Новакович В.И. Математическое моделирование систем и процессов. Учеб. пособ. 2019

Зная β, можно найти α и r:

Решение второго дифференциального уравнения (2.144) очевидно:

поскольку постоянную интегрированная в нем без нарушения общности можно принять равной единице.

Тогда с учетом (2.150), (2.152) и (2.153) имеем:

51

y(0,τ)

τ

Рис. 2.28. Зависимость роста стрелы во времени

Если в рельсах действует растягивающая сила, то при начальном изгибе со стрелой f0 будет происходить выпрямление рельсов, тогда вместо дифференциального уравнения (2.140) нужно записать:

Решение также будем искать в виде (2.141), тогда вместо (2.142) получим:

Общее решение первого дифференциального уравнения (2.161) – это (2.149). Далее получим тот же результат, что и в (2.150), но вместо (2.151) будет:

Тогда

52

τ

Рис. 2.29. Зависимость (τ) при растягивающей продольной силе

Здесь получены зависимости, отличающиеся коэффициентами в степени экспоненциальной функции (2.169). Это значит, что увеличение стрелы изгиба рельсов в плане при действии сжимающей силы в бесстыковом пути идет интенсивнее, чем ее выпрямление в случае F = const.

Следует, однако, иметь в виду, что эти изменения происходят при условии, если неровность в плане является напряженной. В действительности, если про-

53

дольная сила изменяется, то напряженная неровность при выпрямлении переходит в ненапряженную, и тогда интенсивность ее изменения будет уменьшаться или её изменение совсем прекратится. Отмеченные особенности изгиба стержня под действием продольных сжимающих сил и затем ее выпрямления под действием растягивающих сил должны быть учтены при назначении температуры закрепления. Эта температура закрепления должна быть как можно более высокой. В 30-е годы прошлого века итальянский ученный Ф. Корини [5], указывал, что стрежень имеет «крайнюю неустойчивость» и потому при закреплении необходимо использовать их искусственный нагрев. К.Н. Мищенко, приводя в своей монографии [5, с. 62–63] высказывания Ф. Корини, критикует их, считая необоснованными, поскольку он «не учитывает падения давления в сжатом стержне при переходе его в изогнутое положение». В этом отношении указанный ученый сам допускает существующую ошибку. В пределах тех стрел изгиба стрежня, которые еще не угрожают безопасности движения, падение продольной сжимающей силы пренебрежимо мало. К.Н. Мищенко не мог тогда предвидеть, что и стержень при беспечном отношении к закреплению тоже может подвергаться угону. В работе [5, с. 3] он, перечисляя преимущества стрежня, писал, что «ликвидируется бич современного стрежня – продольный угон, так как нечему и некуда угоняться». Практика эксплуатации показала, что оказалось – есть «чему» и «куда», и угон стержней в некоторых случаях измерялся метрами. Тогда некоторые путейцы из одной крайности, по которой ранее считали, что стержень не может угоняться, изменили свое мнение на другую крайность, по которой стали считать, что угон стержня неизбежен. Фактически удержать стержень от угона легче, но это не значит, что стержни можно не закреплять.

2.9Устойчивость стержней под действием продольных сжимающих сил

вкривых участках

До настоящего времени существует ограничение области применения стержней по минимально допустимому радиусу кривых участков. В действующей «Инструкции по устройству, укладке, содержанию и ремонту бесстыкового пути» [6], в п. 2.1.1, указано, что «бесстыковой путь должен укладываться в прямых участках и в кривых радиусом не менее 350 м». В виде исключения «допускается укладка бесстыкового пути в кривых радиусом 300–250 м». Однако есть участки железнодорожного пути с радиусом менее 250 м, где укладка бесстыкового пути по технико-экономическим соображениям была бы весьма желательна. Главным препятствием для укладки бесстыкового пути в крутых кривых (R < 250 м) считается его меньшая устойчивость под действием продольных сжимающих и растягивающих сил. Считается, что эта меньшая устойчивость возникает из-за дополнительной поперечной распределенной силы q F R . Поперечная распределенная сила q при продольной сжимающей силе в рельсах действует в направлении наружу кривой, а при растягивающей – внутрь.

Таким образом, следует определить степень влияния величины радиуса кривой на устойчивость стрежней. В [6] в приложении 2.1 дана таблица допускаемых

54

тальных данных, полученных при стендовых статических опытах в прямом участке и кривой R 600 м. Эти нормативы длительное время проверялись на практике эксплуатации бесстыкового пути, начиная с минимального радиуса, равного 800 м, затем за 40 лет постепенно пришли к нормам, данным в [6].

С учетом сказанного выше расчетная схема стержня под действием продольных сжимающих сил будет иметь вид, представленный на рис. 2.30.

Рис. 2.30. Расчетная схема деформирования стержня при действии сжимающей силы F в кривой

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2.170), зависящее от x и удовлетворяющее граничным условиям, представленным в расчетной схеме (рис. 2.30), имеет вид:

Решение (2.170) будем искать как сумму решений однородного дифференциального уравнения

55

Решение (2.172) может быть найдено, как и выше, в (2.141)–(2.155). Тогда с учетом (2.173) имеем:

Найденное решение (2.174) нас интересует в точке x = 0, т. е. в точке изменения максимального прогиба стержня в плане во времени:

Результат расчета по (2.176) представлен в виде графиков y 0, f (см. рис. 2.31) при разных превышениях температуры закрепления стержней.

Рис. 2.31. Стрела изгиба стержней в плане f

В расчете взяты следующие значения исходных величин, характерных для стержня, находящегося в относительно нормальном, но несколько ослабленном состоянии:

56

равна F = 400, 800, 1200 и 1600 кН. Для расчета выбрано время 100, 200, 300 и 400

ч, что соответствует примерно 4, 8, 12 и 16 суткам.

Из результатов приведенного расчета (см. рис. 2.31) видно, что, например, при среднем превышении температуры закрепления на 10 °С через 16 суток (за промежуток времени между двумя проходами путеизмерительного вагона) стрела изгиба стержня в плане изменилась незначительно, а при среднем превышении на 40 С скорость роста стрелы оказалась опасной.

Опасность стрелы определяется скоростью роста этой деформации:

Из (2.177) видно, что влияние радиуса кривой, кроме начальной стрелы, на скорость роста стрелы отсутствует. Это согласуется с соответствующими нормами, данными в «Инструкции по расшифровке лент и оценке состояния рельсовой колеи…» (ЦП-515) [8], в которой радиус кривых при оценке состояния пути в плане не учитывается. Следует, однако, отметить, что при проходе колеса по стержню с одинаковой крутизной неровности в прямом и кривом участках вероятность его вкатывания на головку рельса больше в кривой. Но это ещё не потеря устойчивости колеи, а потеря устойчивости колеса на рельсе из-за наличия в кривой центробежной силы.

2.10 Энергетический метод определения устойчивости стержня под действием продольных сжимающих сил

Энергетический метод основан на принципе Лагранжа: «Сумма работ внешних и внутренних сил для системы, находящейся в равновесии, на бесконечно малых возможных перемещениях равна нулю»:

В [5], как и у других авторов статических методов, работа внешней активной силы определяется на перемещении в результате продольного сжатия. Однако у Эйлера при изгибе стержней продольное сжатие не учитывается. Стержни считаются несжимаемыми. Поэтому реактивные силы сжатия в расчет не берутся. В расчете учитываются результат изгиба стержня и реактивные силы сопротивления изгибу. При малых стрелах изгиба, характерных для бесстыкового пути, это допущение достаточно близко к реальности.

Активная продольная сжимающая сила F на бесконечно малом продольном перемещении dλ в результате изгиба производит работу:

57

Реактивные силы сопротивления изгибу на бесконечно малом поперечном перемещении df производят работу [9]:

Реактивные силы сопротивления q (погонные сопротивления поперечному сдвигу рельсошпальной решетки) на бесконечно малых перемещениях производят работу [10]:

Между f и l в зависимости от конфигурации изогнутой оси стержня существует известная [11] связь:

Практически в решаемой задаче не имеет принципиального значения, какой будет фактическая конфигурация изгиба.

Чтобы связать между собой (2.179), (2.180) и (2.181), необходимо в (2.178) их подставить с учетом, что

то, интегрируя (2.186) в известных пределах (стрелы – от f0 до f и время – от 0 до τ)

получим несколько отличную от (2.157) зависимость:

58

График зависимости (2.188) получим такой же, как на рис. 2.28.

Имеет практический интерес исследовать процесс выпрямления изогнутой оси рельсов в горизонтальной плоскости для случая перемены знака продольной силы с сжимающей на растягивающую. В этом случае можно по результату решения сделать вывод о том, будет ли возникать и накапливаться остаточная стрела изгиба рельсов при ряде суточных колебаний температуры.

Тогда вместо (2.184) нужно записать сумму работ с другими знаками:

В (2.184) учтено, что упругие внутренние силы сопротивления изгибу рельсов способствуют выпрямлению, а диссипативные силы погонного сопротивления сдвигу рельсошпальной решетки в балласте сопротивляются выпрямлению. В этом случае имеем:

График зависимости (2.192) будет таким же, как на рис. 2.29. Полученные энергетическим методом решения совпадают с решениями,

полученными при решении дифференциальных уравнений.

59

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики

/Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. – М. : Высшая школа, 1970. – 712 с.

2Карслоу, Г.Н. Теплопроводность твердых тел / Г.Н. Карслоу, Д. Егер. – М. : Наука, 1964. – 488 с.

3Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. – М. : Высшая школа, 1967. – 599 с.

4Чистяков, Б.П. Термитная сварка рельсовых стыков на железнодорожных путях в СССР и за границей / Б.П. Чистяков. – М. : Транспечать НКПС, 1929.

5Мищенко, К.Н. Бесстыковый рельсовый путь / К.Н. Мищенко. – М. : Трансжелдориздат, 1950. – 88 с.

6Инструкция по устройству, укладке, содержанию и ремонту бесстыково-го пути, утверждённая распоряжением ОАО «РЖД» № 2544р от 14.12.2016. – 176 с.

7Новакович, В.И. Температурный режим и работа концевых участков плетей

/В.И. Новакович // Путь и путевое хозяйство. – 2009. – № 12. – С. 11–14.

8Ершков, О.П. Динамические оценки отступлений в содержании железнодорожного пути и дальнейшее их совершенствование / О.П. Ершков, Н.Ф. Митин ; ЦНТО МПС. – М. : Транспорт, 1989. – 45 с.

9Новакович, М.В. Неровности рельсов в плане и температурный режим бесстыкового пути / М.В. Новакович, В.В. Карпачевский, В.В. Шубитидзе // Путь и путевое хозяйство. – 2011. – № 4. – С. 30.

10Новакович, В.И. Элементы бесстыкового пути: возможности совершенствования / В.И. Новакович // Путь и путевое хозяйство. – 2009. – № 11. – С. 16–

17.

11Першин, С.П. Методы расчета устойчивости бесстыкового пути / С.П. Першин ; под ред. Г.М. Шахунянца // Труды МИИТ. – М., 1962. – Вып. 147. – 97 с.

12А. с. № 226754 СССР. Способ сварки стержней / Е.В. Мазница, В.Ф. Сушков, А.М. Литвинов и [др.]. – 1972. – Бюл. № 27.

13Новакович, В.И. Расчеты железнодорожного пути на прочность и устойчивость : учеб. пособие / В.И. Новакович, Г.В. Карпачевский, Н.И. Залавский ; Рост. гос. ун-т путей сообщ. – Ростов н/Д : [б. и.], 2010. – 35 с.

60