ИДЗ1_матвед

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра

Индивидуальное домашнее задание №1

По дисциплине «»

Тема: «Симметрия кристаллов»

Вариант №23

Студент	Гр. 2503
Преподаватель				Карпов О.Н.

Цель работы: научиться качественно и количественно определять симметрию кристаллов на моделях, которые соответствуют формам реальных кристаллов минералов, металлов и других кристаллических веществ.

Основные теоретические положения.

Кристаллы - твердые тела с упорядоченным внутренним строением на уровне атомов и молекул. Сетки кристаллической решетки с наибольшей густотой расположения узлов соответствуют граням реального кристалла, места пересечения сеток - наиболее плотные узловые ряды - ребрам кристаллов, а места пересечения ребер - вершинам кристаллов.

Кристаллический многогранник – это многогранник, в котором равные части (грани, ребра) расположены так, что он совмещается целиком сам с собой при помощи некоторых операций симметрических преобразований.

Симметрическим преобразованием называется такое преобразование, в результате которого все равные части фигуры совмещаются друг с другом и фигура совмещается сама с собой.

Элементы симметрии – это геометрические образы симметрических преобразований. Симметрия кристаллов выявляется с помощью элементов симметрии: центра симметрии (инверсии), плоскостей симметрии, осей симметрии.

Центр симметрии (инверсии) связывает противоположные инверсионно равные (или обращено равные) части кристалла. Он совпадает с геометрическим центром кристалла. От слова Centrum он обозначается буквой С. Определять наличие С у многогранников очень просто по следующему признаку: если каждой грани многогранника соответствует равная и параллельная грань, то такой многогранник имеет центр инверсии.

Ось симметрии - прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол α, фигура совмещается сама с собой. Обозначается в учебной символике - символике О. Браве - Ln.

Наименьший угол поворота α, приводящий фигуру к самосовмещению, называется элементарным углом поворота оси.

Число n, показывающее сколько раз элементарный угол поворота оси содержится в 360°, называется порядком оси. n – целое число.

n = 360°/α (n=1,2,3,4,6.)

В кристаллических многогранниках невозможны оси 5–го и выше 6-го порядка.

В кристаллических многогранниках оси симметрии могут проходить:

- через центры противоположных граней перпендикулярно к ним;

- через середины противоположных ребер перпендикулярно к ним (только L2);

- через противоположные вершины многогранника;

- через вершины и центры граней.

Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две равные части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение. Обозначается в символике О.Браве - P.

Плоскости симметрии в кристалле могут проходить: через ребра; перпендикулярно ребрам через их середину; перпендикулярно граням через их середины; через вершины.

Полная совокупность элементов симметрии кристаллического многогранника называется видом симметрий, или точечной группой симметрии.

Вид симметрии - это полная совокупность элементов симметрии какого-либо кристалла.

Сингония (равноугольность) — это группа видов симметрии, объединенная либо одной главной осью симметрии, определяющей форму поперечного сечения кристалла.

Категория — это группа сингоний с характерным набором осей симметрии:

• Высшая категория характеризуется обязательным наличием в каждом виде симметрии 4L3 в сочетании с осями L4 и L2. Высшая категория включает в себя только одну, кубическую сингонию.

• Средняя категория характеризуется наличием одной оси симметрии высшего порядка в сочетании с прочими элементами симметрии. К средней категории относятся тригональная, тетрагональная и гексагональная сингонии.

• Низшая категория объединяет триклинную, моноклинную и ромбическую сингонии, во всех видах симметрии, которых отсутствуют оси симметрии высшего порядка.

Обработка данных

1. Приведем проекции моделей данных кристаллов.

А) Кристалл 1:

Рисунок 1.1 – Изображение проекций кристалла 1.

Б) Кристалл 2:

Рисунок 1.2 – Изображение проекций Кристалла 2.

2) Определим симметрию кристаллов: найдем все возможные операции симметрии.

Найдем центр симметрии: фигура обладает центром симметрии если каждой грани объемной модели отвечает параллельная и равная (или инверсионно-равная) ей.

А) Результат поворота вдоль осей кристалла 1 приведен ниже для одной из граней:

Рисунок 2 – Модель кристалла 1 с «подсвеченной» гранью.

1 2 3

Рисунок 3 – Результат поворота кристалла 1 вдоль осей 1) – X, 2) – Y, 3) – Z.

Б) Результат поворота вдоль осей кристалла 2 приведен ниже для одной из граней:

Рисунок 4 – Модель кристалла 2 с «подсвеченной» гранью.

1 2 3

Рисунок 5 – Результат поворота кристалла 2 вдоль осей 1) – X, 2) – Y, 3) – Z.

Из представленного выше можно сделать вывод, что фигура не имеет центра симметрии так как при повороте вдоль осей X, Y, Z форма подсвеченной грани сохраняется только для одного случая (проверять остальные грани не имеет смысла).

3) Найдем все возможные оси симметрии.

А) Для кристалла 1:

Рисунок 6 – Вид сверху модели кристалла 1: 1) – исходное состояние 2) поворот вдоль оси на 90 градусов 3) поворот вдоль оси на 180 градусов.

Б) Для кристалла 2:

Рисунок 7 – Вид сверху модели кристалла 2. 1) – исходное состояние 2) поворот вдоль оси на 120 градусов 3) – второе исходное состояние 2) поворот вдоль оси на 180 градусов.

Для кристалла 2 повороты на 120 градусов выполняются аналогично тому, что приведенён на рисунке 7 (1,2), с 4 сторон, а повороты на 180 градусов выполняются аналогично тому, что приведён на рисунке 7 (3,4), с 3 сторон. Из чего можно сделать вывод, что кристалл будет иметь в своей формуле 4L33L2.

4) Найдем плоскости симметрии.

У кристалла 1 нет плоскостей симметрии, что касается кристалла 2:

Рисунок 8 – Плоскости симметрии кристалла 2 (по изображению проекций кристалла).

4) Запишем кристаллографическую формулу кристалла согласно символике Браве:

А) Для кристалла 1: L44L2

Б) Для кристалла 2: 4L33L26P

5) Первый кристалл относится к виду тетрагональной сингонии и аксиальному классу, пример минерала: цириловит, кристобалит – это высокотемпературная модификация кварца.

Второй кристалл относится к виду высшей кубической сингонии и планальному классу, пример минерала: арсеносульванит.

Форма протокола

Номер варианта	Оси симметрии и их порядок				Плоскости симметрии		Центр симметрии		Кристаллографическая формула		Сингония и вид симметрии
	2	3	4	6
23-1	4	-	1	-		-		-		L44L2		Тетрагональная сингония и аксиальный класс
23-2	3	4	-	-		6		-		4L33L26P		Кубическая сингония и планальный класс