Рудиков Д. А. Гидравлика и гидрология учеб. пособие 2021 118 с

Если движение установившееся, то dvd 0. Если же течение осесимметричное, то 2v 2 0 , а для цилиндрической трубы 2v x2 0 .

Тогда для ламинарного установившегося равномерного осесимметричного течения вязкой жидкости в цилиндрической трубе уравнение движения запишется в виде:

Поскольку течение вдоль оси x равномерное, то на каждую единицу длины расходуется одинаковый напор, т. е. величина производной от давления р по координате х будет величиной постоянной и определится равенством

Знак минус свидетельствует о падении давления вдоль оси x. Разделим переменные в уравнении (2.7) и запишем:

Интегрируя обе части этого равенства и замечая, что , полу-

чим:

p r2 r dv C ,l 2 dr 1

где C1 – константа интегрирования.

Константу C1 можно определить из первого граничного условия: при r = 0 (на оси x) скорость максимальна и поэтому dvdr 0. Отсюда С1 = 0.

Повторно разделяя переменные, запишем:

p r dr dv . 2 l

Интегрируя обе части этого равенства, получим:

v p r2 C . 4 l 2

Из условия прилипания жидкости к стенке канала (т. е. при r = R) имеем, что v 0. Тогда получим:

C p R2 ,

2 l 4

где R – радиус трубы.

41

При r = R, v 0, а при r = 0 (на оси трубы) скорость достигает максимального значения:

Таким образом, скорость по радиусу изменяется по закону параболы:

По известному распределению скорости жидкости в цилиндрическом канале легко определить любые величины, входящие в уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости (1.34), т. е. произвести гидравлический расчёт потока. Так, средняя скорость в трубе определится несложным интегрированием:

Коэффициент Кориолиса (согласно определению – см. п. 1.7)

Величина путевых потерь на единицу длины определится отношением pl :

Подставляя значение ∆p из выражения (2.8a), получим:

h 4 vmax l 4 vmax l .

R2 R2

42

Таким образом, потери напора на трение при ламинарном режиме линейно зависят от скорости потока и вязкости жидкости. Замечая, что

Выражения (2.11) и (2.11a) определяют закон сопротивления при ламинарном течении жидкости – основную характеристику потока жидкости в трубе.

Из закона сопротивления (2.11) легко получить зависимости для коэффициента путевых потерь. Для этого выражение (2.11) приведем к ви-

ду (2.1), (2.2):

С этой целью правую часть формулы (2.11) помножим и разделим

Причем Re < Reкр – условие ламинарного режима течения.

Согласно выражениям (2.8), (2.11) и (2.12) можно сформулировать основные свойства ламинарного установившегося режима течения в пря-

мой цилиндрической трубе: они характеризуются параболическим изменением скорости по радиусу от v 0 (на стенке трубы) до v vmax (на оси трубы); линейным законом сопротивления и обратной пропорциональностью коэффициента путевых потерь числу Рейнольдса.

43

2.5. Общие закономерности турбулентного течения жидкости

При развитом турбулентном течении трение в чистом виде проявляется лишь в ламинарном подслое, имеющем толщину не более 1 % от радиуса трубы. В этом подслое напряжения трения могут быть определены по закону Ньютона (1.11), как и для любого ламинарного движения. В остальной же части потока наряду с прямолинейным перемещением частиц вдоль оси канала происходит дополнительное интенсивное поперечное перемещение конечных объёмов жидкости, за счет чего осредненные скорости потока по сечению выравниваются. Если судить по закону Ньютона (1.11), то в основной зоне в связи с этими перемещениями напряжения трения должны быть чрезвычайно малы: градиент осредненной скорости dvdr – мал. На самом деле за счёт пульсаций конечных объёмов на

осредненное продольное движение накладывается пульсационное поперечное, вследствие которого частицы (наряду с движением вдоль канала) перескакивают, цепляясь, из одного слоя в другой, соударяются, теряют свою энергию при соударениях. Эффект таких пульсаций, называемых турбулентным или молярным перемешиванием, проявляется в возникновении дополнительных – турбулентных напряжений, которые связаны с потерями количества движения при соударениях конечных объёмов жидкости, движущихся с различными скоростями. Величина пульсаций скорости лежит в пределах от десятых долей процентов (в атмосфере) до десятка процентов (в тепловых машинах) по отношению к осредненной скорости основного потока. Пульсации носят нестационарный характер, но турбулентный поток считается установившимся, если осредненная составляющая скорости не меняется во времени. Закономерности турбулентного течения отыскивают для средних величин, применяя сочетание теории и опытов. Наибольшее распространение получила полуэмпирическая теория турбулентных течений, разработанная Л. Прандтлем (1875–1953 гг.) и развитая академиком А.Н. Колмогоровым и его учениками. Она получила название теории турбулентного переноса. Согласно этой теории, кроме напряжений трения в ламинарном подслое Л , в турбулентном потоке воз-

никают турбулентные или кажущиеся Т напряжения трения в ядре течения. В общем случае

Кажущиеся напряжения возникают вследствие столкновения разноскоростных молей (или «жидких комков», как их назвал Прандтль) и потери ими количества движения. Каждый такой «жидкий комок» имеет скорость, слагающуюся из осредненной во времени составляющей V и пульсационной v ':

vT v v '

44

Рассмотрим механизм возникновения кажущихся или турбулентных напряжений Т . Пусть вдоль неподвижной поверхности движется турбу-

лентный поток (рис. 2.4). В слое y осредненная скорость равна v , в слое (y + ∆y) она будет: v dydv y . В слое ( y y ) соответственно v dydv y .

Пусть за счет пульсационной составляющей скорости v ' оба эти «комка» попали в слой y. Это возможно, если расстояние между слоями не больше определенной величины l – пути перемешивания, определяющего масштаб (размах) турбулентности. Допустим, что путь l = ∆y нам известен. Тогда в слой y попадают «комки», скорости которых отличаются на вели-

чину dydv l от скорости в среднем слое. При этом оба этих «комка» или

сталкиваются, получая боковое отклонение, вызывающее возникновение новых пульсаций, или, вытесняя прежние «комки» из слоя y, вызывают разрежение, за счёт которого новые объемы жидкости устремляются в слой y.

Рис. 2.4. Распределение скоростей в турбулентном потоке жидкости

В связи с таким механизмом поддержания пульсаций Л. Прандтль предложил, что пульсационная составляющая скорости определяется произведением пути перемешивания на градиент осредненной скорости по нормали:

vy v ' l dydv .

Тогда секундная масса, переносимая за счет пульсаций по нормали к осредненной скорости из слоя, например (y – ∆y) = (y – l), в слой y, равна:

m v ' l dydv .

45

А изменение количества движения в среднем слое за счёт этого определится разностью количества движения «комка» в слое и поступившего нового «комка»:

mv m v dydv l ml dydv .

Подставляя значение ∆m (считаем, что масса «комков» примерно одинакова и в слое y, и в остальных слоях), получим, что изменение коли-

чества движения за счет турбулентного переноса будет равно l2 dv 2 .

dy

Согласно теореме импульсов изменение количества движения в единицу времени равно силе:

T l2 dv 2 .dy

Но T T , где T – кажущиеся или турбулентные напряжения. Тогда:

Таким образом, кажущиеся напряжения, возникающие вследствие турбулентного переноса, пропорциональны квадрату градиента осредненной скорости по нормали и могут быть подсчитаны при известном профиле скоростей и пути турбулентного перемешивания.

Вопрос о турбулентных напряжениях упирается в определение пути перемешивания l. Прандтль предположил, что на стенке при y = 0, l = 0, а максимальный путь следует ожидать в ядре. В связи с таким предположением, подтвержденным впоследствии опытами, логично считать путь l пропорциональным расстоянию от стенки y:

l y ,

где – постоянная Прандтля. По опытам И. Никурадзе 0,4. Тогда для режима развитой турбулентности:

Для решения вопроса о характере профиля скоростей необходимо знать напряжение и его зависимость от y. Л. Прандтль предложил, что вследствие интенсивного перемешивания напряжения постоянно по y и может быть выражено через напряжение на стенке 0 . В свою очередь

напряжение 0 определяется через условную динамическую скорость на

46

стенке v* (это фиктивная величина, имеющая размерность скорости и определяемая опытным путем) и плотность :

Приравнивая правые части уравнений (2.15) и (2.15а), получим:

dv v . dy y

Интегрируя последнее выражение, запишем:

v v lп y C .

Замечая, что расстояние от стенки y выражается через текущий радиус r и радиус трубы R следующим образом: y R r , получим:

v v ln R r C .

Для r = 0

v v v lп R C .

max

Вычитая выражение для v из полученного для vmax , запишем закон распределения скоростей при развитом турбулентном режиме:

Данное уравнение не дает решения при R r на стенке, где находится ламинарный подслой, который при таком рассмотрении не учитывается.

Часто вместо выражения (2.16) применяют степенной закон распределения скорости, удовлетворительно совпадающий с опытом:

где n f Rе .

С ростом Rе показатель n растет (обычно лежит в пределах от 6 до 10). Отсюда легко получить значение средней скорости:

Легко увидеть, что для турбулентного потока профиль скоростей существенно «сглажен» по радиусу по сравнению с ламинарным, вследствие этого и величина vср ближе к vmax vcp 0,791 0,865 vmax . Коэффи-

циент Кориолиса для турбулентного потока по этой же причине меньше, чем для ламинарного и лежит в пределах: 1 2 . По мере роста Rе величина коэффициента уменьшается, а профиль скоростей стремится к «идеальному» – скорости выравниваются.

Величину потерь напора при турбулентном течении получить теоретическим путем до сих пор не удавалось. Существует множество эмпирических зависимостей для определения коэффициента путевых потерь. Широкое распространение получила формула Блаузиса для гидравлически гладких труб:

0,3164 , Rе Rе 106 . (2.18)

При Rе 106 влияние числа Rе уменьшается и сильнее проявляется влияние шероховатости труб. Советскими гидромеханиками предложена универсальная формула для определения коэффициента как для гладких, так и шероховатых труб на турбулентном режиме течения:

Здесь Ш – средняя высота бугорков шероховатости стенок канала.

При числах Rе до 105–106 первый член в скобках является обычно пренебрежимо малым по сравнению со вторым и зависимость (2.19) превращается в формулу Блазиуса (2.18). При Rе 106 влиянием второго слагаемого можно пренебречь и на сопротивление оказывает влияние лишь шероховатость стенки. Для этого режима коэффициент путевых потерь не зависит от расхода или скорости течения и в соответствии с выражениями для потерь напора (2.1) и (2.2) эти потери пропорциональны квадрату скорости или расхода. Для гидравлически гладких труб на турбулентном режиме потери напора пропорциональны расходу или скорости степени 1,75, так как сам коэффициент λ обратно пропорционален Rе0,25 , а значит, и v0,25 . Таким образом, для турбулентного режима характерны логарифмический (2.16) или степенной (2.17) профиль скоростей по сечению трубы, квадратичный или близкий к нему закон сопротивления и зависимость коэффициента путевых потерь от шероховатости стенки.

Коэффициент путевых потерь λ для труб на различном режиме течения с различной шероховатостью удобно определять по графикам, построенным на логарифмической сетке в виде зависимостей f Re, Ш d .

На рис. 2.5 приведен такой график, построенный по данным Всесоюзного теплотехнического института им. Ф. Э. Дзержинского.

48

Рис. 2.5. Зависимость коэффициента путевых потерь от шероховатости стенок трубы

При использовании этого графика следует помнить, что абсолютная шероховатость (высота бугорков шероховатости Ш ) цельнотянутых труб

из меди, латуни, алюминия равна 0,015–0,01 мм, для стальных – 0,04–0,08 мм. Для гидравлических транспортных систем, где обычно диаметры гидравлических каналов d больше 6 мм и трубы – цельнонатянутые, можно в диапазоне 2300 Rе 105 принимать без существенной погрешности

0,025.

49

3 ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ. РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ

3.1 Определение местных гидравлических сопротивлений при сужении и расширении канала

Определение местных потерь напора сводится к отысканию коэффициента местных гидросопротивлений м . Этот коэффициент чаще всего

определяется экспериментально с использованием зависимости (2.1) или (2.2): измеряются величины перепада давления p , расходов Q, характер-

ных проходных сечений и плотности. Результаты такого определения приводятся в справочниках, таких, например, как [9–12]. В некоторых простейших случаях величины м поддаются теоретическому рассмотрению.

При этом изучают наиболее интересный и часто встречающийся на практике режим течения – турбулентный, для которого местные потери напора практически не зависят от числа Rе .

3.1.1 Внезапное расширение или сужение канала

Пусть за сечением 1–1 (рис. 3.1) площадь канала резко увеличивается, скорость падает, а давление возрастает, но это возрастание меньше, чем было бы для идеальной жидкости на величину потерь напора h из-за завихрений и диссипации энергии при резкой деформации потока.

Рис. 3.1. Внезапное сужение

50