Добавил:

Parenek777 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ростовский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

Математическое моделирование систем и процессов

Файл:

Солоп С.А. Математическое моделирование систем и процессов. 2017

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2026

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

S = K r + K r2 +…+ K rn 1 + K rn = K r rn 1 .

n 0 0 0 0 0 r 1

Формула примет вид:

Sn = K0 r Sn,i

Задача 18. Годовая рента, начисление процентов m раз в год.

Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в начале каждого года (годовая рента) капитал K0 под сложные i процентов

годовых. Найти конечную величину (наращенную сумму) Sn совокупного вклада при капитализации m раз в году.

Характеристики ренты:

1)K0 – член ренты;

2)n – срок ренты;

3)i – номинальная (годовая) процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

4)1 год – период ренты (время между двумя платежами);

5)m – число начислений процентов в каждом году.

Схема решения представлена на рис. 3.5.

n лет

n-1

n-1 лет

1 год

Рис. 3.5

	i	1		m n
K0 1
K0 1
		m

	i	1			m n 1
K0 1
K0 1
		m
		1			1
K0 1 i
K0 1 i
			m

На первый вклад проценты начисляются n лет. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

	i	1 m n
K0 1			.

		m

На второй вклад проценты начисляются n 1 лет. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

111

	i	1 m n 1	.
K0 1

		m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

На n 1 -й вклад проценты начисляются 2 года. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

	i	1 2m
K0 1			.

		m

На n -й вклад проценты начисляются 1 год. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

								i	1 m
						K0 1				.
						K0 1				.
									m
	Складывая по формуле геометрической прогрессии (первый член
	i	1	m		i	1 m
K0 1				, знаменатель 1			, число членов n ), получим конечную


		m				m

величину (наращенную сумму) совокупного вклада:

1 m

1 2m

1 m n 2

= K0 1

+ K0 1

+…+ K0 1

	i	1 m n 1	=
K0 1

		m

m 1

K0 1

Формула примет вид:

Sn = K0

1 .

m n,i

Современная стоимость постоянной ренты пренумерандо

Задача 19. Годовая рента, начисление процентов m 1 раз в году.

Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в начале каждого года (годовая рента) капитал K0 при использовании

математического дисконтирования под сложные i процентов годовых. Найти современную величину (современную стоимость, капитализированную стоимость, приведённую

112

величину) S0 совокупного вклада при годовой капитализации

( m 1).

Характеристики ренты:

1)K0 – член ренты;

2)n – срок ренты;

3)i – процентная ставка, выраженная десятичной дробью, начисляемая в конце периода ренты;

4)1 год – период ренты (время между двумя платежами).

Схема решения представлена на рис. 3.6.

n-1

K0 0

1 год

K0 1

2 года

K0 2

n-1 лет

K0 n 1

Рис. 3.6

Дисконтированная величина первого платежа K0 составит K0 . Дисконтированная величина второго платежа K0 составит:

K0 1 = K0 1 i 1 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Дисконтированная величина n -го платежа K0 составит:

K0 n 1 = K0 1 i n 1 .

Складывая по формуле геометрической прогрессии (первый член K0 , знаменатель , число членов n ), получим современную величину

совокупного вклада S0 :

S	= K	+ K	1 +…+ K	n = K		n 1		.
							1
0	0	0	0		0

113

Обобщающая задача темы «Потоки платежей»

Задача 20. Вкладчик в 18 лет решил бросить курить и до 60 лет вкладывать в банк в течение 42 лет в начале каждого дня капитал 10 руб. под сложные 10 % процентов годовых для создания своей пенсии, не зависящей от государства. Найти конечную величину (наращенную сумму) Sn совокупного

вклада при годовой капитализации.

Характеристики ренты:

1)10 руб. – член ренты;

2)42 года – срок ренты;

3)0,1 – процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

4)1 день – период ренты (время между двумя платежами).

На первый вклад будем начислять до конца 1 года простые проценты 365 дней. Его конечная величина составит:

	i	d	10		0,1	365
K0 1				1			.
						365
		365

На второй вклад будем начислять до конца 1 года простые проценты 364 дня. Его конечная величина составит:

	i	d	10		0,1	364
K0 1				1			.
						365
		365

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

На 365 вклад будем начислять до конца 1 года простые проценты 1 день. Его конечная величина составит:

	i	d	10		0,1	1
K0 1				1			.
						365
		365

Складывая, получим конечную величину (наращенную сумму) совокупного вклада по схеме простых процентов в конце каждого года:

				365				364						1
K0 10		1 0,1			10	1	0,1				10	1	0,1
								365						365
				365
3650	1		365 364 ... 1 3650							1	365 1		365 3833 руб.
	365								365		2

Аналогично по формуле простых процентов до конца каждого года наращиваются капиталы по схеме пренумерандо.

114

Но каждый капитал K0 по схеме постнумерандо и формуле сложных процентов наращивается до начала пенсии вкладчика в 60 лет:

S		= K		rn 1	3833	1 0,1 42 1	2060763 руб.
	n		0	r 1
						1 0,1 1

З-е. Если просто потреблять 10 руб./день, то в течение года сумма составит 3650 руб./год, а за 42 года – 153 300 руб. Столь большая разница между суммами 2 060 763 руб. и 153 300 руб. объясняется отсутствием механизма накопления капитала по формулам сложных процентов при простом потреблении 10 руб./день.

Задача 21. Вкладчик в 60 лет вложил в банк капитал 2 060 763 руб. на депозит под 10 % годовых. Какую ежемесячную пенсию он может получать?

На величину вклада 2 060 763 руб. наращенная сумма до конца года составит по формуле простых процентов:

		p		2060763 1 0,1 1 2 266 839
K0 1			1		руб.
K0 1	100		1		руб.
	100

В месяц пенсия, заработанная своим умом, составит:

2266839 2060763 17173 руб.

12 месяцев

З-е. Инфляция не была учтена. Также не учитывался налог на банковские вклады.

Термины математики

–проценты

–процентная ставка

–период начисления

–наращение

–ставки наращения

–учетные ставки

–процентный платеж

–принцип пропорциональности

–простые проценты

–наращение по простой процентной ставке

–наращение по простой учётной ставке

115

–наращенная сумма многих переменных

–множитель наращения

–дисконтирование

–дисконт

–поток платежей

–финансовая рента

–обобщающие параметры потока платежей

–годовая рента, начисление процентов m раз в году

–наращенная сумма постоянной ренты пренумерандо

–современная величина

–дисконтирование по простой процентной ставке

–дисконтирование по простой учётной ставке

–номинальная процентная ставка

–потребительский кредит

–амортизационный план

–сложные проценты

–процентный период

–капитализация процентов

–декурсивный расчёт сложных процентов

–сложный декурсивный коэффициент

–антисипативный расчёт сложных процентов

–антисипативный коэффициент

–декурсивный расчёт сложных процентов, когда капитализация процентов производится несколько раз в году

–антисипативный расчёт сложных процентов, когда капитализация процентов производится несколько раз в году

–классификация потоков

–параметры ренты

–наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

–современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

–современная стоимость постоянной ренты пренумерандо

116

Тесты

1 Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в конце каждого года капитал K0 под сложные i процентов годовых r 1 i . Модель наращен-

ной суммы Sn

постоянной ренты постнумерандо при годовой капитали-

зации имеет вид:

- K

rn 1

;

r 1

1 i

- K0

;

1 i

- K

rn 1

;

r 1

1 i

- K0 1

2 Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в конце каждого года капитал K0 под сложные i процентов годовых r 1 i . Модель наращен-

ной суммы Sn

постоянной ренты постнумерандо при капитализации m

раз в году имеет вид:

- K

rn 1

;

r 1

1 i

- K0

;

1 i

- K r

rn 1

;

r 1

1 i

- K0 1 i

3 Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в начале каждого года капитал K0 под сложные i процентов годовых r 1 i . Модель наращен-

117

ной суммы Sn постоянной ренты пренумерандо при годовой капитализации имеет вид:

- K

;

r 1

- K0

;

1 i

- K

rn 1

;

r 1

- K0 1

4 Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в начале каждого года капитал K0 под сложные i процентов годовых r 1 i . Модель наращен-

ной суммы Sn

постоянной ренты пренумерандо при капитализации m

раз в году имеет вид:

- K

rn 1

;

r 1

1 i

- K0

;

1 i

- K r

rn 1

;

r 1

1 i

- K0 1 i

5 Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в конце каждого года ка-

питал K0	при использовании математического дисконтирования под
		1
сложные i	процентов годовых		. Модель приведённой величи-


		1 i

ны S0 постоянной ренты постнумерандо при годовой капитализации имеет вид:

118

- K			1 1 i n
	0						;
				i			;


		n 1
- K0					;
- K0			1		;
- K		r		rn 1		;
- K		r				;
	0			r 1
				r 1
- K		r		rn 1		.
- K		r				.
	0			r 1
				r 1

6 Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в начале каждого года ка-

питал

при использовании математического дисконтирования под

сложные i

процентов годовых

. Модель приведённой величи-

1 i

ны

постоянной ренты пренумерандо при годовой капитализации

имеет вид:

1 1 i n

;

n 1

;

K r

rn 1

;

r 1

rn 1

r 1

7 Модель наращения по простой процентной ставке p за n лет имеет вид:

		p
- K0 1			n ;
- K0 1	100		n ;
	100
		p	1
- K0 1			n	;
- K0 1	100		n	;
	100
		p	1
- Kn 1			n	;
- Kn 1	100		n	;
	100
		p
- Kn 1			n .
- Kn 1	100		n .
	100

8 Модель наращения по простой учётной ставке p за n лет имеет вид:

		p
- K0 1			n ;
- K0 1	100		n ;
	100

119

		p	1
- K0 1			n	;
- K0 1	100		n	;
	100
		p	1
- Kn 1			n	;
- Kn 1	100		n	;
	100
		p
- Kn 1			n .
- Kn 1	100		n .
	100

9 Модель дисконтирования по простой процентной ставке p за n лет имеет вид:

		p
- K0 1			n ;
- K0 1	100		n ;
	100
		p	1
- K0 1			n	;
- K0 1	100		n	;
	100
		p	1
- Kn 1			n	;
- Kn 1	100		n	;
	100
		p
- Kn 1			n .
- Kn 1	100		n .
	100
10 Модель дисконтирования по простой учётной ставке p					за n лет име-
ет вид:
		p
- K0 1			n ;
- K0 1	100		n ;
	100
		p	1
- K0 1			n	;
- K0 1	100		n	;
	100
		p	1
- Kn 1			n	;
- Kn 1	100		n	;
	100
		p
- Kn 1			n .
- Kn 1	100		n .
	100
11 Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет капитал K0					под сложные

p% процентов годовых. Модель наращенной суммы при начислении процентов декурсивным методом и годовой капитализации имеет вид:

				p		n
- K0	1					1 ;
- K0	1		100			1 ;
			100
				p		n
- K0 1					1 ;
- K0 1					1 ;
		100

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математическое моделирование систем и процессов