Солоп С.А. Математическое моделирование систем и процессов. 2017

Окончательно запишем формулу наращения непрерывных процен-

тов:

p n

Kn K0e100 .

З-е. Непрерывное наращение в практических операциях применяется редко. Чаще непрерывное наращение используется при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании, учёте сложных закономерностей процесса наращения.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки – силу роста.

О. Сила роста – относительный прирост наращенной суммы за беско-

нечно малый промежуток времени.

Она может быть постоянной или изменяться во времени.

Для отличия непрерывной ставки от дискретной силу роста обозначают через :

100p .

Тогда

Kn K0e n .

О. e n – множитель наращения при непрерывном наращении процентов.

Процедура дисконтирования даст результат:

Kn K0e n Kne n K0e ne n K0 .

Окончательно запишем формулу дисконтирования непрерывных процентов:

K0 Kne n .

О. e n – дисконтный множитель при непрерывном дисконтировании.

Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты (основные понятия)

Ранее начисление процентов или дисконтирование изучалось для одноразового вклада (или ссуды).

Но оплата по сделкам часто предполагает не разовый платёж, а ряд выплат, распределённых по времени, например:

101

1)погашение среднесрочной и долгосрочной банковской задолженности;

2)погашение коммерческого кредита;

3)периодическое поступление доходов от инвестиций;

4)создание денежных фондов целевого назначения;

5)выплата пенсий и т.д.

О. Поток платежей – последовательность (ряд) платежей.

О. Член потока – отдельный элемент ряда. Классификация потоков:

1Регулярные – нерегулярные.

2Нерегулярные:

1)с положительными (поступления) и отрицательными (выплаты) членами;

2)платежи производятся через разные интервалы времени.

О. Финансовая рента (рента, аннуитет) – поток платежей (независимо от назначения или происхождения):

1)все члены которого положительны;

2)временные интервалы между платежами одинаковы. Примеры ренты:

1 Последовательность получения процентов по облигации.

2 Платежи по потребительскому кредиту.

3 Выплата в рассрочку страховых премий и т.д.

О. Параметры ренты:

1Член ренты – величина отдельного платежа.

2Период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами.

3Срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего периода.

4Процентная ставка – ставка, используемая для расчёта наращения или дисконтирования платежей, составляющих ренту.

Дополнительные характеристики отдельных видов ренты:

1Количество платежей в течение года.

2Частота начисления процентов (т.е. количество периодов в году, когда начисляются проценты).

3Способ начисления процентов.

4Момент производства платежей (в начале, середине или в конце

года).

Классификация рент:

1Дискретные ренты:

1)годовые ренты – ренты, платежи по которым производятся раз в

год;

102

2)p -срочные ренты – ренты, платежи по которым производятся p

раз в год; 3) ренты, у которых период между платежами превышает год

(например, в производственных инвестициях).

2 Непрерывные ренты – условное наименование рент, у которых часто производятся платежи.

3 Ренты по количеству начислений процентов на протяжении года делятся:

1)на ренты с начислением процентов один раз в год;

2)ренты с начислением процентов m раз в год;

3)ренты с непрерывным начислением процентов.

4 Ренты делятся на те, для которых:

1)моменты начисления процентов совпадают с моментами выплат членов ренты;

2)моменты начисления процентов не совпадают с моментами выплат членов ренты.

Вычисления упрощаются, если моменты начисления процентов совпадают с моментами выплат членов ренты.

5 Ренты по величине членов делятся:

1)на постоянные (платежи – члены ренты – равны между собой);

2)переменные. Изменение величины членов переменных рент может быть подчинено какому-либо закону (например, изменяться как арифметическая или геометрическая прогрессия) или не систематично (задаваться таблицей).

6 Ренты по вероятности выплат делятся:

1)на верные – выплата не ограничена какими-либо условиями (т.е. оплата верной ренты безусловна, а число членов ренты заранее известно);

2)условные – выплата обусловлена наступлением какого-либо случайного события (поэтому число членов ренты заранее неизвестно). Например, страховые аннуитеты – последовательные платежи в имущественном и личном страховании до наступления страхового случая. Другой пример – пожизненная выплата пенсии.

7 Ренты по количеству членов делятся:

1)на ренты с конечным числом членов (т.е. ограниченные по

срокам);

2)ренты с бесконечным числом членов (т.е. бесконечные, вечные).

Например, выплаты по облигационным займам правительств ряда стран без ограничения срока погашения.

8 Ренты по моменту, с которого начинается реализация рентных платежей, делятся:

1)на немедленные – платежи производятся сразу после заключения контракта;

2)отложенные (отсроченные) – платежи откладываются на указанное в контракте время.

9 Ренты по моменту выплат платежей в пределах периода делятся:

103

1)на постнумерандо – платежи производятся в конце периодов (года,

полугодия и т.д.);

2)пренумерандо – платежи производятся в начале периодов (года,

полугодия и т.д.);

3)иногда контракты предусматривают платежи или поступления в середине периодов.

О. Обобщающие параметры потока платежей:

1 Наращенная сумма – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты.

2 Современная (приведённая) стоимость – сумма всех членов потока платежей, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентного платежа на определённый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Наращенная сумма потока платежей показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

Современная стоимость потока платежей показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив её на равные взносы, на которые бы начислялись установленные проценты в течение срока ренты, можно было обеспечить получение наращенной суммы.

Наращенная сумма представляет собой:

1)общую сумму накопленной задолженности к концу срока;

2)итоговый объём инвестиций;

3)накопленный денежный резерв и т.д.

Современная стоимость характеризует:

1)приведённые к началу осуществления проекта инвестиционные

затраты;

2)суммарный капитализированный доход;

3)чистую приведённую прибыль от реализации проекта и т.д.

Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

Будем использовать стандартное обозначение процентной ставки в

Задача 14. Годовая рента, начисление процентов m 1 раз в год.

Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в конце каждого года (годовая рента) капитал K0 под сложные i процентов

104

годовых. Найти конечную величину (наращенную сумму) Sn совокупного вклада при годовой капитализации ( m 1).

Характеристики ренты:

1)K0 – член ренты;

2)n – срок ренты;

3)i – процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

4)1 год – период ренты (время между двумя платежами). Схема решения представлена на рис. 3.1.

K0 K0 K0 K0

На первый вклад проценты начисляются n 1 лет. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

K0 1 i n 1 = K0 rn 1 .

На второй вклад проценты начисляются n 2 лет. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

K0 1 i n 2 = K0 rn 2 .

…………………………………………………………………………………

На n 1 -й вклад проценты начисляются 1 год. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

K0 1 i = K0 r .

105

На n -й вклад проценты не начисляются. Его конечная величина (наращенная сумма) составит K0 .

Складывая по формуле геометрической прогрессии (первый член K0 ,

ент аккумуляции вкладов).

Формула примет вид:

Sn = K0 Sn,i .

Задача 15. Годовая рента, начисление процентов m раз в году.

Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в конце каждого года (годовая рента) капитал K0 под сложные i процентов

годовых. Найти конечную величину (наращенную сумму) Sn совокупного вклада при капитализации m раз в году.

Характеристики ренты:

1)K0 – член ренты;

2)n – срок ренты;

3)i – номинальная (годовая) процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

4)1 год – период ренты (время между двумя платежами);

5)m – число начислений процентов в каждом году.

Схема решения представлена на рис. 3.2.

106

На первый вклад проценты начисляются n 1 лет. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

На второй вклад проценты начисляются n 2 лет. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

На n 1 -й вклад проценты начисляются 1 год. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

На n -й вклад проценты не начисляются. Его конечная величина (наращенная сумма) составит K0 .

Складывая по формуле геометрической прогрессии (первый член K0 ,

(наращенную сумму) совокупного вклада:

107

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

О. Термины-синонимы:

1)современная стоимость потока платежей – капитализированная стоимость потока платежей;

2)современная величина потока платежей – приведённая величина

потока платежей.

Напомним обозначение дисконтного множителя n = 1 i 1 n при математическом дисконтировании сложных процентов.

Задача 16. Годовая рента, начисление процентов m 1 раз в году.

Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в конце каждого года (годовая рента) капитал K0 при использовании

математического дисконтирования под сложные i процентов годовых. Найти современную величину (современную стоимость, капитализированную стоимость, приведённую величину) S0 совокупного вклада при годовой капитализации

( m 1).

Оценка современной величины производится на момент начала реализации ренты (рента немедленная).

Характеристики ренты:

1)K0 – член ренты;

2)n – срок ренты;

3)i – процентная ставка, выраженная десятичной дробью, начисляемая в конце периода ренты;

4)1 год – период ренты (время между двумя платежами).

Схема решения представлена на рис. 3.3.

108

Дисконтированная величина первого платежа K0 составит:

K0 = K0 1 i 1 .

Дисконтированная величина второго платежа K0 составит:

K0 2 = K0 1 i 2 .

…………………………………………………………………………..

Дисконтированная величина n -го платежа K0 составит:

K0 n = K0 1 i n .

Складывая по формуле геометрической прогрессии (первый член K0 , знаменатель , число членов n ), получим современную величину

совокупного вклада S0 :

Формула примет вид:

S0 = K0 an,i .

З-е. Полученная формула применяется и для определения современной стоимости p -срочной ренты. В этом случае переменная n означает

число периодов, i – ставку за период (но не годовую ставку).

Наращенная сумма постоянной ренты пренумерандо

Задача 17. Вкладчик вкладывал в банк в течение n лет в начале каждого года капитал K0 под сложные i процентов годовых. Найти

конечную величину (наращенную сумму) Sn совокупного

вклада при годовой капитализации. Характеристики ренты:

1) K0 – член ренты;

109

2)n – срок ренты;

3)i – процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

4)1 год – период ренты (время между двумя платежами). Схема решения представлена на рис. 3.4.

K0 K0 K0

На первый вклад проценты начисляются n лет. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

K0 1 i n = K0 rn .

На второй вклад проценты начисляются n 1 лет. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

K0 1 i n 1 = K0 rn 1 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

На n 1 -й вклад проценты начисляются 2 года. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

K0 1 i 2 = K0 r2 .

На n -й вклад проценты начисляются 1 год. Его конечная величина (наращенная сумма) составит:

K0 r .

Складывая по формуле геометрической прогрессии, получим конечную величину (наращенную сумму) совокупного вклада:

110