Солоп С.А. Математическое моделирование систем и процессов. 2017

УДК 517(07) + 06

Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор В.В. Ларченко (ДГТУ); доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Хопёрский (РГУПС)

Солоп, С.А.

Математическое моделирование систем и процессов: учеб. пособие / С.А. Солоп, А.Г. Кулькин; ФГБОУ ВО РГУПС. – Ростов н/Д, 2017. – 172 с.: ил. – Библиогр.: с. 171.

ISBN 978-5-88814-588-3

В пособии рассмотрены понятия систем и моделирования, приведены средства моделирования систем и процессов в виде понятий и теорий математики. Показаны способы моделирования в естественных науках на основе понятия предел и моделирование потоков платежей в области финансов. Конкретные математические модели приведены на примерах моделирования процессов движения и математического программирования.

Понятия разбираются на примерах. В главах приведены термины, тесты. Пособие предназначено для студентов очной и заочной формы обучения специальности «Эксплуатация железных дорог» для выполнения контрольной и самостоятельной работы. Также пособие может быть использовано для более углубленного изучения дисциплины «Математическое моделирование систем и процессов».

Одобрено к изданию кафедрой «Высшая математика».

2

3

Указатель обозначений

4

Г л а в а 1 . П О Н Я Т И Я М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Г О М О Д Е Л И Р О В А Н И Я С И С Т Е М

ИП Р О Ц Е С С О В

1.1Основные понятия систем

О. М а т е м а т и к а (греч. знание, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

О. К а т е г о р и я (греч. kategoria – высказывание, суждение) –предельно широкое п о н я т и е , в котором отображены наиболее общие и существенные:

1)свойства;

2)признаки;

3)связи;

4)отношения

предметов, явлений объективного мира.

П.1. Категории: материя, движение, пространство, время, качество, количество, противоречие и т. д.

З-е. Каждая наука имеет систему своих категорий.

П.2. В логике основные категории: мышление, суждение, умозаключение, понятие, определение, силлогизм, индукция, дедукция, анализ, синтез, гипотеза, тождество, различие, утверждение, отрицание, отношение, метод, доказательство, опровержение, истинность и т. д.

П.3. В математике основные категории: число, равенство, сложение, вычитание, умножение, деление, дробь, корень, множество, функция, предел, производная, интеграл, ряд, вектор, матрица, евклидово пространство и т.д.

П.4. Существуют общенаучные категории: симметрия, асимметрия, модель, упорядоченность и т.д.

Познание начинается с ощущений, восприятий, представлений, переходит к суждениям и понятиям, которые рассматриваются с помощью имеющихся категорий. Категории исторически и логически развиваются.

О. В е щ ь – целостная и относительно устойчивая ч а с т ь материального мира:

1)существующая вне и независимо от нас;

2)отражающаяся в нашем сознании.

5

П.5. Академия, стол, книга, библиотека и т.д.

О. П р е д м е т – всякая материальная в е щ ь .

Вне и независимо от сознания существуют свойства и отношения вещей, поэтому свойства и отношения также могут рассматриваться как предметы – а б с т р а к т н ы е п р е д м е т ы .

В логике предметом называется все то, на что направлена мысль; всё то, что может быть воспринято, названо и т. д.

Поэтому предметом также считают: суждение, понятие, умозаключение.

О. О б ъ е к т ( лат. objectum – предмет):

1)существующий вне и независимо внешний мир, являющийся предметом познания, практического воздействия субъекта;

2)предмет, явление, на который направлена какая-либо деятельность;

3)предприятие, учреждение, а также все то, что является местом ка- кой-либо деятельности.

П.6. Экономический объект – объект производственный, строительный, социальный, собственности, финансирования, создания, ликвидации, кредитования, страхования и т.д.

О. С у ж д е н и е – ф о р м а мысли:

1)в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов и явлений, их свойств, связей и отношений;

2)которая обладает свойством выражать либо истину, либо ложь.

З-е. Отличие объекта от субъекта проявляется в направленности действия:

-субъект преобразует реальность, действие направлено от него;

-объект принимает эти изменения либо сохраняет изначальную форму, действие всегда направлено к нему.

З-е. Отличие объекта от субъекта проявляется в способности к действию: субъект может принимать самостоятельное решение относительно дальнейшего развития событий; объект подчиняется данным решениям и действиям, преобразуясь и изменяясь.

6

З-е. Отличие объекта от субъекта состоит в проявлении:

-субъект проявляется через активное действие, вычленяя себя из реальности;

-объект проявляется через пассивное принятие действий субъекта.

З-е. Отличие объекта от субъекта состоит в одушевлённости:

-объект, как правило, является неодушевлённым;

-субъект всегда наделяется разумом и волей.

З-е. Сходство суждения и понятия – в присутствии и субъекта, и предиката. Но понятие – качественно новая форма мысли по сравнению с суждением в силу того, что человеческий мозг в форме понятия диалектически синтезирует в целостный образ отображенные в мысли отличительные и существенные признаки предмета, явления.

З-е. Понятия о предметах изменяются, уточняются, углубляются, совершенствуются. Поэтому когда в процессе исследования того или иного объекта обнаруживается новая, более глубокая сущность, старое понятие может стать всего лишь суждением.

О. О п р е д е л е н и е понятия (лат. definitio) – логическая о п е р а ц и я , в

процессе которой раскрывается содержание понятия.

З-е. Для того, чтобы определить понятие, т. е. найти предел (границу), отделяющую предметы, охватываемые данным понятием, от всех сходных с ними предметов, не надо перечислять все признаки, а достаточно указать лишь на отличительные существенные признаки предметов, отображенных в данном понятии, что является главным требованием к определению.

7

развития материального мира и психики, направленное на дальнейшее преобразование объективной действительности и человека.

О. А н а л и з (греч. analysis – разложение, расчленение, разбор) – прием, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый предмет мысленно или практически расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых затем исследуется в отдельности как часть расчлененного целого.

О. С и н т е з (греч. synthesis – соединение, составление, сочетание):

1)мысленное соединение частей предмета, расчленённого в процессе анализа;

2)установление взаимодействия и связей частей;

3)познание этого предмета как единого целого.

О. С и с т е м а (греч. systema – целое, составленное из частей):

1)совокупность, объединение взаимосвязанных и расположенных в определенном порядке элементов (частей) целого;

2)совокупность принципов, лежащих в основе какой-либо теории;

3)совокупность органов, связанных общей функцией, например, сигнальная система человека;

4)система аксиом и др.

О. С и с т е м а в математической логике – непустое множество, класс или область объектов, между которыми установлены некоторые соотношения.

О. С и с т е м а а б с т р а к т н а я – система, для которой:

1)известны структура и соотношения между входящими в неё объектами;

2)неизвестна природа объектов.

т и ч е с к а я – родовое название, объединяющее понятия, общей чертой которых является то, что они применимы к множествам, природа элементов которых не определена. Чтобы определить структуру, задают: отношения, в которых находятся элементы множества, а затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют условиям – аксиомам.

Эра систем, век синтеза, открытые системы, кибернетика, правила принятия решений, обратная связь, автоматическое управление, построе-

10