

c a

a1 a2

... an b1 b2 ... bn

b1, a2 b2 , ... , an bn .

В En :

Через любую точку можно провести не более n взаимно пер-

пендикулярных прямых.

Можно ввести прямоугольные координаты x1 , x2 ,..., xn .

Нужно постулировать формулу «расстояния» между «точка-

ми»

пространства

x1 , x2 ,..., xn

и Y y1 ,

y2 ,..., yn :

x y 2 x

y 2 ...

y 2 .

В En

векторное исчисление строится так же, как в E3 .

Например, скалярное произведение:

a b a b cos aibi .

i 1

146

З-е. Векторное произведение при n 3 не может быть определено.

О.	Л и н е й н о н е з а в и с и м ы е	в	En	векторы	– векторы
	a1 , a2 ,..., an , такие, что:
	1 a1 2 a2 ... n an 0		1 2	... n 0 .
О.	Л и н е й н о з а в и с и м ы е в En векторы – векторы a1 , a2 ,..., an ,
	такие, что:
	1 a1 2 a2 ... n an 0		хотя бы один i		0 .

В En линейно независимыми являются, например, векторы:

	1			0			0
	0			1			0
e	0	,	e	1	, ...,	e	0	.
1			2			n
1			2			n

	0			0			1

П.1. Покажем, что в пространстве E2 линейно независимы векторы:

e1	1		e2		0
e1		,	e2	.
	0				1

По определению линейной независимости:

1e1 2 e2		1		0	0			0		0
1e1 2 e2	1		2				1	0		0
		0		1	0	0		2	0

1	0	1		0	1 0, 2 0.
	2		2		1 0, 2 0.
0	2		2	0

П.2. Покажем, что в пространстве E3 линейно зависимы векторы:

e1	1		e2	0		e3	1
e1		,	e2		,	e3	.
	0			1			1

По определению линейной зависимости:

147

									1					0		1	0
	1e1 2 e2 3e3 1									2			3
									0					1		1	0
	1	0		3				1 3							0	1	3		0	.
																			0	.
			2		3				2			3						3	0
	0		2		3				2			3			0	2		3
Если положить 3 , то 1 2													и уравнение удовлетворя-
ется при любом .
В En существуют n						линейно независимых векторов, но каждые
n 1 векторов линейно зависимы.
О. Б а з и с	пространства						En		–		система					n линейно			независимых
n -мерных векторов.

З-е. В En «точки» и «векторы», идущие из начала в данные точки, не различаются.

Выпуклые множества

О.	В ы п у к л а я к о м б и н а ц и я	точек a1,a2 ,...,an пространства En –
	точка a , такая, что:
	a 1 a1 2 a2 ... n an ,
	n
	где i 0, i 1.
	i 1
О.	В ы п у к л о е м н о ж е с т в о	в En – множество точек C , такое,
	что:

1)C содержится в En ;

2)C вместе с любыми двумя своими точками a1, a2 содержит их произвольную выпуклую комбинацию:

a 1 a1 2 a2 ,

	2
где i 0,	i 1.
	i 1

П.3. Выпуклые множества: само пространство En , круг в E2 , куб в E3 .

П.4. Не является выпуклым множеством множество точек, составляющих границу круга (окружность).

148

Для выпуклых множеств справедливы результаты:

1Если C – выпуклое множество, то в нём содержится любая выпуклая комбинация произвольного числа его точек.

2Любая точка отрезка, соединяющего две точки из En , является выпуклой комбинацией этих точек.

3Любая точка, которую можно представить в виде выпуклой комбинации двух точек из En , лежит на отрезке, соединяющем эти точки.

О. К р а й н я я т о ч к а выпуклого множества C – точка a из C , которая не может быть выражена в виде выпуклой комбинации каких-либо двух различных точек этого множества.

П.5. Каждая точка границы круга (окружность) является его крайней точкой.

П.6. Крайними точками треугольника являются его вершины.

О.	В ы п у к л а я	о б о л о ч к а C S любого множества S	– совокуп-
	ность всевозможных выпуклых комбинаций, составленных из точек
	множества S .
	C S является наименьшим выпуклым множеством, содержащим S .
П.7. Если S состоит из восьми вершин куба, то C S совпадает со всем
	кубом.
П.8. Если S окружность, то C S – полный круг.
О.	В ы п у к л ы й	м н о г о г р а н н и к – выпуклая оболочка	C S , если
	множество S состоит из конечного числа точек.

П.9. Куб – выпуклый многогранник, так как является выпуклой оболочкой своих восьми вершин.

О. С и м п л е к с – n -мерный выпуклый многогранник, имеющий в точно-

сти n 1 вершин.

П.10. Симплекс, отсекающий на координатных осях единичные отрезки, имеет вид:

149

		n
	xi 0 ,	xi 1.
		i 1
При n 3	симплекс есть тетраэдр с вершинами 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 .

Понятие линейного программирования

Линейное программирование – наука о методах исследования и отыскания:

наибольших и наименьших значений линейной функции n переменных

L x C1x1 C2 x2 ... Cn xn

при m линейных ограничениях в виде равенств

a x a x ...			a x b
11 1	12	2	1n n	1
a21x1 a22 x2 ...			a2n xn b2
............................................					;

a x a		x ...	a x b
m1 1	m2	2	mn	n	m

а также отыскания:

наибольшего значения линейной функции n переменных

L x C1x1 C2 x2 ... Cn xn

при ограничениях в виде неравенств

a x a x ...

x b

a21x1 a22 x2

...

a2n xn

0 j 1,2,..., n , bi

0 i 1,2,..., m ;

............................................

a x a

x ...

a x b

или её наименьшего значения – при ограничениях в виде неравенств

a x a x

...

a x b

11 1

1n n

a21x1 a22 x2

...

a2n xn b2

j 1,2,..., n , bi 0

i 1,2,..., m .

............................................

a x a

x ...

a x b

m1 1

mn n

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математическое моделирование систем и процессов