Рудиков Д. А. Гидравлика и гидрология учеб. пособие 2021 118 с

Такая функция называется силовой, или потенциальной функцией

(потенциалом массовых сил), и производные от нее по каждой из координат представляют собой единичные массовые силы – ускорения силы тяжести по соответствующим осям.

Для установившегося течения последние три слагаемых правой части уравнения, стоящие в скобках, представляют собой полный дифференциал давления dp.Тогда дифференциальное уравнение энергии (1.29) для элементарной струйки идеальной жидкости в установившемся движении запишется в виде:

Решением этого уравнения и является интеграл Бернулли для установившегося потока идеальной жидкости. Найти его несложно, если известна связь между давлением и плотностью и вид силовой функции.

Для капельной жидкости полагают, что она практически несжимаема: const . Для этого случая, располагая ось z вертикально вверх, можно записать, что U = dz , где z – координата точки жидкости относительно любого положения. Знак минус учитывает различие в направлении оси z и ускорения свободного падение g. Тогда dU = g dz . Интегрируя уравнение (1.30), получаем:

gz p v2 const .

2

В данном случае каждый член уравнения представляет собой удельную энергию единицы массы, Дж/кг = (м/с)2.

Чаще это уравнение представляется для единицы веса (1 Н). Разделив все уравнения на ускорение g, получим:

где g – удельный вес жидкости.

Уравнение (1.31) получено при следующих допущениях:

–жидкость идеальная, трение отсутствует;

–течение установившееся, струйное, имеющее потенциал сил (т. е. потенциальное);

–жидкость несжимаемая;

–из всех массовых сил на струйку действуют только массовые силы тяжести в направлении, противоположном оси z.

Легко видеть, что каждое слагаемое в уравнении Бернулли (1.31) является, по сути, удельной энергией единицы веса и имеет размерность Дж/Н = м.

22

Уравнение свидетельствует о том, что сумма удельных составляю-

щих энергии потока идеальной несжимаемой жидкости при ее установившемся движении остается постоянной. Эта сумма для единицы веса жидкости называется напором и обозначается Н.

Составляющие, входящие в уравнение (1.31), называются:

– z – удельная энергия положения для единицы веса.

Первый из членов уравнения p есть пьезометрический напор, он

показывает, на какую высоту поднимается жидкость в открытой трубке (пьезометре) под действием избыточного давления в данной точке сечения. Из уравнения следует, что чем меньше скорость (чем больше площадь сечения потока), тем больше пьезометрический напор, и наоборот. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости представлена рис. 1.5. Это изображение строится для трех сечений из условия:

Рис. 1.5. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости

23

Если остановить течение жидкости в трубке, закрыв, например, задвижку на выходе – за третьим сечением, то уровень жидкости во всех пьезометрах станет выше и установится на высоте, равной H.

Это явление служит наглядным примером действия фундаментального закона естествознания – закона сохранения и превращения энергии, основные положения которого определены М. В. Ломоносовым, а окончательная формулировка дана Г. Гельмгольцем: «Энергия не исчезает. Она только переходит из одних видов в другие так, что сумма всех видов энергии является величиной постоянной и равной начальному значению». Уравнение Д. Бернулли является математическим выражением этого закона применительно к идеальной и несжимаемой жидкости.

1.7 Уравнение Д. Бернулли для потока вязкой жидкости

Движущийся поток вязкой (реальной) жидкости отличается от потока идеальной жидкости двумя основными особенностями, вызванными наличием трения в жидкости: неравномерностью распределения скоростей по поперечному сечению потока и потерями напора (энергии) на трение по мере движения. Различие в скоростях жидкости в одном сечении заставляет рассматривать поток как бы состоящим из бесконечного множества струек с различными скоростями и вводить понятие о среднем по сечению напоре. Суммарный напор для любого сечения определяется интегрирова-

нием H dQ .

Средний напор в данном сечении, очевидно, определяется так:

H v d

Величину Q для потока удобнее выразить через среднюю скорость:

H v d

Для капельной несжимаемой жидкости величину можно сокра-

тить.

Рассматривая плоскопараллельное струйное течение, можно предположить, что движущиеся соседние струйки в данном сечении оказывают друг на друга такое же давление, как и в стоячей жидкости, т. е. из уравнения Бернулли для v 0:

Справедливость этого предположения доказана экспериментально. Кроме того, средние напоры в различных сечениях при движении

вязкой жидкости не могут быть одинаковы, т.к. для преодоления трения в жидкости и о стенки канала совершается работа – напор падает (расходуется энергия). Таким образом, средний напор в последующем сечении (2–2) меньше, чем средний напор в предыдущем сечении (1–1) на величину потерь напора h1 2 :

Тогда для среднего напора в каждом сечении из условия (1.32) с учетом выражений (1.31), (1.33), (1.34) и (1.18) можно записать:

Полученное решение есть уравнение Бернулли для установившегося движения потока вязкой несжимаемой жидкости, на которую из массовых сил действуют только силы веса. Индексы, обозначающие осреднение скорости, в дальнейшем не указываются, поскольку в большинстве задач для реального потока приходится иметь дело только со средними скоростями.

Уравнение (1.35), как и (1.31), отражает закон сохранения энергии и свидетельствует о том, что средний напор потока вязкой жидкости при установившемся движении уменьшается по мере движения от сечения к сечению на величину потерь напора между данными сечениями.

Безразмерный коэффициент называется коэффициентом Кориолиса и учитывает неточность подсчета кинетической энергии потока по средней его скорости при неравномерном распределении скоростей по сечению, т. е.

Если v const (по ), то 1. Это случай идеальной жидкости. Если скорость изменяется от нуля на стенке до vmax на оси потока по пара-

болическому закону, то (как будет показано в п. 2.4) 2 . Между этими величинами лежит значение .

Геометрическая интерпретация этого уравнения приведена на рис. 1.6. Следует иметь в виду, что вязкость проявляется только при движении и если v1 v2 v3 0 , h 0 , т. е. при закрытии, например, задвиж-

ки на выходе (за сечением 3), и в этом случае (как и для идеальной жидкости – рис. 1.5) получается совпадение видимой пьезометрической линии и условной линии полных напоров Н. При движении же одного и того же

25

количества идеальной и вязкой жидкости в одной и той же трубе пьезометрическая линия за счет потерь напора снижается резче для вязкой жидкости.

Рис. 1.6. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для струйки вязкой (реальной) жидкости

1.8 Уравнения гидростатики

Уравнения гидромеханики превращаются в уравнения гидростатики при предположении, что скорость равна нулю. Основной задачей гидростатики является определение давления в жидкости при ее относительном покое, т. е. при отсутствии движения слоев жидкости друг относительно друга.

Из определения ньютоновской жидкости вытекают два важных свойства гидростатического давления. Во-первых, сила гидростатического давления всегда направлена по внутренней нормали к рассматриваемой площадке. Если бы это не выполнялось, то на площадку действовало бы касательное усилие и жидкость не смогла бы находиться в покое. Во-вторых, величина гидростатического давления в точке не зависит от ориентации выделенной площадки, иначе на рассматриваемую точку действовало бы результирующее усилие, отличное от нуля, приводящее ее в движение. Последнее свойство позволяет при рассмотрении давления в точке считать,

что px py pz p .

26

Дифференциальные уравнения гидростатики являются частным случаем уравнений Эйлера. Так, при v 0 из выражений (1.27) получаем:

Вывод уравнения (1.37) аналогичен выводу уравнения (1.30). Для несжимаемой жидкости уравнение (1.37) легко решается:

Это уравнение – основное уравнение гидростатики. Величина постоянной в уравнении определяется граничными условиями. Из зависимости (1.38) вытекает и уравнение изобарной поверхности в покоящейся жидкости – поверхности равного давления: U U1 const .

1.9 Определение давления в жидкости при абсолютном покое

Будем условно называть «абсолютным» покоем такое состояние покоящейся жидкости, когда и сосуд, в котором она содержится, неподвижен, т. е. на жидкость не действуют никакие силы, кроме силы тяжести. При этом, если ось z направлена вертикально вверх, U g z . Тогда из

уравнения (1.38) следует, что р g z const или p z const .

Пусть требуется определить гидростатическое давление жидкости в точке i неподвижного сосуда (рис. 1.7). Известно, что давление на по-

Условие одинакового давления (изобарной поверхности) hi const . Закон сообщающихся сосудов также вытекает из этого условия (рис. 1.7):

z01 z02 .

27

Уравнение (1.39) для определения давления в любой точке покоящейся жидкости под действием только сил тяжести может быть получено непосредственно из уравнения Д. Бернулли (1.35) или (1.31) для любых точек жидкости.

Рис. 1.7. Сообщающиеся сосуды

Уравнение (1.39) позволяет определить силы от давления жидкости на стенку, находящуюся внутри жидкости, и получить выражение для закона Архимеда о выталкивающей силе [1, 2, 5].

1.10 Определение давления в жидкости при относительном покое

Относительным покоем жидкости называется такое ее состояние, при котором частицы жидкости неподвижны относительно стенок сосуда, а сам сосуд движется. Типичным примером относительного покоя жидкости является прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью. Простейший случай такого движения – горизонтальный разгон сосуда с ускорением j (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Равновесие жидкости в движущемся резервуаре

28

На жидкость в этом случае действуют единичные силы веса, численно равные величине ( g ), и единичные силы инерции ( j ).

И в этом случае, как и в случае относительного покоя, для анализа давления в жидкости и условия изобарной поверхности необходимо использовать основное уравнение гидростатики (1.38). Задачу можно свести к предыдущей, если ось Z расположить противоположно направлению

суммарного ускорения a g j . Тогда дифференциал потенциальной функции dU можно записать так:

dU a dz .

Если движение равноускоренное ( j const ), то, интегрируя по z ,

получим:

U=U a z const или U g j const .

Подставляя выражение U в уравнение (1.38), получим:

Если для примера j = g и = 45°, величина давления по мере погружения по оси z будет возрастать по сравнению со случаем относительного покоя (j = 0). Такой вывод получается для данного примера решением треугольника ускорений на рис. 1.8:

Изобарная поверхность (в том числе и поверхность зеркала жидкости) будет располагаться нормально к оси z: ha = const. Для нашего примера зеркало жидкости будет расположено под углом 45° к горизонтальному ускорению j.

29

2 ПОТЕРИ НАПОРА ПРИ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ

2.1 Общие сведения о потерях напора при движении жидкости

Как отмечалось ранее, при движении вязкой жидкости возникают потери напора на трение – гидравлические потери напора ∆h. Эти потери приводят к понижению давления в движущейся жидкости, но сами они от величины давления, как правило, не зависят. Основным фактором, определяющим величину потерь напора, является скорость потока. Кроме того, потери напора зависят от формы и размеров проточной части, чистоты поверхности стенок канала и вязкости жидкости. Поскольку чаще всего потери напора пропорциональны кинетической энергии потока, то их принято выражать зависимостью, предложенной Вейсбахом:

Здесь – безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом гидравлического сопротивления, или гидросопротивления. Его величина в общем случае зависит от скорости потока, размеров и формы проточной части канала, вязкости жидкости и может быть как меньше, так и больше единицы.

Потери напора подразделяются на путевые и местные. Путевые потери – это потери напора при равномерном движении жидкости в прямом канале. Этот вид потерь определяется интенсивностью трения о стенки канала и внутреннего трения в жидкости. Коэффициент сопротивления в этом случае связывают с относительной длиной канала (трубы) и определяют по формуле:

где λ – коэффициент путевых потерь (коэффициент Дарси); l – длина канала (трубы); d – эквивалентный диаметр канала (для трубы – диаметр трубы).

Коэффициент зависит от режима течения вязкой жидкости и для некоторых случаев – от чистоты поверхности внутренних стенок канала.

Местные потери напора обусловлены деформацией потока, поворотами канала, изменениями поперечного сечения русла. Деформация потока вызывает необратимые потери напора, связанные с вихреобразованием и отрывом потока от стенок, образованием застойных зон. При деформациях потока скоростной напор в различных сечениях не одинаков, поэтому величину коэффициентов местных сопротивлений относят к определенно-

30