Рудиков Д. А. Гидравлика и гидрология учеб. пособие 2021 118 с

Рис. 1.1. Распределение скорости при движении жидкости вдоль плоской стенки

Знак минус здесь показывает, что силы трения по направлению противоположны направлению скорости движения частиц. Коэффициент пропорциональности μ называется коэффициентом динамической вязкости жидкости. Для ньютоновских жидкостей величина μ зависит прежде всего от рода жидкости и имеет размерность Н·с/м2 или Па·с. В технической системе единиц величина μ измерялась в пуазах или сантипуазах, причем Па·с = 10 П = 103 сП.

Коэффициент μ, как следует из формулы (1.11), определяет собой силу трения, возникающую на единичной площадке плоской поверхности, которая перемещается с единичной скоростью относительно другой плоской поверхности, находящейся от первой на единичном расстоянии.

Наряду с коэффициентом μ часто применяют коэффициент кинематический вязкости , м2/с, равный

В качестве единиц измерения последнего часто употребляют величину 1 стокс (Ст) = 1 см2 /с = 10-4 м 2/с или 1 сантистокс (сСт) = 1 мм2/с =

= 10-6 м2 /с.

Вязкость жидкости зависит от температуры: для капельных жидкостей с ростом температуры коэффициент ν уменьшается, для газов – растёт. Это объясняется тем, что с ростом температуры у капельных жидкостей уменьшаются силы молекулярного сцепления, определяющие ее вязкость, а у газов они растут, т. к. растет интенсивность беспорядочного движения молекул газа и сила их взаимодействия.

Для воды при комнатной температуре можно принимать = 1 сСт = = 10-6 м2/с, μ = 10-3 Па·с = 1 сП. Точные значения необходимо определять

11

по справочникам. Коэффициент кинематической вязкости газов обычно на порядок, а для масел – на два-три порядка выше, чем у воды.

Из формулы (1.11) следует, что напряжения трения возможны лишь в движущейся ньютоновской жидкости, т. е. вязкость ньютоновской жидкости проявляется лишь при движении, в покое же касательные напряжения отсутствуют.

В гидромеханике часто оперируют понятием идеальной жидкости, у которой отсутствуют силы молекулярного сцепления, т. е. жидкости, лишённой вязкости. Такая гипотетическая жидкость не прилипает к стенке, и скорость её частиц по сечению потока одинакова. Эта модель позволяет в ряде практически важных случаев получить точные решения задач без значительных погрешностей для практики.

Кроме рассмотренных основных свойств в гидромеханике оперируют и другими, известными из курса физики, свойствами. Испаряемость для капельных жидкостей характеризуется давлением насыщенных паров pнп при данной температуре. Чем оно больше, тем интенсивнее испарение.

Когда давление внутри жидкости становится равным давлению насыщенных паров (что можно достигнуть либо повышением давления насыщенных паров за счёт роста температуры, либо понижением давления в жидкости при постоянной температуре) наступает кипение жидкости. Поверхностное натяжение стремится придать объёму капельной жидкости форму сферы и вызывает дополнительное изменение давления в жидкости. Поверхностное натяжение определяет явление капиллярности в жидкости, способность ее подниматься на некоторую высоту в тонких трубках – капиллярах.

1.2 Понятие о силах и давлении в жидкости

Из рассмотрения основных свойств следует, что в жидкости не могут существовать сосредоточенные силы, а лишь непрерывно распределённые по поверхности или массе (объёму).

Кмассовым (объёмным) силам относятся силы веса и силы инерции.

Кповерхностным относятся силы трения и давления [5, 6]. Давление p ,

Н/м 2 или Па , – это напряжение сжатия, возникающее в жидкости под действием приложенных к ней поверхностных и массовых сил p (при покое

– гидростатическое, при движении – гидродинамическое):

ным, т. е. оно учитывает и внутреннее давление в жидкости (вследствие веса жидкости) pвн , и наружное – над объёмом жидкости. В большинстве

12

случаев для техники это атмосферное (или барометрическое) давление pa :

В условиях невесомости, например, pвн 0 и давление определяется наружным (вокруг жидкости) давлением pa . Внутреннее давление (ещё называемое избыточным pизб ) определяется высотой h столба жидкости

над рассматриваемой точкой жидкости и удельным весом γ (согласно закону Паскаля):

Таким образом, давление внутри жидкости на глубине h в открытом сосуде при атмосферном давлении:

На этом основано определение давления в любой жидкости (в невесомости g 0 ). Значение давления р внутри жидкости определяется

либо непосредственно с помощью манометров, либо с помощью пьезометров – стеклянных трубок, установленных одним концом внутри жидкости. Абсолютное давление находят по формуле (1.16), прибавляя атмосферное pa (или барометрическое) давление. В случае, если давление в жидкости

Величина этого разрежения pвак может быть измерена либо вакуумметром, либо пьезометром, и давление pабс в жидкости определится также вычита-

нием pвак из pа .

Величину h p g в гидравлике называют пьезометрической высо-

той, т. к. она равна высоте h столба жидкости в пьезометре.

В соответствии с приведенными определениями основной единицей давления является сила в ньютонах, приходящаяся на единицу площади в м2, называемая паскалем: 1 Па = Н/м2.

Кроме этой единицы до сих пор применяется техническая атмосфера – в килограммах силы, отнесённых к площади в 1 см2: 1 ат = 1 кгс/см2.

При измерении давления высотой столба жидкости с помощью пьезометров используется либо ртуть, либо вода и высота h измеряется в мм рт. ст. или м вод. ст.

Соотношение между единицами измерения давления может быть записано так:

105 Па = 0,1 МПа = 750,06 мм рт. ст. = 10,2 м вод. ст. = 1,02 кгс/см2 (ат)

или

1 кгс/см2 = 10 м вод. ст. = 735,6 мм рт. ст. = 0,981·105 Па = 98,1 кПа.

Эти единицы применяются для оценки давления как в конкретной точке, так и между различными точками жидкости – с помощью диффе-

13

ренциальных манометров (дифманометров). Дифманометры могут быть выполнены в виде обычных пружинных манометров, на чувствительный элемент которых (полую изогнутую трубку овального сечения) изнутри и снаружи действует различное давление, либо в виде V-образных стеклянных трубок, концы которых связываются с интересующими экспериментатора точками жидкости. И в том, и в другом случаях измеряется избыточное давление в рассматриваемых точках среды.

1.3 Основные понятия и определения кинематики жидкости

Скорость v жидкости в данной точке зависит в общем случае от координат положения точки (х, у, z) и времени , т. е. v f , x, y, z . Движение называется установившимся или стационарным, если все пара-

вившимся или нестационарным. Если же скорость не зависит еще и от координат, то движение называется равномерным. Равномерное, установившееся движение – это простейший вид движения, который может рассматриваться только применительно к идеальной жидкости.

Если движение жидкости совершается только под действием сил тяжести, то оно называется безнапорным. Если же существует искусственно созданный перепад давлений (за счет насоса, компрессора и т. д.), то движение называется напорным.

Движение жидкой частицы может быть разложено на поступательное, вращательное и деформационное. Если вращательное (вихревое) движение отсутствует, то движение называется безвихревым, или потенциальным.

В настоящем курсе чаще всего будет рассматриваться потенциальное установившееся течение, для которого можно выявить основные закономерности с помощью струйной модели. Согласно струйной модели поток представляется состоящим из отдельных элементарных струек, причем струйки выделяются в направлении линий тока (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Линия тока

14

Линией тока (рис. 1.2) называется кривая, касательная к которой в данной точке совпадает с направлением вектора скорости. Для установившегося течения линия тока не меняет своего положения в пространстве и совпадает с траекторией движения частиц, т. к. вектор скорости в каждой из точек неизменен по величине и направлению.

Если в любой точке линии тока выделить бесконечно малый замкнутый контур площадью d и по границам контура провести линии тока, то образуется трубка тока (рис. 1.3). Трубка тока ограничивает элементар-

ную струйку.

Элементарная струйка при установившемся движении обладает следующими основными свойствами:

1 Форма ее с течением времени не меняется, т. к. v f .

2 По поперечному сечению трубки скорость не меняется – это вытекает из малости d .

3 Поверхность трубки непроницаема для частиц жидкости, они могут лишь скользить по поверхности.

4 Скорость в любой точке трубки нормальна к поверхности поперечного сечения (это вытекает из малости d ). Последнее свойство можно сформулировать иначе: поверхность d всегда совпадает с живым сечением трубки.

Рис. 1.3. Элементарная струйка

Главное свойство элементарной струйки состоит в том, что любая частица жидкости или газа, попав в струйку, уже не выходит из нее. Это представление дает возможность применять к частицам элементарной струйки законы сохранения – массы и энергии.

Под живым сечением трубки понимают поверхность, в каждой точке которой скорость жидкости нормальна к плоскости сечения. Этот же смысл вкладывают в понятие живого сечения, относя его к конечным трубам и каналам. В последнем случае вводят также понятие о смоченном пе-

риметре и эквивалентном диаметре dэкв , которые определяют величину площади живого сечения каналов сложных форм. Смоченный периметр– длина, на которой по данному живому сечению жидкость соприкасает-

15

ся со стенками. Эквивалентный диаметр dэкв – это диаметр круга с площа-

ется для получения основных расчетных зависимостей из уравнения движения идеальной жидкости.

1.4 Уравнения расхода и неразрывности

Количество жидкости, проходящее через живое сечение в единицу времени, называется расходом. Расход через трубку тока называется элементарным расходом. Он может быть объемным dQ , весовым dG или

dm dW d , dQ dW d . Для всего канала соответственно – Q, G и m .

Уравнение расхода позволяет определить расход через рассматриваемое сечение с известной площадью ( d или ) при известных параметрах движения (скорости) и состояния (плотности или удельного объема). Для элементарной струйки, исходя из её основных свойств, для установившегося течения имеем:

Если предположить, что поток состоит из параллельных струек (допущение о струйном потенциальном течении), то, интегрируя выражение (1.17), можно получить расход через конечный канал. Более удобно определять расход через канал по средней скорости – условной скорости потока в рассматриваемом сечении, при которой расход равен истинному:

Тогда уравнение расхода запишется так:

Уравнения неразрывности устанавливают связь между расходами в выделенном объеме (метод Эйлера) или между различными сечениями потока (метод Лагранжа) и отражают общий закон сохранения массы материи. Они справедливы при отсутствии разрыва сплошности жидкости – отсутствии пустот, каверн, пузырьков, и поэтому их называют уравнениями неразрывности потока.

Переходя от конечного к бесконечно малому объему жидкости и учитывая зависимость скорости и плотности от координат x, y, z и време-

16

ни , Л. Эйлер получил уравнение неразрывности потока из зависимости

(1.19) в виде:

Оно свидетельствует о том, что изменение массы жидкости в выделенном неподвижном объеме пространства, занятом потоком жидкости, равно разности количества жидкости, поступившей в объём и выходящей из него. Для установившегося движения локальная производная 0 .

Если жидкость еще и несжимаема, т. е. const , то уравнение неразрывности принимает вид:

Лагранж рассматривал расход в подвижных, т. е. перемещающихся вместе с жидкостью сечениях потока. Он считал, что изменение массового расхода dm при переходе от одного подвижного сечения к другому подвижному сечению может происходить за счет изменения плотности, скорости и площади потока. Из уравнения расхода через среднюю скорость (которая в данном случае является мгновенной) следует:

dm vd dv vd .

Для установившегося течения расходы в выделенных сечениях потока должны быть одинаковы, т. е. dm 0, при этом:

vd dv vd 0 .

Разделив почленно это выражение на произведение v , получим

уравнение неразрывности для установившегося одномерного потока:

Для средних скоростей уравнение неразрывности при установившемся движении может быть записано с помощью уравнения расхода (1.19), из условия m1 m2 const :

Средняя скорость vcp несжимаемой жидкости растет при сужении канала и уменьшается при его расширении согласно равенству (1.24). Это

17

основной практический вывод из закона сохранения массы вещества применительно к гидравлике, который часто используют при решении задач конструирования гидравлических элементов и агрегатов.

1.5 Уравнения Л. Эйлера для движения идеальной жидкости

Уравнения Эйлера выводятся из условия баланса сил в выделенном объеме жидкости, т. е. равенства нулю суммы сил. В идеальной жидкости могут существовать силы давления F, силы тяжести G и силы инерции I. В качестве неподвижного объема ∆W в движущейся идеальной жидкости выделим параллелепипед с ребрами ∆x, ∆y, ∆z (рис. 1.4).

Рис. 1.4. К выводу уравнения Л. Эйлера для движения идеальной жидкости

Здесь же показаны давления, действующие на грани по оси x. Согласно принципу Даламбера выделенный объем будет находиться в равновесии, если к активным силам (силам давления F и силам тяжести G) прибавить силы инерции I и приравнять их векторную сумму к нулю:

Определим силы давления F. В направлении вектора х на грань с площадью ∆y∆z действует сила: Fx р y z . На противоположную ей

грань той же площади действует сила Fx x от давления р dpdx x , т. е. от-

личающегося на величину, пропорциональную расстоянию между гранями:

18

Знак «–» указывает здесь на то, что вектор этой силы направлен в сторону, противоположную направлению оси.

Проекция на ось х этих сил определяется равенством:

Здесь W – объем неподвижного параллелепипеда, выделенного в потоке жидкости.

Проекции сил тяжести G по соответствующим осям определяются согласно второму закону Ньютона произведением ускорений силы тяжести по тем же осям (x, y, z) на массу выделенного объёма жидкости.

В таком виде проекция вектора G сил тяжести на ось х определяется равенством:

Gx mX W X x y z X .

Проекция вектора I сил инерции на ось x равна:

Ix m dvd x .

Знак «–» здесь указывает на то, что вектор сил инерции направлен в противоположную сторону по сравнению с вектором ускорения.

Тогда для оси x согласно исходному уравнению (1.25) получим:

Поделив это равенство на величину m W , имеем:

Выполним аналогичные действия и с другими проекциями векторов сил, действующих на выделенный объём ∆W. Получим уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера):

Поскольку здесь скорость v (τ, x, y, z) есть функция координат и времени , а координаты x, y, z зависят от времени, полная производная такой функции по времени (левая часть уравнений) определяется согласно пра-

19

вилу дифференцирования сложной функции суммой ее локальной и конвективной производных:

Аналогично представляются полные производные скорости по другим осям. Тогда система (1.27) уравнений Эйлера будет выглядеть так:

Отметим, что в эти уравнения входят неизвестные (искомые) функции vx , vy , vz , , p . Если их найти, то задача гидромеханики будет ре-

шенной: скорость, давление и плотность жидкости будут известны в каждой точке потока. Как легко видеть, неизвестных здесь пять, а уравнений только три. Поэтому для решения этой системы уравнений используют еще уравнение неразрывности в форме Эйлера (1.20) и связь между давлением и плотностью. Для капельной жидкости, например, эта связь определяется условиями несжимаемости: const .

Для газа вместо уравнения const используют уравнения состояния газа в виде p RT . При использовании этого уравнения состояния

газа появляется новая неизвестная функция – температура Т. Поэтому, чтобы «замкнуть», как часто в таком случае говорят математики, эту систему уравнений (т. е. сделать так, чтобы число уравнений стало равным числу неизвестных), вводят еще одно уравнение – уравнение политропы

для идеального газа в виде: n const [6].

Уравнения (1.28), полученные Л. Эйлером в 1755 г., положили начало современной классической гидромеханике. В частном случае, при v 0, они полностью описывают и все закономерности гидростатики как для

20