Лабораторная работа 4 Дискретные распределения. Биномиальное распределение

Определение. Случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону, если она может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностями

, (4.1)

где m = 0, 1, …, n; p = P(A) = const – вероятность наступления события А в каждом испытании, q =1 − p; порядок появления события А в серии n независимых испытаний несуществен.

Расчеты по формуле (4.1) можно проводить непосредственно или с использованием встроенной функции БИНОМРАСП(m, n, p, ЛОЖЬ). Последний параметр является переключателем с положениями ЛОЖЬ и ИСТИНА. Положению ЛОЖЬ (значению 0) соответствует закон распределения вероятностей, а положению ИСТИНА (значению 1) – функция распределения вероятностей (интегральная функция распределения).

Математическая функция СУММПРОИЗВ перемножает соответствующие элементы заданных массивов и возвращает сумму произведений. Например, по формуле СУММПРОИЗВ(А1:А9;В1:В9) находится сумма парных произведений элементов массивов А1:А9 и В1:В9. С помощью этой функции будем находить математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, заданной рядом распределения.

Задача 4.1

Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n = 4, p = 0,8. Необходимо:

1. Составить закон распределения случайной величины Х.

2. Построить многоугольник распределения.

3. Построить график функции распределения F(x).

4. Найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).

Решение

1. В диапазон В1: F1 введем возможные значения Х: 0, 1, 2, 3, 4.

2. Для нахождения вероятностей по формуле Бернулли (4.1) выделим ячейку В2 и выполним команду « /Статистические/ БИНОМРАСП / ОК». Введем данные в открывшееся диалоговое окно (рис. 4.1) и нажимаем «ОК».

Рис. 4.1

3. Копируем формулу заданного распределения в ячейки диапазона С2:F2.

4. В ячейке G2 проверим, что сумма вероятностей распределения равна 1. Для нахождения суммы вероятностей выделяем диапазон В2:G2 и нажимаем кнопку строки инструментов Excel (рис. 4.2).

Рис. 4.2

5. Выделяем диапазон В1: F2 и с помощью «Мастера диаграмм» строим точечную диаграмму (рис. 4.3).

Рис. 4.3

6. Для построения графика функции распределения F(x) на отрезке [0; 4.8] в диапазон А4:А28 введем значения аргумента с шагом 0,2. Затем с помощью функции БИНОМРАСП в ячейке В4 найдем значение функции распределения (рис. 4.4), скопируем введенную формулу в диапазон В4:В28. Обратите внимание, что в Excel функция распределения определяется следующим равенством , а в отечественной литературе формулой . Теперь выделяем диапазон А4:В28 и с помощью «Мастера диаграмм» строим график (рис. 4.5).

Рис. 4.4

Рис. 4.5

7. Найдем математическое ожидание по формуле . Для этого выделим ячейку Н2 и выполним команду « /Математические/ СУММПРОИЗВ/ ОК», заполним диалоговое окно функции СУММПРОИЗВ (рис. 4.6). Нажав «ОК», получим М(Х) = 3,2. Результат легко проверить, учитывая, что математическое ожидание биномиального распределения

М(Х) = np = 4*0,8 = 3,2.

Рис. 4.6

8. Для нахождения дисперсии по формуле в ячейку В3 вводим формулу =(В1-3,2)^2 и копируем ее в диапазон В3: F3, затем в ячейку I2 вводим формулу = СУММПРОИЗВ(В3: F3;В2: F2), нажав «ОК», найдем дисперсию D(X) = 0,64. Используя формулу для дисперсии биномиального распределения D(X) = npq = 4*0.8*0.2=0.64, убеждаемся в правильности результата.

Замечание. При большом числе опытов удобнее пользоваться приближенными формулами. Если npq≥10, то пользуются локальной формулой Муавра-Лапласа

, где .

Если npq < 10 и p < 0.1, пользуются формулой Пуассона

, где λ = np.

Распределение Пуассона.

Определение. Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если Х может принимать только целые неотрицательные значения:

0, 1, …, m,… с вероятностями

, (4.2)

причем последовательность этих значений теоретически неограниченна.

Расчеты по формуле (4.2) можно проводить как непосредственно так и с помощью встроенной функции ПУАССОН(m, λ, ЛОЖЬ).

Задача 4.2

Завод отправил 10000 изделий. Вероятность того, что одно изделие в пути будет повреждено – 0,00015. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:

а) три изделия;

б) хотя бы одно;

в) менее трех;

г) более трех.

Решение

Имеем n = 10000, p = 0,00015, q = 1 – p = 0,99985, npq = 1,499775 < 10, p < 0.1, применяем формулу Пуассона (4.2), где λ= np =1,5.

Найдем по формуле (4.2) вероятности, с которыми принимаются значения 0, 1, 2, 3. Для этого введем эти значения в диапазон А2:А5. Выделим ячейку В2, выполним команду « /Статистические/ ПУАССОН/ ОК» и введем данные в диалоговое окно (рис. 4.7). Нажав ОК, в В2 находим вероятность Р(Х = 0) = 0,22313. Копируем формулу Пуассона в ячейки В3:В5. Теперь ответим на поставленные в задаче вопросы.

Рис. 4.7

В ячейке В5 находится ответ на первый вопрос Р(Х = 3) = 0,125511.

Вероятность, что будет повреждено хотя бы одно изделие, найдем по формуле Р(Х≥1)=1−Р(Х = 0). Введем в ячейку D2 формулу = 1−В2, получим Р(Х≥1) = 0,77687.

Для нахождения вероятности повреждения менее трех изделий Р(Х<3) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2) в ячейку D3 введем формулу = В2+В3+В4, получим Р(Х<3) = 0,808847.

Для нахождения вероятности повреждения более трех изделий в D4 введем формулу = 1 − D3-В5 и найдем вероятность Р(Х>3) = 0,065642.