Добавил:

Parenek777 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ростовский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

Математическое моделирование систем и процессов

Файл:

Солоп С.А. Математическое моделирование систем и процессов. 2017

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2026

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Окончание табл. 3.10

Год

Начало

Конец года

года

Knq

1 K

n 1

100

Kn 1

Kn 1 ,

100

Kn 1

Kn 1 1

K0 1

1 .

100

Обозначения и термины:

О. 1 100q – сложный антисипативный коэффициент.

	n			q	n
О.		1				– коэффициент наращения (роста) при антисипативном
О.		1				– коэффициент наращения (роста) при антисипативном
			100

вычислении сложных процентов.

З-е. В финансовых таблицах используется обозначение n I n .
						q
				q	n	n
Тогда:	Kn	K0 1			1	K0 Iq
Тогда:	Kn	K0 1	100		1	K0 Iq
			100

Задача 11. Каким станет капитал 100 000 руб. через 5 лет при 1 % годовых, 10 % годовых, 99 % годовых, если начисление процентов производится антисипативным методом, капитализация – годовая? Схема решения представлена в табл. 3.11.

			Таблица 3.11
Число лет ссуды	Конечная величина капитала через n лет, руб.
	q 1%	q 10%	q 99%

1	101 010	111 111	10 000 000
2	102 030	123 457	1 000 000 000
3	103 061	137 174	100 000 000 000
4	104 102	152 416	10 000 000 000 000
5	105 154	169 351	1 000 000 000 000 000
Доход за 5 лет	5 101	61 051	999 999 999 900 000
Относительная ве-	5 %	61 %	999 999 999 900 %
личина дохода, %	5 %	61 %	999 999 999 900 %
личина дохода, %

З-е. В полученной формуле антисипативного метода расчёта сложных процентов

			q	n
Kn	K0 1			1
Kn	K0 1	100		1
		100

присутствуют 4 параметра: Kn , K0 , q , n . Так как равенство только одно, то, задавая три из них, можно получить четвёртый.

Декурсивный расчёт сложных процентов, когда капитализация процентов производится несколько раз в году

Пусть начисление процентов производится:

-в конце каждого расчётного периода,

-на сумму, которая получается в начале каждого расчётного периода.

Теперь расчётный период не один год, а величина меньшая, т.к.

начисление процентов производится несколько раз в году.

Нужно различать число периодов капитализации и астрономическую длину одного периода.

Нужно научиться определять длину одного периода капитализации по заданному числу периодов.

З-е. В финансовых расчётах используется общепринятое обозначение m для числа периодов капитализации в каждом году, хотя ранее это же обозначение было для числа месяцев начисления простых процентов.

Связь числа m периодов капитализации и величины одного периода можно проиллюстрировать табл. 3.12.

Таблица 3.12

Число периодов

Величина одного периода капитализации

капитализации

12 месяцев

6 месяцев

года

2 периода

12 месяцев

4 месяца

года

3 периода

12 месяцев

3 месяца

года

4 периода

12 месяцев

2 месяца

года

6 периодов

12 месяцев

1 месяц

года

12 периодов

365дней

5 дней

года

73 периода

Окончание табл. 3.12

Число периодов	Величина одного периода капитализации
капитализации
365		365дней		1 день		1	года
365				1 день			года
		365 периодов				365

m			1		года
m					года
			m

З-е. Когда начнётся вывод формул, то возникнет проблема обозначений. В формулах нужно отражать год и одновременно период капитализации в данном году. Для этого используют двойные индексы Kij (i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., n) , где первый индекс – номер периода капитализации, второй индекс – номер года.

Задача 12. Каким станет капитал K0 через n лет при p% годовых, если

начисление процентов производится декурсивным методом, капитализация – m раз в каждом году? Схема решения представлена в табл. 3.13.

Таблица 3.13

Год

Начало

Конец периода

периода

K0 p

K11

K0 1

100

K21

K11

K p

1 2

K11 1

K0 1

K11

100

m 1,1

Km1

Km 1,1

K0 1

100

Km 1,1

100 m

Km1 p

m 1

K12

Km1

K0 1

100

Km1

100

K22

K12

K p

m 2

K12 1

K0 1

K12

100

Окончание табл. 3.13

Год

Начало

Конец периода

периода

Km 1,2

Km 1,2 p

Km2

Km 1,2 1

100

Km 1,2

1 m m

K0 1

100

Km,n 1 p

K1n Km,n 1

Km,n 1 1

100

Km,n 1

100

m n 1 1

K0 1

100

K1n p

K2n K1n

K1n 1

100

K1n

m n 1 2

K0 1

100

Kmn Km 1,n

Km 1,n p

Km 1,n 1

100

m 1,n

m n

K0 1

100

З-е. В

финансовых

таблицах

используется

обозначение

m n

I p

100

m n

Тогда:

Kmn

K0 1

K0 I p

100

Антисипативный расчёт сложных процентов, когда капитализация процентов производится несколько раз в году

Пусть начисление процентов производится:

–в конце каждого расчётного периода,

–на сумму, которая получается в начале каждого расчётного пери-

ода.

Задача 13. Каким станет капитал K0 через n лет при q% годовых, если

начисление процентов производится антисипативным методом, капитализация – m раз в каждом году? Схема решения представлена в табл. 3.14.

Таблица 3.14

Год	Начало																			Конец периода
Год	периода																			Конец периода
	периода
			K K								K11q							1				, K						K11q						1		K				,
			K K				0															, K														K				,
			11				0					100						m						11		100								m				0
												100						m								100								m
									q						1
			K11 1														K0 ,
			K11 1				100										K0 ,
1	1	K0					100							m
1	1	K0																															1
										K0																	q				1		1
			K11															K0 1															.
			K11							q				1				K0 1												m			.
										q				1											100					m
					1
					1			100								m

			K		K								K21q						1				, K						K21q						1		K			,
				21			11					100							m						21	100									m				11
												100							m							100									m
										q					1
			K21 1															K11 ,
			K21 1				100											K11 ,
							100								m
	2	K11								K11																		q				1		1
	2	K11	K21							q				1				K11 1								100								,
										q				1												100						m
						1
						1		100								m
																q				1				2
			K21 K0 1																					.
			K21 K0 1											100							m			.
														100							m

m 1,1

Km 1,1q 1 ,

100

Km1 1

Km 1,1 ,

100

Km 1,1

m 1,1

1 1

Km1

Km 1,1 1

100

Km1 K0 1

100

Продолжение табл. 3.14

Год

Начало

Конец периода

периода

K q

K12

Km1

, K12 1

Km1 ,

100

Km1

K12

Km1 1

Km1

100

1 100

m 1

K12

K0 1

100

K22

K12

, K22 1

K12 ,

100

K22

K12 1

100

1 100

m 2

K22

K0 1

100

Km2

Km 1,2

Km2 1

Km 1,2

100

Km 1,2

1 1

Km2

Km 1,2

100

1 100 m

m m

Km2

K0 1

100

K1n Km,n 1

Km,n 1 ,

K1n

100

Km,n 1

1 1

K1n

Km,n 1 1

Km,n 1

100

1 100

m n 1 1

K1n

K0 1

100

Окончание табл. 3.14

Начало Год Конец периода

периода

K2nq

100

K1n ,

K2n 1

100

K1n

K2n

K1n 1

100

m n 1 2

K2n

K0 1

100

Kmnq

m 1,n

100

Kmn 1

Km 1,n

100

Km 1,n

1 1

Kmn

Km 1,n

100

m n 1 m

m n

Kmn

K0 1

100

З-е. В финансовых таблицах используется обозначение

m n

100

1 m n

m n

Тогда:

Kmn

K0 1

K0 Iq

100

Процедуры наращения и дисконтирования

Запишем в виде сводной таблицы (табл. 3.15) формулы процедуры наращения и дисконтирования для разных способов капитализации процентного платежа (дохода).

Таблица 3.15

Наращение

Дано: K0

Найти: Kn

По простой процентной ставке p за n лет

K0 1

100

По простой учётной ставке q за n лет

K0 1

100

По сложной процентной ставке p за n лет

(капитализация 1 раз в году)

K0 1

100

По сложной учётной ставке q за n лет

(капитализация 1 раз в году)

K0 1

100

По сложной процентной ставке p за n лет

1 m n

(капитализация m раз в каждом году)

Km n

K0 1

100

По сложной учётной ставке q за n лет

1 m n

(капитализация m раз в каждом году)

Km n K0 1

100

Дисконтирование

Дано: Kn

Найти: K0

По простой процентной ставке p за n лет

Kn 1

100

По простой учётной ставке q за n лет

Kn 1

100

По сложной процентной ставке p за n лет

(капитализация 1 раз в году)

Kn 1

100

По сложной учётной ставке q за n лет

(капитализация 1 раз в году)

Kn 1

100

По сложной процентной ставке p за n лет

1 m n

(капитализация m раз в каждом году)

Km n 1

100

По сложной учётной ставке q за n лет

1 m n

(капитализация m раз в каждом году)

Km n 1

100

Непрерывное наращение и дисконтирование

При декурсивном расчёте сложных процентов, когда капитализация процентов производится m раз в каждом году, была получена формула:

			p	1 m n
Kmn	K0 1				.
		100
				m

Если увеличивать m , то промежуток времени между моментами начисления процентов уменьшается.

Что происходит при этом с наращенной суммой Km n ?

В курсе математического анализа изучался замечательный предел:

	1 n
lim 1		.

n	n

1 n

e .

Было показано, что lim 1

Важно, что 1+малое

берётся в степени, большей n , и есть согла-

сование:

n 1.

Именно благодаря согласованию предел

lim 1

есть конечное

число e 2,7... .

Можно показать, что:

lim 1

lim

lim 1 x

x 0

f x

lim 1 f x

lim

e .

f x

f x 0

f x

Рассмотрим

lim

g x h x . Здесь так же основание степени g x 1,

x 1

h x

показатель степени

h x .

Но к чему стремится степень неизвестно,

т.к. нет согласования g x h x

Чтобы использовать замечательный предел, сделаем преобразования для получения согласования:

g x h x

1 g x

h x

lim

1 .

g x 1

h x

Пусть

f x g x 1. Тогда при g x 1 f x 0.

Получим:

h x

lim

f x h x

f x 0

lim

1 g x 1

lim 1 f

lim

1 f x

f x

h x

g x 1

x 0

f x 0

h x

Выражение в фигурных скобках есть замечательный предел. Поэто-

му:

lim

f x h x

lim

f x h x

h x

f x 0

lim

lim g x

1 f x f x h x

eh x

g x 1

x 0

h x

1 m n

Рассмотрим

Kmn K0 1

. Здесь также основание степени

100

1 при

m ,

показатель степени mn при m . Но к

100

чему

стремится

степень

неизвестно,

т.к.

нет

согласования

m n 1.

100

При этом g x 1

, h x m n . Поэтому

f x

100

Получим:

m n

lim Kmn

lim K0 1

100

lim

m n

100

m m 100 m

lim 1

100

m n

100

lim

100

lim

m n

lim

em 100 m

em 100

e100

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математическое моделирование систем и процессов