Лабораторная работа 5 Непрерывные распределения Нормальное распределение
Определение. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид
,
−
х
+,
(5.1)
где a=M(X),
=D(X).
В Excel
встроенная функция нормального закона
распределения НОРМРАСП(х;
a;
;
ЛОЖЬ) позволяет
найти значение плотности распределения
(дифференциальной функции) в точке х.
Изменение последнего параметра встроенной
функции с положения ЛОЖЬ на положение
ИСТИНА позволяет найти значение функции
распределения (интегральной функции)
в точке
.
Задача 5.1
Случайная величина
Х
имеет нормальное распределение с
параметрами a=
−2,
=1.
Необходимо:
Построить график плотности распределения на отрезке [− 5;1].
Построить график функции распределения на отрезке [− 5;1].
Найти вероятность
.
Решение
1 Вначале в столбце А зададим значения аргумента из промежутка [− 5;1] с шагом 0,2. Для этого в ячейку А2 введем число – 5, в А3 введем число –4,8; выделим обе ячейки, возьмем мышкой маркер заполнения и «протащим» его по первому столбцу пока не получим предельное значение 1.
2 Найдем значение плотности распределения в точке = − 5: выделим ячейку В2, выполним команду « /Статистические/ НОРМРАСП/ОК» и заполним открывшееся диалоговое окно (рис. 5.1), нажмем «ОК».
Рис. 5.1
3 Для нахождения значений плотности распределения в оставшихся выбранных точках копируем формулу ячейки В2 в ячейки В3:В32.
Для построения графика плотности распределения выделяем диапазон А2:В32, и в редакторе «Мастер диаграмм» строим график (рис. 5.2).
Для построения графика функции распределения перейдем на новый рабочий лист. В столбце А2:А32 зададим значения аргумента с шагом 0,2.
Для нахождения значений функции распределения выделим ячейку В2, откроем и заполним диалоговое окно НОРМРАСП (рис. 5.3).
Нажмем «ОК» и копируем формулу ячейки В2 в ячейки В3:В32.
Выделяем диапазон А2:В32 и в редакторе «Мастер диаграмм» строим график функции распределения (рис. 5.4).
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (−4; −1) находим в ячейке С1 (рис. 5.5).
Рис. 5.2
Рис. 5.3
Р
ис.
5.4
Рис. 5.5
Показательное распределение
Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей случайной величины Х, которое описывается плотностью
(5.2)
где − постоянная положительная величина.
Расчеты по формуле (5.2) можно проводить непосредственно, а можно использовать встроенную функцию ЭКСПРАСП(х; ;ЛОЖЬ). Изменив последний параметр встроенной функции с положения ЛОЖЬ в положение ИСТИНА, получим функцию распределения.
Задача 5.2
Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение с параметром = 0,01. Найти вероятность того, что за время длительностью 50 ч:
а) элемент откажет; б) элемент не откажет.
Решение
Вероятность отказа элемента равна значению функции распределения при х = 50 (рис. 5.6).
Рис. 5.6
События «элемент откажет» и «элемент не откажет» противоположны. Поэтому в ячейку В1 введем формулу =1−А1, и найдем вероятность безотказной работы элемента.