Лабораторная работа 8 Построение вариационных рядов и нахождение их числовых характеристик

Задача 8.1

Дана выборка значений некоторой случайной величины Х объемом n = 50: 6,77; 6,81; 6,82; 6,72; 6,74; 6,78; 6,82; 6,73; 6,79; 6,69; 6,77; 6,78; 6,75; 6,73; 6,73; 6,76; 6,70; 6,71; 6,77; 6,72; 6,77; 6,72; 6,71; 6,80; 6,71; 6,70; 6,74; 6,70; 6,80; 6,74; 6,73; 6,76; 6,81; 6,75; 6,74; 6,78; 6,78; 6,80; 6,74; 6,75; 6,76; 6,76; 6,81; 6,77; 6,75; 6,76; 6,75; 6,76; 6,76; 6,72.

Необходимо:

1. Составить интервальный вариационный ряд. Число частичных интервалов положить равным 6.

2. Построить гистограмму частот.

3. Перейти от интервального вариационного ряда к дискретному вариационному ряду и построить полигон частот.

4. Найти среднее арифметическое , выборочную дисперсию , исправленную выборочную дисперсию , исправленное среднее квадратическое отклонение S.

5. Построить доверительный интервал, с надежностью 0,95 покрывающий математическое ожидание.

Решение

1. Введем исходные данные в диапазон А1:А50.

2. Расположим элементы выборки в порядке неубывания. Для этого выделим ячейки с исходными данными и нажмем кнопку .

3. Из полученного ряда находим

4. Найдем размах варьирования (выборки) Для этого в ячейку В8 введем формулу =А50 −А1 и найдем

5. Оценим в ячейке С8 шаг варьирования (длину частичного интервала) Округлим в большую сторону и положим

6. Оценим начало первого интервала

Тогда конец последнего интервала будет , поэтому необходимо либо добавить один частичный интервал, либо увеличить шаг варьирования. Пусть , тогда и .

7. Введем в ячейки В1:В7 координаты концов частичных интервалов следующим образом: вначале введем в ячейку В1 начальное значение 6,678, затем выполним команды «Правка / Заполнить / Прогрессия» и заполним открывшееся диалоговое окно (рис. 8.1).

Рис. 8.1

8. В ячейке С1 подсчитаем число наблюдаемых значений в выборке, лежащих левее 6,701. Для этого выполним команду « / Статистические / СЧЕТЕСЛИ/ОК» и введем данные в открывшееся диалоговое окно (рис. 8.2).

Рис. 8.2

9. Затем в ячейке С2 подсчитаем число наблюдаемых значений, лежащих левее 6,726. Продолжая аналогично, получим (рис. 8.3).

Рис. 8.3

10. В ячейках D1:D6 подсчитаем координаты середин частичных интервалов. В ячейку D1 введем формулу =(В1+В2)/2 и копируем ее в диапазон D2:D6.

11. Для подсчета частот попадания наблюдаемых значений в частичные интервалы введем в ячейку Е1 частоту попадания в первый интервал 4, а в ячейку Е2 – формулу = С2 − С1. Копируя формулу в ячейки Е3:Е6, найдем частоты (рис. 8.4).

Рис. 8.4

12. Запишем полученный интервальный вариационный ряд

[6.678;6.702)	[6.702;6.726)	[6.726;6.750)	[6.750;6.774)	[6.774;6.798)	[6.798;6.822)
4	7	9	17	5	8

13. Гистограмму частот диапазона Е1:Е6 построим с помощью «Мастера диаграмм». Выполним команды « /Гистограмма», укажем диапазон данных Е1:Е6 и на вкладке «Ряд (подписи оси )» укажем координаты концов частичных интервалов (рис. 8.5).

Рис. 8.5

На рисунке 8.6 построенная гистограмма частот.

Рис. 8.6

14. В диапазоне D1:Е6 имеем дискретный вариационный ряд. Для построения полигона частот выделим ячейки Е1:Е6 и выполним команды « / Нестандартные / График (2 оси)» (рис. 8.7).

Рис. 8.7

Замечания

1. Для подсчета частот можно воспользоваться встроенной функцией ЧАСТОТА. Скопируем данные столбцов А и В на новый рабочий лист и выделим для частот массив С1:С8 на один элемент больше, чем массив интервалов. Затем выполним команды « /Статистические/ЧАСТОТА/ОК» и введем данные в открывшееся диалоговое окно (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Полученные частоты отличаются от найденных ранее, так как функция ЧАСТОТА подсчитывает частоты попадания в полуинтервалы с правым закрытым концом. Нули в столбце частот показывают, что нет значений меньших или равных 6,678 или больших 6,822.

2. Можно подсчитать частоты с помощью инструмента «Гистограмма» пакета «Анализ данных». Выполним команды «Сервис/Анализ данных /Гистограмма/ОК» и введем данные в открывшееся диалоговое окно (рис. 8.9).

Рис. 8.9 Рис. 8.10

Нажмем «ОК» и получим (рис. 8.10).

Если поставить галочки в полях «Парето», «Интегральный процент» и «Вывод графика» диалогового окна «Гистограмма», то получим расширенную таблицу (рис. 8.11)

Рис. 8.11

и диаграмму Парето с графиком кумулятивной кривой (рис. 8.12)

Рис. 8.12

Найдем теперь статистические оценки. Скопируем данные столбца А на новый рабочий лист. Для нахождения среднего арифметического выборки выделим ячейку D1 и выполним команды « /Статистические/СРЗНАЧ/ОК». В открывшемся диалоговом окне СРЗНАЧ укажем диапазон А1:А50, нажмем «ОК» и получим = 6,7544 (рис. 8.13).

Рис. 8.13

В ячейке Е1 с помощью встроенной функции ДИСПР найдем выборочную дисперсию . Для этого выполним команды « /Статистические /ДИСПР/ОК», введем данные в диалоговое окно ДИСПР (рис. 8.14).

Рис. 8.14

В ячейке F1 найдем исправленную выборочную дисперсию , применив встроенную функцию ДИСП. Исправленное среднее квадратическое отклонение S найдем в ячейке G1 с помощью функции СТАНДОТКЛОН.

Найдем одновременно все числовые характеристики ряда данных, используя инструмент «Описательная статистика» пакета «Анализ данных». Этот инструмент дает статистический отчет по результатам наблюдений. В таблице 8.1 даны пояснения к отчету.

Таблица 8.1

Наименование в отчете EXCEL	Принятые обозначения, формулы
Среднее	среднее арифметическое,
Стандартная ошибка
Медиана	Me − вариант, делящий ряд на две равные части
Мода	Mo − вариант, имеющий наибольшую частоту
Стандартное отклонение	S
Дисперсия выборки	− исправленная выборочная дисперсия
Эксцесс	− четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Для нормального распределения Ех = 0, кривые более островершинные по сравнению с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом
Асимметричность	- третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Для нормального распределения Sk = 0
Интервал
Минимум	наименьший вариант в выборке
Максимум	н Окончание табл. 8.1 аибольший вариант в выборке
Сумма
Счет
Наибольший (i)	i-й наибольший вариант в выборке
Наименьший (j)	j-й наименьший вариант в выборке
Уровень надежности (95 %)	, позволяет найти ( -∆; +∆) − доверительный интервал

Выполним команду «Сервис/Анализ данных/Описательная статистика/ОК» и заполним диалоговое окно (рис. 8.15).

Рис. 8.15

Нажмем «ОК» и получим отчет (рис. 8.16).

Рис. 8.16

Доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание с надежностью 95 % найдем с помощью последнего параметра «Уровень надежности». Он будет (6,7544 − 0,009662; 6,7544 + 0,009662) то есть (6,744738; 6,764062).