Новакович В.И. Математическое моделирование систем и процессов. Учеб. пособ. 2019

имеющей вид, представленный на графике (рис. 1.8, а) и моделью (рис. 1.8, б).

Хотя зависимость (1.10) и соответствующая ей модель точнее аппроксимируют функцию (1.7), но из-за математической сложности использования в расчетах она, как правило, не находит практического применения.

Математические модели состояния (1.8)–(1.10), состоящие из упругого и пластического элементов, отражают свойства материалов и конструкций и их элементов в статике. В них силы и деформации не зависят от фактора времени.

Если нас интересует ответ на вопрос: «Когда и как будут меняться силы и деформации с течением времени?», то вместо диссипативных сил сопротивления, возникающих в пластических элементах моделей (1.8)–(1.10), следует в математических моделях использовать вязкие элементы, в которых силы и деформации подчиняются закону вязкости Ньютона (1.6).

Приведенные выше три вида моделей (1.8)–(1.10) для инженерных расчетов достаточно полно отражают возможные механические свойства материалов,

11

конструкций и их элементов. Возможны всякого рода уточнения конкретных свойств, например, модель Муроямы состоит из упругого элемента, соединенного последовательно с тремя параллельными относительно друг друга пластическим, вязким и упругим элементами (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Модель Муроямы

Модель Бингема имеет вид последовательно соединенного упругого элемента с двумя параллельно соединенными пластическим и вязким элементами

(рис. 1.10).

Рис. 1.10. Модель Бингема

Модель Шведова имеет вид, представленный на рис. 1.11.

12

Дифференциальное уравнение, отражающее математическую модель Кельвина (рис. 1.12), можно представить как систему следующих уравнений:

Здесь индексы b и у означают соответственно вязкость и упругость элемента, а цифры – его номер на рис. 1.12. Исключив из уравнений (1.11) погонные сопротивления и деформации, относящиеся к отдельным элементам, получим закон деформирования тела, соответствующего модели Кельвина:

С целью сокращения записи введем другие обозначения:

Для большинства практических приложений модель Кельвина является достаточно общей. Этой модели при учете приведенных обозначений соответствует следующее дифференциальное уравнение:

где п – время релаксации, с; Н – длительный модуль упругости, кН/м2;

Ux – мгновенный модуль упругости, кН/м2.

Для такой модели Кельвина при r = const решение дифференциального уравнения (1.13) будет иметь следующий вид:

График уравнения (1.14) имеет вид, представленный на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Зависимость λ(τ) при r const , соответствующая модели Кельвина

14

Зависимость (1.14) представлена экспоненциальной кривой изменения деформации λ во времени при постоянной нагрузке r = const. Такая зависимость используется в экспериментах «на ползучесть». Для модели Кельвина характерным признаком является начальная упругая деформация величиной λ0 r U x , за-

нения (1.13) будет иметь следующий вид:

Зависимость (1.15) – это экспоненциальная кривая изменения силы r во времени при постоянной деформации 0 const . Такая зависимость исполь-

зуется в экспериментах «на релаксацию». Для модели Кельвина характерным признаком является уменьшение начального значения силы r0 по экспоненте, приближающейся к асимптоте r H 0 .

Может оказаться, что законы деформирования соответствуют более простому дифференциальному уравнению по сравнению с уравнением (1.13) и, значит, более простой модели, например модели Фойгта (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Модель Фойгта

Этой модели соответствует дифференциальное уравнение состояния

15

Рис. 1.16. Зависимость λ(τ) при r const , соответствующая модели Фойгта

При const r H const (рис. 1.17), это означает, что тело, свойства которого отражаются моделью Фойгта, не релаксируется.

Другой, более простой моделью, чем модель Кельвина, является модель Максвелла (рис. 1.18).

Рис. 1.18. Модель Максвелла

16

соответствующая модели Максвелла

Рис. 1.20. Зависимость r(τ) при const , соответствующая модели Максвелла

Рассмотренные математические модели, отражающие процессы деформирования тел во времени, являются теоретическими и одновременно эталонными. Они необходимы для того, чтобы полученные при экспериментах зависимости сравнить с эталонными. Таким образом, можно определить математическую модель, которая соответствует натуре. А это в свою очередь необходимо для того,

17

чтобы вычислить реологические константы, которыми являются в рассмотренных моделях коэффициент вязкости, время релаксации, мгновенный и длительный модули упругости. Затем найденные значения реологических констант можно будет использовать при решении практических инженерных задач.

Эталонные модели Кельвина, Фойгта, Максвелла были найдены при усло-

При условии (1.23) решение дифференциального уравнения Максвелла (1.19) будет иметь следующий вид:

При замене переменной w в диаграмме r(τ) можем получить зависимость r(λ), которой пользовались выше при рассмотрении статических моделей.

Для случая периодического знакопеременного изменения сил r или деформаций λ: r r0 sin и 0 sin( ) , решение дифференциального уравне-

ния (1.13) будет иметь следующий вид:

Зависимость (1.26) представляет собой уравнение эллипса с центром в начале координат с главной осью, наклоненной к оси λ под углом α (рис. 1.21), при этом

Площадь эллипса, называемого петлей гистерезиса, равна работе Ar, произведенной погонными сопротивлением за один полный цикл колебаний:

18

Рис. 1.21. Петля гистерезиса зависимости r(λ)

Из решения дифференциального уравнения (1.13) можем получить следующие выражения, определяющие количество работы:

Петли гистерезиса можно получить и при других знакопеременных несинусоидальных изменениях ±r0 или ±λ0. Площадь петли гистерезиса эквивалента работе диссипативных сил сопротивления в рассматриваемом теле. Аналогичные петли гистерезиса получают и при статическом изменении диссипативных сил сопротивления среды при построении диаграммы r(λ).

19

2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ В ПРЕДЕЛАХ СТАТИКИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В РАСЧЕТАХ ЭЛЕМЕНТОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ

Математические модели состояния механических систем и процессов существуют в бесконечном множестве. В настоящей главе рассмотрим те из них, которые наиболее близки к применяемым в расчетах объектов железнодорожной инфраструктуры. Из объектов железнодорожной инфраструктуры наибольший интерес представляют элементы верхнего строения пути.

2.1 Математические модели, отражающие изгиб стержней из упругого материала

Изгиб стержня происходит, если поперечные сечения при деформации наклоняются друг к другу с искривлением его оси. В простейшем случае «чистого» изгиба в стержне действует пара сил в плоскости, проходящей через его ось.

Примером можно привести случай, показанный на рис. 2.1.

Рис. 2.1. «Чистый» изгиб в стержне

Тогда для любого сечения стержня на промежутке между опорами А и В действует момент сил Ра. Если считать, что радиус кривизны ρ нейтральной оси стержня не изменяет длины стержня при изгибе, то находящиеся на расстоянии z от нейтральной оси стержня волокна изменяют свою длину, и это относительное удлинение можно выразить следующим уравнением:

С учетом «гипотезы плоских сечений» мы можем вычислить напряжения (сила, приходящаяся на единицу площади ). Тогда изгибающий момент М будет равен:

где J – момент инерции сечения;

E – модуль упругости материала стержня.

20