Новакович В.И. Математическое моделирование систем и процессов. Учеб. пособ. 2019

Остальные работы внешних и внутренних сил аналогичны предыдущим (2.47), (2.48) и (2.49). Тогда при подстановке dAi в (2.30) получим:

Если погонные силы сопротивления пластической среды, в которой находится упругий стержень, настолько велики, что упругий стержень нельзя считать нерастяжимым, то необходимо учитывать продольную жесткость самого стержня, т. е. Eω .

С целью определения математической модели рассмотрим следующую расчетную схему (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Расчетная схема для определения математической модели

Разность длин изогнутой части упругого стержня и стягивающей ее хорды определяется выражением (2.39). Эта разность возникает в результате растяжения стержня продольной силой F на изогнутом участке l по закону Гука:

и продольных перемещений на участках за двумя концами изогнутой оси 2λ:

Решая (2.55) относительно F, найдем:

31

Теперь определим, какую необходимо приложить поперечную сосредоточенную силу Р для изгиба стержня на участке l (2.10).

Единственная активная сила Р совершит работу на бесконечно малом перемещении df:

Работа продольной силы F в пределах растягиваемого участка l на бесконечно малом перемещении du:

Работа этой же силы F на бесконечно малых перемещениях с двух сторон от участка l на бесконечно малых перемещениях dλ:

Работа погонных сил сопротивления q в пределах участка l на бесконечно малом перемещении df:

Работа внутренних сил при изгибе стержня в пределах l:

Теперь определим необходимую поперечную силу G для выпрямления предварительно изогнутого участка l на стрелу f0.

При аналогичных работах внешних и внутренних сил на бесконечно малых возможных перемещениях получим следующую математическую модель:

32

В (2.63) в отличие от (2.62) работа внутренних сил сопротивления изгибу стержня принята с тем же знаком, что и работа силы G на бесконечно малом перемещении df.

Для различных значений f0 по (2.63) можно найти графики зависимостей G (f)

(рис. 2.12).

Рис. 2.12. График зависимости G (f)

Тогда можно определить зависимость Gmax (f0). Она имеет вид, представленный на рис. 2.13.

Рис. 2.13. График зависимости Gmax (f0)

Для определения изменения продольных сил и деформаций в упругих стержнях, находящихся в пластической среде, используется механическая модель, представленная на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Механическая модель в пластической среде

33

Чтобы получить математическую модель, составим уравнение равновесия бесконечно малой части dx:

При граничных условиях для конца полубесконечного упругого стержня x = 0 при x = l и λmax при x = 0, имеющего длину l, получим следующие значения его произвольных постоянных интегрирования:

Формулу (2.73) можно получить проще при использовании энергетического метода.

Элементарная работа dA на сжатие пружины (упругого стержня), имеющей длину l и жесткость E , находится умножением на величину dλ:

34

Интегрируя в определенных пределах:

Получим

Для определения состояния упругих стержней, находящихся в пластической среде по условиям их устойчивости, используется механическая модель, представленная на рис. 2.15.

Рис. 2.15. Механическая модель упругих стержней

Обратимся, как к наиболее простому, к энергетическому методу. Пусть форма искривления упругого стержня задана уравнением (2.37), тогда элементарная работа продольной силы F на возможном перемещении dλ:

а связь между dλ и df при изгибе будет соответствовать (2.44). Тогда работа внутренних сил изгиба выражается так же, как (2.43), а работа сил сопротивления внешней пластической среды так же, как (2.41). Подставляя выражения (2.80), (2.43) и (2.41) с учетом (2.44), получим:

35

Графики функций (2.85) и (2.86), построенные в декартовой системе координат с абсциссой f с одинаковым масштабом, имеют вид, представленный на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Графики функций (2.85) и (2.86)

36

Как видно, решение в данном случае не однозначно даже в том случае, если считать (2.85) и (2.86) детерминированными функциями. Фактически эти функции чаще бывают не детерминированными, а случайными (стохастическими), тогда можно считать, что приведенное решение не может иметь практического применения.

То же самое решение получим, если выполним расчеты методом дифференциальных уравнений. Приняв механическую модель, представленную на рис. 2.15, и исходя из расчетной схемы, приведенной на рис. 2.17, можем составить уравнение равновесия в виде суммы моментов всех активных и реактивных сил,

равной нулю Мi 0 .

Активной силой, выводящей систему из равновесия, является сжимающая сила F. Ее момент

Реактивными силами в данном случае являются внутренние силы изгиба с моментом

Рис. 2.17. Механическая модель

Таким образом

Можно найти решение этого дифференциального уравнения. Чаще пользуются более общим дифференциальным уравнением, дважды дифференцируя

(2.90):

37

Решение (2.90) и (2.91) приведет к тем же уравнениям (2.85) и (2.86), которые были получены выше энергетическим методом.

2.7Математические модели состояния упругих стержней

ввязкой среде

Таким образом, эмпирической моделью, можно считать упругий стержень, находящийся в вязкой среде (рис. 2.18). Эту модель в разных источниках называют моделью Терцаги, Ржаницына, Близара – Кауэра или Гросса – Фуосса.

Дифференциальное уравнение изменений продольных перемещений, соот-

Рис. 2.18. Реологическая модель стержня при продольных перемещениях

38

Рис. 2.19. Упрощенная реологическая модель стержня при продольных перемещениях

Уравнения типа (2.92) и (2.93) известны из курса «Уравнения математической физики» под названием «уравнения теплопроводности».

Для определения поперечных перемещений стержня по аналогии примем реологическую модель, показанную на рис. 2.20. В этой модели упругий стержень имеет изгибную жесткость, а вязкие элементы оказывают сопротивление при перемещениях поперек его оси. Дифференциальное уравнение изменений поперечных перемещений под действием продольных сил для такой модели будет иметь следующий вид:

Если уравнение изогнутой оси балки записано как сумма трех слагаемых, то это алгебраическая сумма (три положительных члена не могут быть равными нулю). В (2.94) записаны два варианта. Если балка подвергается изгибу под действием продольной сжимающей силы F, то при F должен стоять знак «–». Пер-

39

вый член в (2.94) – жесткость балки – во всех вариантах положителен, она сопротивляется изгибу. Третий член должен иметь знак, противоположный знаку при втором члене. Балласт, сдвигаемый шпалами, сопротивляется изгибу или выпрямлению упруго изогнутой балки под действием как продольной сжимающей, так и растягивающей силы.

Рис. 2.20. Реологическая модель стержня при поперечных перемещениях

Решение дифференциального уравнения (2.92), (2.93) и (2.94) известно [1]. Их используют в работах по теории теплопроводности [2, 3], в механике грунтов [4] и др. Воспользуемся этими разработками для определения законов изменения продольных сил и перемещений в стержне, находящемся в длительной эксплуатации. В поставленную задачу входит выбор наиболее интересных с практической точки зрения граничных и начальных условий, фактически имеющих место в стержне.

Рассмотрим возможные случаи возникновения в стержне локальных отступлений от равномерного распределения продольных сил по длине рельсовых плетей. Такое отступление чаще всего образуется при изгибе и выпрямлении стержней во время ремонтных работ.

Возникающие продольные силы при кратковременных силовых воздействиях определяют методами теории пластичности. Этими методами вычисляют начальное локальное отступление

Из решения дифференциального уравнения при начальном условии (2.95),

где T τ – функция, зависящая только от времени τ;

X x – функция, зависящая только от координаты х.

40