Лабораторная работа 10 Статистическая проверка гипотез о равенстве дисперсий и о равенстве средних

Дисперсия характеризует точность работы приборов, технологических процессов и т.д. Поэтому, когда хотят сравнить точность двух приборов, двух методов измерения, решают задачу проверки гипотезы о равенстве дисперсий.

Задача 10.1

Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил:

Расход сырья	304	307	308
Число изделий	1	4	4

По новой технологии:

Расход сырья	303	304	306	308
Число изделий	2	6	4	1

Предполагая, что соответствующие генеральные совокупности X и Y имеют нормальные распределения, проверить гипотезу о равенстве дисперсий

Решение

Первый способ

1. Выдвигаем основную гипотезу : D(X)=D(Y) при альтернативной гипотезе : D(X) D(Y).

2. Зададим уровень значимости = 0,1.

3. Выбираем критерий , где , – исправленные выборочные дисперсии. Если справедлива гипотеза , то критерий имеет F – распределение (распределение Фишера-Снедекора) со степенями свободы , . Найдем . Для этого введем в ячейки А2:А10 значения , а в В2:В14 – , повторяя каждое значение столько раз, какова его частота. Применяя функцию ДИСП из категории статистических функций (рис. 10.1), в ячейке А11 находим , а в ячейке В15 ; так как , то в дальнейшем полагаем , (далее переменная 1 – y, переменная 2 – x).

Рис. 10.1

4. Найдем критическую область. Поскольку критерий двухсторонний, задаем /2 = 0,05; число степеней свободы числителя , число степеней свободы знаменателя . В D4 найдем Fкр из условия . Для этого используем статистическую функцию FРАСПОБР (рис. 10.2).

Рис. 10.2

5. Наблюдаемое значение критерия найдем в ячейке D5. Так как F< Fкр, то принимаем основную гипотезу.

Второй способ

Используем двухвыборочный F-тест для дисперсии, позволяющзий сравнивать дисперсии двух генеральных совокупностей при заданном уровне значимости . В случае двухсторонней критической области уровень значимости критерия уменьшают в два раза, т.к. F-тест находит только F критическое одностороннее.

1. Скопируем данные столбцов А и В на новый рабочий лист.

2. Выполним команды «Сервис / Анализ данных / Двухвыборочный F-тест для дисперсий» и зададим данные в открывшемся диалоговом окне, учитывая, что первой считается переменная с большей выборочной дисперсией (рис. 10.3).

Рис. 10.3

Нажмем «ОК» и получим (рис. 10.4):

Рис. 10.4

Здесь , где , – исправленные выборочные дисперсии; df – число степеней свободы; F = 1,360742706 – наблюдаемое значение критерия, Fкр = 3,283939006.

Так как F< Fкр, то нет оснований отвергать основную гипотезу.

Ответ. Гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

Задача 10.2

По данным задачи 10.1 проверить гипотезу о равенстве двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы.

Решение

Первый способ

1. Выдвигаем основную гипотезу : М(X)=М(Y) при альтернативной гипотезе : М(X) М(Y).

2. Зададим уровень значимости = 0,1.

3. Выбираем критерий

. (10.1)

Если справедлива основная гипотеза, то критерий имеет t – распределение Стьюдента с k степенями свободы.

4. Из условия находим . Для этого используем встроенную функцию СТЬЮДРАСПОБР (рис. 10.5).

Нажмем «ОК» и получим tкр = 1,724718.

Рис. 10.5

5. Для нахождения tнабл в ячейку D15 введем формулу (7.1) = (G5 – H5)/((1/9+1/13)*(8*H6+12*G6)/20)^(1/2) и получим tнабл = – 3,85778.

Так как |tнабл|> tкр, то гипотеза отвергается.

Второй способ

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями применяется при сравнении двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы. Выборки небольшие и независимые.

Выполняем команды «Сервис / Анализ данных / Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» и заполняем диалоговое окно (рис. 10.6).

Рис. 10.6

Выполнив «ОК», имеем (рис. 10.7).

Рис. 10.7

Так как

|t–статистика|=|tнабл|=3,857777671>tкр.двухстор.= 1,724718218,

то гипотеза отвергается.

Ответ. При переходе на новую технологию произошло изменение среднего расхода сырья на одно изделие.