Рудиков Д. А. Гидравлика и гидрология учеб. пособие 2021 118 с

му сечению – чаще всего либо к входному, либо к сечению, где скорость наибольшая. Поскольку величина зависит от величины принятого при расчетах скоростного напора, то в справочниках указывают, по какой скорости подсчитан коэффициент . Отдельные примеры местных сопротивлений с ориентировочными значениями коэффициентов местных сопротивлений приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Виды местных сопротивлений с ориентировочными значениями их коэффициентов

Очень важно помнить, что потери напора проявляются только при движении жидкости.

31

2.2 Общие понятия о режимах течения

Величина потерь напора существенно зависит от характера течения. Этот характер определяется в первую очередь степенью влияния сил инерции и сил трения (вязкостных сил) на поток. Силы внутреннего трения оказывают на поток упорядочивающее действие, они препятствуют развитию возмущений, которые всегда существуют в потоке, и придают течению слоистый характер, при котором частички движутся параллельно друг другу и стенкам канала – отдельными струйками. Любые же нарушения упорядоченной струйной формы течения способствуют возникновению инерционных сил, которые, в свою очередь, действуют на поток, поддерживая и усиливая неупорядоченность движения. Следовательно, инерционные силы есть фактор, усиливающий влияние возмущения. Если предположить, что инерционные силы в единице объема пропорциональны ки-

нетической энергии v2 , а силы трения согласно формуле (1.11) vd , то

безразмерное отношение этих величин будет характеризовать соотношение между силами инерции и силами трения:

v2 vd .

vd

Замечая это, согласно (1.12) , где – коэффициент кинема-

тической вязкости жидкости, получим основной динамический безразмерный критерий для жидкости – критерий Рейнольдса:

В данном случае в качестве характерного размера взят диаметр (или эквивалентный диаметр) канала. Для течения вдоль пластины удобнее брать ее длину, при обтекании крыла – хорду и т. д.

Еще в 1883 г. Рейнольдc установил, что существуют два основных режима течения. Первый режим – слоистый, при котором частички движутся параллельно друг другу и стенкам канала, перемешивание слоев и поперечные пульсации скорости отсутствуют. Этот режим называется ламинарным (от лат. lamina – слой, пластина) и существует при сравнительно малых числах Rе . Он возникает при малых скоростях течения в капиллярных трубах и особенно важен для вязких жидкостей, когда силы трения определяют поведение потока.

При больших числах Rе силы трения не способны удержать поток от воздействия возмущений, усиливаемых и поддерживаемых силами инерции. Такой режим получил название турбулентного (от лат. turbulentus – вихревой). Характеризуется он интенсивными поперечными пульсациями скорости, перемешиванием частиц.

Число Рейнольдса, при котором происходит переход ламинарного течения в турбулентное, называется критическим. Теоретическим путем получить его значение до сих пор не удавалась. Экспериментально уста-

32

новлено, что для простейших случаев течения жидкости (в прямолинейных трубах, вдоль пластины и т. д.) критическое число примерно равно 2320,

т. е. Rекр ≈ 2320.

Для Rе Rекр течение ламинарное, для Rе Rекр турбулентное.

При устранении факторов, способствующих турбулизации потока, удается удержать ламинарное течение до чисел Rе , в несколько раз больших Rекр .

Но в этих случаях появление малейших возмущений приводит к мгновенной турбулизации потока. Таким образом, Rекр следует трактовать как

критерий, характеризующий границу устойчивого ламинарного течения. Обратный переход – из турбулентного режима в ламинарный – происходит при меньших значениях числа Rе (порядка 1800).

Для изучения движения обычных жидкостей типа воды, бензина, керосина с вязкостью около 0,8–1,5 сСт (0,8–1,510-6 м2/с) по трубам диамет-

ром 0,01–0,1 м со скоростями 1–10 м/с, характерными для большинства технических систем, основное значение имеет турбулентный режим. Для движения этих же жидкостей в баках и цистернах со скоростью несколько сантиметров в секунду, медленного движения масел и других высоковязких жидкостей в трубах характерен ламинарный режим.

Ламинарный и турбулентный режимы различаются профилем скоростей по сечению потока и зависимостью потерь напора от расхода или скорости потока, называемой законом сопротивления: h f Q . Для лами-

нарного потока, как будет показано ниже, основную долю потерь напора составляют потери на внутреннее трение и трение о стенки, профиль скоростей – параболический, а закон сопротивления – линейный (рис. 2.1, а).

Рис. 2.1. Профили скоростей по сечению потока

33

Для турбулентного потока наряду с потерями на вязкое трение у стенок значительную долю потерь напора составляют потери энергии вследствие пульсаций и перемешивания разноскоростных частиц. В связи с этим величина потерь напора при турбулентном течении больше, чем у ламинарного потока. Профиль скоростей при турбулентном режиме – так называемый логарифмический (рис. 2.1, б) – со слабым изменением в ядре и сильным – у стенок, а закон сопротивления – близок к квадратичному. Следует иметь в виду, что на рис. 2.1, б для турбулентного потока профиль скоростей показан без пульсационной составляющей – по осредненной в каждой точке скорости, вокруг которой колеблется значение истинной скорости потока.

2.3Понятие о пограничном слое

иего характерных толщинах

Вследствие вязкости при любом режиме течения скорость жидкости на неподвижной стенке равна нулю – эта «гипотеза прилипания» даже в конце XIX в. оспаривалось многими авторами, но в настоящее время считается доказанной [7, 8]. По нормали «у» к стенке скорость возрастает до значения, практически совпадающего со скоростью идеальной жидкости или скоростью невозмущенного телом потока (рис. 1.1, 2.2). Очевидно, что влияния трения сильнее всего сказывается вблизи стенки, где градиент скорости dvdy наибольший. Слой, в котором в основном сосредоточено

влияние вязкости, по предложению Л. Прандтля называют пограничным. Таким образом, весь поток можно подразделить на пограничный слой, в котором влиянием трения пренебрегать нельзя, и ядро, которое можно рассматривать как поток идеальной потенциальной жидкости.

Пограничный слой определяет потери напора, связанные с трением. Для него применимы уравнения движения вязкой жидкости, точное решение которых в настоящее время найдено лишь для простейших случаев.

Задачей исследования пограничного слоя является нахождение профиля скоростей в зоне проявления вязкости жидкости и с его помощью – касательных напряжений в жидкости по закону Ньютона о вязкости по формуле (1.11). При известных напряжениях трения легко определяются и коэффициенты путевых потерь. Толщина пограничного слоя зависит от числа Rе , подсчитанного по средней скорости потока или скорости невозмущенного движения – для внешнего обтекания тел. Для ламинарного течения в трубах практически весь поток является зоной проявления вязкости и выступает в роли пограничного всюду (кроме точек на оси трубы), где градиенты скорости по радиусу отличны от нуля. При турбулентном течении влияние вязкостного трения проявляется лишь в слое малой толщины вблизи стенок. Причем сам пограничный слой при турбулентном течении в ядре (что определяется условием Rеср Rекр ) может быть различ-

34

ной толщины и различного характера. Наблюдения показывают, что при числе Rеcp от 2320 до 106 пограничный слой, как правило, является лами-

нарным и толщина его растет по мере роста числа Rе . При Rеcp >106

большая часть пограничного слоя турбулизуется, толщина его резко увеличивается, но вблизи стенок сохраняется очень тонкий ламинарный подслой. В этом случае влиянием сил трения на поток можно пренебречь и определяющими являются инерционные силы, воздействующие на жидкость при различных возмущениях, а влияние вязкости сосредоточено в очень тонком подслое. В роли возмущений выступают прежде всего неровности обтекаемой поверхности – шероховатость стенок. До Rе < 106 неровности были скрыты в ламинарном пограничном слое и поток к ним был нечувствителен. Такое турбулентное течение в трубах ( Rекр < Rеcp <106)

называется турбулентным течением в гидравлически гладких трубах. Потери напора при этом определяются, как и на ламинарном режиме, числом Rеcp . Турбулентное течение при Rеcp >106 называется турбулентным те-

чением в режиме автомодельности по числу Rе (независимости от числа

Rе ) или течением в шероховатых трубах. Потери напора при таком течении в основном определяются шероховатостью стенки.

Задачи о расчетах пограничного слоя являются одними из самых сложных в гидромеханике, и лишь в наиболее простых случаях возможно их решение на основе полных уравнений движения вязкой жидкости: для установившегося ламинарного течения вязкой жидкости в цилиндрических трубах, для некоторых плоских течений (например, для продольного обтекания полубесконечной пластины – задача Блазиуса) и др. В большинстве же случаев задачи о пограничном слое решаются приближенными путями. Чаще всего для таких решений применяют задание начального профиля скоростей или связанной с ним толщины пограничного слоя, а в качестве основных уравнений используют интегральные соотношения для импульсов, впервые полученные в 1921 г. Т. Карманом.

Что же понимают под толщиной пограничного слоя? Л. Прандтль предложил считать пограничным слой толщиной , в котором скорость возрастает от 0 до 99 % скорости невозмущенного потока. Для пластины, например, с длиной по направлению продольного обтекания l при числе Рейнольдса, подсчитанном по этому характерному размеру Rеl для лами-

нарного течения, Карманом получено [1, 8,]:

Для той же пластины при турбулентном пограничном слое и ламинарном подслое ( Rеl > 106):

Для ламинарного течения в трубе с диаметром d:

где – коэффициент путевых потерь.

При изучении кинематики потока более оправдано применение понятия о толщине вытеснения * . Эта толщина определяет уменьшение поперечного сечения идеального потока, необходимое для обеспечения расхода идеальной жидкости со скоростью невозмущенного потока v , равного истинному расходу (рис. 2.2). Истинный расход при поперечном разме-

y

ре потока на ширине b = 1 м определится Q vb dy . Теоретический же

0

расход на этом же расстоянии будет больше на величину Q :

y

QT Q Q v b dy v y .

0

Тогда разница в расходах определяется:

y

QT v v dy .

0

Этого же уменьшения расхода идеальной жидкости можно добиться «вытеснением» идеального потока на толщину * (рис. 2.2). Очевидно, чтоQ bv v . Тогда, приравнивая величины Q , получим:

y

1 v v dy . v 0

Рис. 2.2. Реальный и идеальный потоки жидкости

36

Интегрирование в общем случае необходимо производить до y ,

поскольку границы ядра неизвестны.

При решении задач динамики чаще применяют понятие о толщине потери импульса и толщине потери энергии ** . Толщина потери импульса – это величина необходимого уменьшения поперечного сечения идеального потока для сохранения суммарного импульса реального потока. Уменьшение импульса реального потока определится не только разностью в скоростях v v , но и величиной изменения массы в пограничном

слое на ширине b = 1 м: dm v dy . Тогда:

I v v v dy .

0

Так же ∆I определяется толщиной потери импульса. Тогда:

1 v v vdy

v2 0 .

Аналогично определяется толщина потери энергии:

1 v2 v2 vdy .

v3 0

Если для иллюстрации взять линейный закон изменения скоростей, то из приведенных соотношений получим: 2; 6 ; 4 . При

реальных (степенных) законах изменения скоростей величины условных интегральных толщин пограничного слоя различаются меньше.

Все сказанное выше относилось к безотрывному течению пограничного слоя. В этом случае основное сопротивление движению создается за счет трения. В ряде случаев может возникнуть отрыв пограничного слоя и появление возвратных токов у стенки. Это происходит в тех случая, когда пограничный слой сильно утолщается из-за торможения у стенки, что особенно характерно для плохо обтекаемых тел. По мере торможения потока в нем растет давление, и пограничный слой, обладающий малой кинетической энергией, не в состоянии двигаться «по потоку» в зону повышенного давления – он отрывается. При этом в зоне отрыва появляются вихри, приводящие к дополнительному расходованию энергии потока, возникновению дополнительного сопротивления движению потока или тела в потоке. Так возникает «сопротивление давления» при отрыве потока – дополнительное лобовое сопротивление тел. Например, для шара и крыла при отрыве потока возникает разрежение в хвостовой части, и сила давления потока на тело в направлении х увеличивается, т. е. растет лобовое сопротивление. Подробнее это явление рассматривается в аэродинамике [7].

37

2.4 Общие закономерности ламинарного течения жидкости

Уравнения движения вязкой жидкости, как и идеальной, могут быть получены при рассмотрении равновесия, выделенного в потоке жидкости параллелепипеда с рёбрами длиной ∆x, ∆y, ∆z. Для идеальной жидкости это выполнено в п. 1.5 с учётом сил давления, тяжести и инерции и получена система дифференциальных уравнений (1.28). Для реальной вязкой жидкости на гранях появятся дополнительные касательные и нормальные напряжения, величина которых для ламинарного течения определяется трением и может быть для каждой из осей определена соотношениями по закону Ньютона (1.11).

Обозначим нормальные напряжения буквой с индексом, который показывает направление соответствующей оси координат x , y , z . То-

гда параллельно оси x будут действовать два вектора нормальных напря-

– на правой грани 2, нормальной оси х.

Рис. 2.3. Касательные и нормальные напряжения в потоке реальной жидкости

38