Новакович В.И. Математическое моделирование систем и процессов. Учеб. пособ. 2019

Наибольшие напряжения

где W – момент сопротивления сечения стержня, J Wz .

Одной из типичных для элементов верхнего строения пути является математическая модель для расчета стержня с заделанным концом (консоль), изображенная на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Математическая модель стержня с заделанным концом

Изгибающий момент в любом сечении консоли будет равен:

(2.3).

В расчетах может быть использовано понятие «балки равного сопротивления», когда в любом сечении:

При (2.5) изгибающий момент по длине стержня изменяется по тому же закону, что и сопротивление сечения. При прямоугольном сечении стержня

W bh62 , где b – ширина, h – высота сечения (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Прямоугольное сечение стержня

В консоли с условием (2.5) прогиб на ее конце можно определить по следующей формуле:

21

2.2 Типичные математические модели, применяемые для расчета рельсов и шпал

Рельс – это упругий стержень на упругом основании (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Упругий стержень на упругом основании

Уравнение изогнутой оси стержня будет:

Если при распределенной вдоль стержня нагрузке p, то в соседнем сечении, отстоящем от перерезывающей силы на dx:

получим математическую модель в виде дифференциального уравнения:

где U – модуль упругости основания под стержнем. При обозначении

22

Для определения постоянных С3 и С4 используем условия в точке приложения груза. Здесь в силу симметрии

а перерезывающая сила в этой же точке равна:

Пользуясь выражением для третьей производной, можем на основании

Для упругой линии изогнутого стержня имеем:

23

называемых линиями влияния (или инфлюентами), для конкретных условий составлены таблицы их значений, зависящих от коэффициента относительной жесткости k [13].

Линии влияния позволяют получить результат решения по (2.20) или (2.21) сразу от нескольких внешних сил.

2.3 Математическая модель изогнутых коротких стержней на упругом основании

Таким стержнем (балкой) можно считать железнодорожную шпалу (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Математическая модель изогнутых коротких стержней на упругом основании

Здесь необходимо рассматривать два участка упругой линии прогибов от x l2 до x l2 a . На каждом участке имеет место общий интеграл (2.11), но

произвольные постоянные для каждого участка должны быть определены отдельно. Нужно составить восемь уравнений для нахождения восьми произвольных постоянных. На концах шпалы изгибающие моменты и перерезывающие силы равны нулю, следовательно:

24

По середине шпалы в силу симметрии нагрузки получим еще два уравне-

ния:

Остальные четыре уравнения могут быть составлены на основании условий в месте сопряжения двух участков. Очевидно, что оба участка упругого изгиба имеют: 1) одинаковый прогиб y; 2) общую касательную, следовательно, одинаковые значения y ; 3) одинаковые значения изгибающего момента, т. е. y

Кроме того, перерезывающая сила при переходе от одного участка к другому

2.4Математические модели состояния упругих стержней

вупругой среде

Механические модели под действием продольных сжимающих сил изогнутой оси упругих стержней могут быть представлены в следующем виде (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Математические модели состояния упругих стержней в упругой среде

Эти модели известны, как «задачи Эйлера» – задачи на устойчивость продольно сжатых стержней. В этих задачах все факторы, влияющие на напряженнодеформированное состояние, являются детерминированными, а именно – с достаточной точностью известны их длина l и изгибная жесткость в плоскости изгиба EJ. Продольная устойчивость упругих стержней под действием критической силы Fкр по Эйлеру определяется по следующей формуле

25

Fкр – наименьшее значение продольной сжимающей силы, при которой становится возможным искривление стержня.

Для стержня (рис. 2.6, а) n = 0

2.5 Математическая модель упруго изогнутого стержня под действием продольной силы в упругой среде

Расчетная схема его представлена на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Математическая модель упруго изогнутого стержня

Его дифференциальное уравнением будем:

Решение (2.29) быстрее и проще получить энергетическим методом, основанном на принципе Лагранжа: «Сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях равна нулю», т. е.

Для математической модели для схемы рис. 2.6 элементарная работа продольной силы

26

Критическая продольная сила, при которой произойдет искривление упругого стержня, равна:

2.6Математические модели состояния упругих стержней

впластической среде

Вжелезнодорожной инфраструктуре в качестве упругого стержня чаще всего выступает рельс, а средой – его подрельсовое основание, состоящее из скреплений шпал и балласта. Считается, что скрепления со шпалами соединены абсолютно жестко. Если допустить, что возможны продольные перемещения рельсов относительно шпал – угон, то это значит допустить аварийное состояние верхнего строения железнодорожного пути. Таким образом, в расчетах следует исходить из того, что возможны продольные перемещения рельса только вместе со шпалами, которым препятствует сопротивление балласта. Это сопротивление балласта сдвигу в нем шпал, прикрепленных к рельсу, считаем пластическим (или фрикционным), если воздействие поездов не учитывается.

Достаточно много примеров, когда воздействие поездов не возникает. Например, когда производятся путевые работы в период прекращения движения поездов, т.е. в так называемое «оконное» время. В «оконное» время выполняются

27

путевые работы с применением выправочно-подбивочно-рихтовочных (ВПР) машин, при выполнении сварочных работ с применением передвижных рельсосварочных машин (ПРСМ) или с применением оборудования для алюминотермитной сварки используют гидравлические натяжные устройства (ГМУ) или нагревательные приборы. Во всех перечисленных случаях в рельсах возникают продольные силы, под действием которых происходят продольные, а иногда и поперечные перемещения отдельных рельсов или всей рельсошпальной решетки.

Обычно в таких случаях для вывода расчетных формул рационально воспользоваться энергетическим методом. В этом методе задаются конфигурацией кривой изогнутой оси упругого стержня. Чаще всего этот изгиб соответствует «одностороннему изгибу», который можно отобразить смещенной синусоидой

Из математического анализа известно, что разница λ для кривой (2.37) и стягивающей ее хордой может быть найдена из выражения:

Если, например, необходимо изогнуть упругий стержень силой Р на стрелу f, на длине l в пластической среде (рис. 2.8), в которой есть погонные сопротивления сдвигу стержня поперек оси q и вдоль оси r, один конец стержня заделан, а другой имеет длину L, то для того, чтобы воспользоваться принципом Лагранжа (2.30), нужно определить величину элементарных работ dAi .

Рис. 2.8. Упругий стержень силой в пластической среде

28

Стержень считаем нерастяжимым (такое условие принимается, когда под действием продольных сил сжатием или растяжением можно пренебречь).

Работа внешней силы Р на бесконечно малом перемещении df:

Работа распределенных сил сопротивления поперечным перемещениям q на длине изогнутого участка l:

Работа сил погонного сопротивления продольным перемещениям r участка стержня на длине L:

Для того чтобы установить связь между бесконечно малыми перемещениями вдоль (dλ) и поперек (dr), продифференцируем (2.39):

Тогда при подстановке (2.40)–(2.43) в (2.30) с учетом (2.44) получим:

Здесь одна сила P – активная, остальные реактивные.

Рассмотрим другой вариант, например, под действием продольной силы выпрямляется предварительно изогнутый участок упругого (на изгиб), но нерастяжимого продольной силой стержня (рис. 2.9).

29

Поскольку начальная стрела f0, то выпрямление происходит от стрелы f0 по переменной φ f0 f . Связь между продольными и поперечными перемещени-

ями определяется следующей зависимостью:

Работа распределенных сил сопротивления поперечным перемещениям q на длине изогнутого участка l:

Работа внутренних сил изгиба рельсов будет иметь тот же знак «‒» как и в (2.44), поскольку упруго изогнутый стержень стремится выпрямиться под действием потенциальной энергии, возникающей в нем при изгибе

Тогда с учетом (2.46) при подстановке в (2.30), (2.44), (2.47), (2.48) и (2.49)

получим:

Окончательное выпрямление предварительно изогнутого участка со стрелой f0 силой F невозможно, так как при f 0, F . Тогда для выпрямления его

необходимо приложить поперечную силу G по схеме (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Расчетная схема для определения силы G

30