Новакович В.И. Математическое моделирование систем и процессов. Учеб. пособ. 2019

УДК 625.1(07) + 06

Рецензенты: кандидат технических наук, доцент С.В. Литвинов (ДГТУ); доктор технических наук, профессор В.И. Куштин (РГУПС)

Новакович, В.И.

Математическое моделирование систем и процессов: учеб. пособие / В.И. Новакович, Е.В. Корниенко; ФГБОУ ВО РГУПС. – Ростов н/Д, 2019. – 60 с.: ил.

– Библиогр.: с. 60.

ISBN 978-5-88814-854-9

В пособии изложены методы определения математических моделей состояния и процессов, которые положены в основу теории расчетов железнодорожного пути на прочность и устойчивость.

Предназначено для студентов строительного факультета, выполняющих курсовое и дипломное проектирование, а также аспирантов. Может быть использовано преподавателями и инженерно-техническими работниками путевого хозяйства железных дорог.

Одобрено к изданию кафедрой «Путь и путевое хозяйство».

Учебное издание

Новакович Василий Иванович Корниенко Елена Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

Редактор Т.И. Исаева Техническое редактирование и корректура Т.И. Исаевой

Подписано в печать 22.07.19. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,49. Тираж 500 экз. Изд. № 89. Заказ .

Редакционно-издательский центр ФГБОУ ВО РГУПС.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, д. 2.

2

1.2Математические модели, отражающие пластические свойства материалов, конструкций и их элементов ……………………………. 7

1.3Математические модели, отражающие вязкие свойства материалов, конструкций и их элементов …………………………………………... 8

1.4Аппроксимирующие функции, заменяющие более сложные зависимости при математическом моделировании состояний

2.3Математическая модель изогнутых коротких стержней на упругом основании ……………………………………………………………… 24

2.4Математические модели состояния упругих стержней

вупругой среде ………………………………………………………… 25

2.5Математическая модель упруго изогнутого стержня под действием продольной силы в упругой среде ……………………………………. 26

2.6Математические модели состояния упругих стержней

впластической среде …………………………………………………... 27

2.7Математические модели состояния упругих стержней

ввязкой среде ………………………………………………………….. 38

2.8Устойчивость стержней под действием продольных сил …………... 49

2.9Устойчивость стержней под действием продольных сжимающих

сил в кривых участках ………………………………………………... 54

2.10Энергетический метод определения устойчивости стержня под действием продольных сжимающих сил ………………………. 57

Библиографический список ………………………………………………….. 60

3

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие «Математическое моделирование систем и процессов» для специальности «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей» предназначено для изучения систем и процессов, протекающих в конструкциях верхнего строения железнодорожного пути.

В настоящем пособии не рассматриваются системы и процессы, в которых присутствуют движущиеся или вращающиеся элементы конструкций, как в машинах и механизмах, и, значит, возникающие при этом инерционные силы, которые выражаются элементами, имеющими определенную массу и ускорение движения этой массы, а также гармонические колебания этих масс. Учет воздействия внешних инерционных сил может быть осуществлен через изменяющиеся механические характеристики материала элементов конструкции, если силы и деформации в этих элементах рассматриваемых конструкций изменяются достаточно медленно.

Приведенные в настоящем учебном пособии математические модели систем и процессов подчиняются законам деформирования, рассматриваемым в пределах теории упругости, пластичности и ползучести. В основе теории упругости лежит закон Гука, отражающий процессы деформирования идеально упругих тел, то есть элементов конструкций, в которых под действием сил кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную, не вызывая остаточных деформаций. Теория пластичности используется в тех случаях, когда требуется знать изменение сил и перемещений в конструкциях при возникновении в их элементах остаточных деформаций. Остаточные деформации возникают, когда силы сопротивления в элементах конструкции оказываются диссипативными, то есть кинетическая энергия не переходит в потенциальную, диссипируется (переходит в тепло или дислокацию частиц деформируемого тела относительно друг друга). Теория пластичности учитывает как упругие деформации, так и подчиняющиеся закону Кулона остаточные перемещения, когда они происходят до наступления нового состояния равновесия системы (сухое трение или фрикционные сдвиги).

Теория ползучести, как наиболее общая теория расчета сооружений, рассматривает напряженно-деформируемое состояние конструкций и их элементов в случаях, когда наряду с упругими и пластическими деформациями возникают еще и вязкие деформации, подчиняющиеся закону вязкости Ньютона. Закон вязкости Ньютона рассматривает процессы деформирования, когда силы, действующие в элементах конструкций, оказываются пропорциональными скорости деформаций.

Механической характеристикой материалов в идеально упругих элементах конструкций является модуль упругости. В идеально пластических телах – сила сдвига. В идеально вязких телах – это коэффициент вязкости, т. е. коэффициент пропорциональности между силой, действующей на элемент конструкции, и скоростью деформации в нем.

4

Для расчета сил и деформаций в конструкциях и их элементах, как правило, для тех реальных условий, в которых они работают, необходимо определить доминирующее свойство, для простоты расчета желательно взять одно из них, которого достаточно для объяснения явления. Возможно учесть иногда сразу и два свойства, например считать тело имеющим упругопластические или упруго-вязкие свойства. Все три механические свойства практически учитывать никогда не требуется. Модель – это материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания замещает оригинал. Математическая модель – это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий. Существует два основных класса задач, связанных с математическим моделированием: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели известны и остается только исследовать ее, а во втором какие-то параметры модели неизвестны и требуется их найти.

Таким образом, любые математические формулы и зависимости, отражающие состояние объекта или процессы в объекте, можно считать математическими моделями. Но наиболее универсальными математическими моделями считаются дифференциальные уравнения. Их частные решения – это и есть процессы и состояния, выражаемые математически в виде формул или зависимостей, которые отражают фактически только одно из свойств объекта, соответствующее заданным начальным или граничным условиям.

5

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ В ПРЕДЕЛАХ СТАТИКИ

1.1 Общие сведения о математических моделях, отражающих упругие свойства материалов, конструкций и их элементов

Упругие свойства материалов, из которых состоят конструкции и их элементы, имеющие конечные размеры, отражаются обычно законом Гука, записываемым в следующем виде:

к длине объекта, на которой произошла эта деформация (безразмерная величина). Физический смысл модуля упругости Е – это сила, распределенная на еди-

нице площади, вызывающая единицу относительной деформации.

Часто принято изображать упругость как физическую модель в виде пружины (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Физическая модель пружины

Упругость обычной цилиндрической пружины, состоящей из нескольких витков проволоки (прутка), отражают еще и такой зависимостью:

где F – продольная сила сжатия или растяжения, Н;

z – абсолютная деформация (растяжение или сжатие пружины), м; Ж – жесткость пружины, Н/м.

Могут потребоваться расчеты таких элементов конструкций, которые имеют практически бесконечные размеры. Это, например, «упругое полупространство» или стержни бесконечной или полубесконечной длины.

Для расчета стержней, балок или плит, лежащих на упругом основании (упругом полупространстве), используют такие понятия, как модуль упругости основания U (Н/м2) или коэффициент постели С (Н/м3).

Физический смысл U – это сила, распределенная на единице длины, вызывающая единицу прогиба основания. Физический смысл С – это сила, распределенная на единице площади, вызывающая единицы прогиба основания (постели).

6

Зависимость, отражающую силы и деформации основания при прогибе упругой балки, лежащей на упругом полупространстве, называют гипотезой Винклера:

где p – сила, распределенная на единице площади, Н/м2.

График функций (1.1)–(1.4) имеет вид прямых линий, проходящих через начало координат (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Графики функций (1.1)–(1.4)

1.2 Математические модели, отражающие пластические свойства материалов, конструкций и их элементов

Пластичность – это свойство материала, конструкции или ее элементов деформироваться только при достижении действующих на объект сил определенной величины. Силы меньшей величины условно не вызывают никаких деформаций, а при достижении силы предельного значения возникает деформация любой величины до приобретения объектом нового состояния равновесия.

Наиболее типичным примером пластических деформаций являются деформации сдвига (фрикционные сдвиги, сухое трение, хрупкое разрушение), подчиняющиеся закону Кулона.

Часто принято изображать пластичность как физическую модель в виде двух стержней, концы которых сжаты накладками (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Стержень, с сжатыми концами накладками

7

Графики зависимости силы сдвига R от деформации, подчиняющейся закону Кулона, выглядит так, как это изображено на рис. 1.4.

Рис. 1.4. График зависимости силы сдвига R от деформации

Можно с некоторой степенью приближения к реальным условиям считать подчиняющимися законам Кулона продольные силы в накладках, прижимающих концы соединяемых между собой рельсов.

Также весьма приближенно иногда считают подчиняющимися закону Кулона силы сдвига шпал в балласте вдоль или поперек оси железнодорожного пути.

Чаще всего для удобства расчетов пользуются не сопротивлением шпал, а погонным сопротивлением, т. е. сопротивлением шпал, отнесенным к единице длины – вдоль оси пути r Rlш , где lш – расстояние между осями соседних

шпал. Или q Qlш – погонным сопротивлением балласта сдвигу шпал поперек оси пути.

1.3 Математические модели, отражающие вязкие свойства материалов, конструкций и их элементов

Вязкие свойства материалов, конструкций и их элементов проявляются, когда под действием на них сил возникает деформация, имеющая некоторую скорость, прямо пропорциональную величине силы. В этом случае в рассматриваемом объекте проявляется действие закона вязкости Ньютона, например:

здесь r – погонное сопротивление балласта сдвигу шпал, Н/м;

К – коэффициент вязкости балласта, сдвигаемого шпалами вдоль оси пути, Н с/м2;

dλdτ – скорость деформации балласта, сдвигаемого шпалами вдоль

оси пути, м/с.

Аналогично имеем зависимость

где ξ – коэффициент вязкости балласта, сдвигаемого шпалами поперек оси пути, Н с/м2;

8

оси пути, м/с.

Свойство вязкости щебеночного балласта, тем более других видов балласта, проявляется, главным образом, при достаточно частых проходах поездов, сотрясающих верхнее строение пути. Эффект «псевдосжижения» сыпучей среды используется в различных технологиях, например в пищевой или фармацевтической промышленности или при производстве строительных материалов (цемента, бетона и др.), а также в металлургии. При вибрационном воздействии на сыпучую среду и под действием внешних сил легче и быстрее можно смешать разные ингредиенты.

1.4 Аппроксимирующие функции, заменяющие более сложные зависимости при математическом моделировании

состояний и процессов

Наиболее часто при статическом испытании различных материалов, конструкций и их элементов зависимость сил от деформаций имеет вид степенной функции типа (это необязательно щебеночный балласт):

Зависимость r(λ) на всей ее интересующей нас области значений моделировать одной из вышеприведенных простых функций не представляется возможным. Однако если нас интересует какой-либо определенный ограниченный интервал деформаций, то может оказаться достаточным для объяснения явления одна из приведенных выше зависимостей. Например, при достаточно малой деформации может быть с приемлемой точностью для расчетов использована функция, отражающая только упругие свойства объекта (1.1)‒(1.4). Если деформация велика, то аппроксимирующей функцией может оказаться зависимость,

9

подчиняющаяся закону Кулона, представленная на рис. 1.4. Если из эксперимента видно, что скорость деформации явно растет в зависимости от увеличения силы, то ее следует представить в модели зависимостью (1.6). Количественная оценка сил и деформаций для решения вопроса о том, к какой модели их отнести, весьма относительна и должна исходить из соображений практической целесообразности, т. е. настолько, насколько используемая упрощенная математическая модель достаточно точно соответствует натуре.

1.5 Двухэлементные математические модели

Функция (1.7) (рис.1.5) может быть аппроксимирована функцией вида

которая представлена в виде графика (рис. 1.6, а), известного из механики как диаграмма Прандтля. Модель в данном случае состоит из упругого и пластического элементов, расположенных последовательно (рис. 1.6, б).

Рис. 1.6. Аппроксимированная функция r aλb : а) диаграмма Прандтля; б) механическая модель

Также функция (1.7) (рис. 1.5) может быть аппроксимирована функцией

вида

представленной на графике (рис. 1.7, а) моделью (рис. 1.7, б).

Можно функцию (1.7) аппроксимировать более сложной зависимостью

10