Новакович В.И. Математическое моделирование систем и процессов. Учеб. пособ. 2019

Поскольку ни правая, ни левая части уравнения (2.98) не могут зависеть ни от х, ни от τ, обе они должны быть постоянными. Обозначим эту постоянную через –С 2. Значение постоянной принято отрицательным.

Тогда имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения

Согласно (2.96), учитывая (2.101) и (2.102), получим частное решение:

Сравнивая интеграл в правой части с интегралом Фурье, находим, что уравнение (2.105) удовлетворяется, если

41

Если начальное распределение продольной силы имеет вид, представленный на рис. 2.21:

Рис. 2.21. Локальная начальная неравномерность в распределении продольной силы

что, как выше показано, при некоторых упрощениях можно считать для стержня характерным случаем, то из (2.107) получим:

называемой интегралом вероятностей, или функцией ошибок Гаусса, составлены таблицы значений erf(z), из уравнения (2.109) найдем:

42

Рис. 2.22. Закон изменения F(x,τ) при локальной неравномерности распределения продольной силы

Особый интерес представляют качественная и количественная оценки процесса в точке х = 0, для которой уравнение (2.111) запишется в виде:

Можем приблизительно определить, что для достаточно больших значений τ:

Процесс уменьшения максимальной продольной начальной силы F0 зависит от найденного экспериментально значения N и от площади F0l эпюры F0(x). С увеличением τ становится все более безразличным, какой вид имела эпюра F0(x) – треугольника, трапеции, прямоугольника и т. п. Площадь эпюры F(x) прямо пропорциональна абсолютному удлинению или укорочению стержня во время начального кратковременного внешнего силового воздействия.

При определении законов изменения продольных сил и перемещений в стержне на его концевых участках необходимо рассматривать полубесконечный стержень (0 < x < ∞).

В случае постоянной температурной силы в стержне граничное и начальное условия для решения уравнения (2.93) могут быть представлены в следующем виде:

43

Решение можно получить, применяя закон изменения продольных сил (2.107) для бесконечного стержня. При удовлетворении нового граничного условия решение получим в следующем виде:

Разбивая интеграл на два слагаемых, вводя новые переменные интегрирования и обозначения, аналогичные сделанным выше, получим:

На рис. 2.23 показан характер изменения температурной продольной силы на конце стержня в случае постоянного и длительного отступления температуры рельсов от температуры их закрепления.

то с достаточной для инженерных расчетов точностью можно принять:

44

Тогда зазор на конце двух стержней, включая случай их излома, может быть определен по следующей формуле:

Из формул (2.116) и (2.119) следует, что

Если F0 – длительно сохраняющаяся продольная температурная сила, то

При последующем изменении температуры стрежня по произвольному закону Ft(τ) решение получим в следующем виде:

При заданном законе λ(τ) изменения на конце стержня после преобразований можем записать:

Для суточных колебаний температуры стержня характерным будет

где θ 2π – частота колебаний, τ 24 ч.

Из формулы (2.121) при учете, что

45

имеем:

Второй член правой части уравнения (2.130) соответствует нестационарному возмущению, обусловленному началом знакопеременных перемещений на конце стержня в момент τ = 0. При достаточно больших τ этот член пренебрежимо мал. Оставшийся член соответствует установившимся колебаниям температуры.

Тогда вместо уравнения (2.130) запишем:

На рис. 2.24 иллюстрируется результат решения (2.131) при фиксированных значениях τ1, τ2, τ3, τ4 и τ5, которые подобраны так, чтобы sinθ τ1 = 1, sinθ τ2 = = 0, sinθ τ3 = –1, sinθ τ4 = 0, sinθ τ5 = 1.

Закон изменения продольной силы во времени при суточных колебаниях температуры стержня может быть с известной степенью приближения к действительности определен функцией:

46

Аналогично тому, как получили уравнение (2.131), можем определить, что

Наибольший практический интерес представляет решение задачи о возникновении максимального отступления от установленного техническими указаниями температурного режима стержней при суточных колебаниях температуры (2.132). Расчетный температурный режим определяется только первым членом правой части (2.133). Отступление от этого режима можем найти, вычислив второй член правой части (2.133).

Гармоническая функция (2.133) имеет бесконечное множество экстремумов, уменьшающихся по величине с увеличением x. Значения экстремумов определяются экспоненциальным членом.

Если в стыке постоянное сопротивление продольным перемещениям F0, то отступление от ныне принятого расчетного температурного режима работы в середине стержня будет составлять 4,3 % от разницы F0 Fc . Решение диффе-

ренциального уравнения при новом граничном условии будет совершенно аналогичным.

Решение (2.133) при фиксированных значениях τ1, τ2, τ3, τ4 и τ5, подобранных, как и ранее, через интервал времени, равный четверти периода, иллюстрирует рис. 2.25.

Из решения уравнений (2.131) или (2.133) следует, что длина волны Lв продольных перемещений или продольных сил составляет:

47

Из теории колебаний известно, что скорость распространения волн равна длине волны, деленной на период колебаний:

Как видно из уравнений (2.134) и (2.135), упруго-вязкие характеристики стержня вдоль его оси одинаково влияют и на длину волн продольных перемещений или сил, и на скорость распространения этих волн от концов к середине.

Ранее было установлено, что продольные перемещения в отличие от имевшихся ранее представлений могут происходить на концевом участке стержня не на строго ограниченной длине от стыка. В зависимости от условий на концах при изменении температуры рельсов по сравнению с температурой закрепления стержня перемещения от концов распространяются до середины. Чем короче стержень, тем быстрее эти перемещения достигнут его середины и тем больше в этом месте изменятся продольные температурные силы.

Вследствие этих изменений стыковые зазоры могут достигнуть предельных величин, и продольные силы через торцы стержней или болты станут передаваться на соседние. Тогда дальнейшее перераспределение продольных сил будет происходить по закону, определяемому для неограниченных стержней (2.98).

Таким образом, для коротких стержней, как и для стандартных, представляет интерес закон изменения продольных сил в случае, когда продольные перемещения достигли середины и при этом еще существует возможность для дальнейших перемещений на концах.

Обозначив длину короткого стержня через 2l и выбрав начало координат в его середине, в качестве граничных и начальных условий примем:

Для начального распределения (2.108), которое можно принять как наиболее типичное для стандартной длины стержня, решение можно найти в виде:

Ряд (2.137) при условии (2.108) быстро сходится, и потому с достаточной точностью можно взять в расчет один его первый член, тогда получим:

Наибольший интерес должно представлять изменение максимальной ординаты эпюры в точке x 0:

48

Характерные изменения эпюры продольных сил в коротких рельсовых плетях или стандартном рельсе при фиксированных значениях τ1, τ2, τ3 и т.д. показаны на рис. 2.26.

2.8Устойчивость стержней под действием продольных сил

Вдифференциальном уравнении (2.94) второе слагаемое необходимо учесть со знаком «–», если сжимающая сила стремится изогнуть стержень, а жесткость и погонное сопротивление его сдвигу поперек оси стремятся его удержать на месте.

Тогда математическая модель, дифференциальное уравнение поперечных перемещений стержня под действием продольной сжимающей силы с учетом воздействия поездов и фактора времени для прямого участка, запишется так:

Физическая модель, соответствующая (2.140), представлена на рис. 2.27.

-y

Рис. 2.27. Конфигурация кривой изгиба рельса в плане

49

Решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами может быть найдено методом Фурье как произведение двух функций:

Общее решение первого дифференциального уравнения (2.144), выраженное через гиперболические и тригонометрические функции:

U x Ach xcos x Bch xsin x Csh xcos x Dsh xsin x . (2.149)

50